Operación binaria

operación en matemátiques que combina dos elementos pa producir otru elementu

Defínese como operación binaria (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor. [1][2]

Esquema d'una operación binaria.

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tantu, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

NotaciónEditar

Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

 

siendo la primera la más común.

Exemplu d'operación binariaEditar

La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto  .

 

y tenemos que:

 

TiposEditar

Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denominase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.

 
Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu

Operación binaria internaEditar

Si a cada par de valores (a, b) de   la operación correspuéndelu a un valor c de A:

 

dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

Operación binaria esternaEditar

Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

  • Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

 

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

  • Si la operación ye de la forma:

 

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

  • Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

 

ye'l casu más xeneral, y tampoco denominase llei de composición.

Propiedaes d'una operación binariaEditar

Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de   sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos:  

 

Puede tener les siguientes propiedaes:

ConmutatividáEditar

Artículu principal: Conmutatividá

Dizse que   tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

 

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna  , nun ye conmutativa na A si:

 

Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

AnticonmutatividáEditar

La operación   en A ye anticonmutativa si:

 

Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

AsociatividáEditar

Artículu principal: Propiedá asociativa

Dizse que   ye asociativa si, solu si:

 

Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación   nun ye asociativa si cumplese:

 

Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

Propiedaes de dos operaciones binariesEditar

Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación   un valor c de A y con la operación   el valor d de A que representamos:  .

 

Pueden tener les siguientes propiedaes:

DistributividáEditar

Artículu principal: Distributividá

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pola esquierda y pola derecha.

Distributividá pola esquierdaEditar

Dizse que la operación   ye distributiva pola esquierda de   si cumplese:

 

Distributividá pola derechaEditar

Dizse que la operación   ye distributiva pola derecha de   si cumplse:

 

Elementos distinguidosEditar

Elementu neutruEditar

Artículu principal: Elementu neutru

Un elemento e ye elementu neutru en   si ye elementu neutru pola derecha y pola esquierda.

 

Elementu neutru pola derechaEditar

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pola derecha si:

 

Elementu neutru pola esquierdaEditar

Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pola esquierda si:

 

Unicidá del elementu neutruEditar

El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'.

  • Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que e a=a.
  • Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e' a=a.

Polo tantu, e a=e' a y ye claru que e=e'.

Elementu simétricuEditar

Artículu principal: Elementu simétricu

Dizse que   ye simétricu de   si:

 

onde e ye l'elementu neutru.

Elementu involutivuEditar

Dizse que   ye elementu involutivu si:

 

Elementu absorbenteEditar

Artículu principal: Elementu absorbente

Dizse que   ye elementu absorbente si:

 

Operación inversaEditar

Sía A un conxuntu con una operación binaria  :

 

polo que quepe la ecuación:

 

Si:

 

Si A almite elementos simétricos, defínese:

 

Arrexuntando:

 

onde e ye l'elementu neutru:

 

simplificando:

 

La operación inversa seria  

 

Otres propiedaesEditar

Simplificación o cancelativaEditar

Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pola esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pola derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

Divisores del ceroEditar

Sía'l conxuntu A y l'operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.
  2. A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.

Enllaces esternosEditar