Conmutatividá

En matemátiques, la propiedá conmutativa o conmutatividá ye una propiedá fundamental que tienen delles operaciones según la cual la resultancia d'operar dos elementos nun depende del orde en que se tomen. Esto cumplir na adición y la multiplicación ordinaries: el orde de los sumandos nun alteria la suma, o l'orde de los factores nun alteria'l productu.

Exemplu qu'amuesa la conmutatividá de la suma: 3 + 2 = 2 + 3.

La conmutatividá de les operaciones elementales de sumar y multiplicar yá yera conocida implícitamente dende l'antigüedá, anque nun foi llamada asina hasta principios del sieglu XIX, dómina en que les matemátiques contemporánees empezaben a formalizase. Les socesives ampliaciones del conceutu de númberu (númberos naturales, númberos enteros, númberos racionales, númberos reales) ampliaron l'algame de les operaciones de sumar y multiplicar, pero en toes elles caltiénse la conmutatividá. Esta propiedá tamién se satisfai en munches otres operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o'l productu de polinomios o de funciones reales.

En contraposición a la adición y la multiplicación de númberos, la sustraición y la división nun son operaciones conmutatives. Ente les operaciones non conmutatives cabo destacar tamién la composición de funciones, el productu de matrices y el productu vectorial.

A pesar de ser una propiedá aplicada básicamente a les operaciones matemátiques, la conmutatividá o la non conmutatividá son relevantes n'otros campos cercanos como la lóxica proposicional y delles operaciones de teoría de conxuntos, y en delles aplicaciones físiques tales como'l principiu d'incertidume de la mecánica cuántica. Fora del ámbitu científicu, tamién pueden atopase exemplos na vida cotidiana, una y bones la execución consecutiva de dos remanes puede tener un resultáu distinta según l'orde en que s'executen.

Definición

Ello ye que la conmutatividá ye un casu particular del conceutu de función simétrica. N'efeutu, una operación binaria en M nun ye más qu'una aplicación μ: M × M $\rightarrow$ M, y afirmar qu'esta ye simétrica, μ(x,y) = μ(y,x), ye esautamente lo mesmo que lo que rique la propiedá conmutativa.

Dada una operación binaria $\star$ un conxuntu M, dizse que dos elementos x, y de M conmutan (o que son permutables) cuando se cumple que x$\star$y = y$\star$x. Con éses una operación ye conmutativa cuando dos elementos cualesquier conmutan.

Exemplos básicos: adición y multiplicación de númberos

La importancia fundamental de la propiedá conmutativa anicia nel fechu de que la adición y la multiplicación de númberos naturales, los númberos que dexen cuntar los conxuntos finitos, son conmutatives. Por casu:

$2+3=5=3+2$

$2\cdot 3=6=3\cdot 2$

Espresáu de manera xeneral: pa cualesquier x, y de N:

$x+y=y+x$

$x\cdot y=y\cdot x$

L'ampliación del sistema de los númberos naturales a otros sistemes numbéricos: númberos enteros ($\mathbb {Z}$), númberos racionales ($\mathbb {Q}$), númberos reales ($\mathbb {R}$), y númberos complexos ($\mathbb {C}$), faise estendiéndose les operaciones de adición y multiplicación, y de manera que éstes siguen siendo conmutatives. Por casu:

${\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{3}}={\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1}{2}}$

Esto nun quier dicir que cualquier ampliación d'un sistema numbéricu necesariamente vaya a respetar les propiedaes previes. L'exemplu más importante d'esti fechu vien dau pol cuerpu de los cuaterniones H, que, al igual que'l de los númberos complexos, tamién ye una estensión del cuerpu de los númberos reales, pero con trés unidaes imaxinaries i, j, k en llugar d'una. La multiplicación de H non ye conmutativa, una y bones por casu i·j = k, ye distintu de j·i = -k.

En contraste coles operaciones de adición y multiplicación, les operaciones que les dexen invertir, sustraición y división, son claramente non conmutatives. Basta poner un par d'exemplos:

• La substraición nun ye conmutativa, yá que 1-2 $\neq$ 2-1.
• La división nun ye conmutativa, yá que 1/2 $\neq$ 2/1.

Nótese que pa poder efectuar estos cálculos hai que trabayar nel sistema numbéricu apropiáu: Z pa poder restar, y Q pa poder estremar por un númberu distintu de  0

Propiedaes

Ye importante destacar que pa sacar provechu de la conmutatividá d'una operación ye necesariu qu'ésta seya asociativa, yá que nesti casu la composición de n elementos x₁, …, x_n puede representase (ensin paréntesis) como x₁$\star$…$\star$x_n. Por casu

• (Teorema de conmutatividá) Si una operación ye asociativa y conmutativa entós la composición de n elementos puede calculase en

pa cualesquier permutación (y 1,..., y n) de los índices (1,..., n ).

Si una operación $\star$ asociativa y dos elementos x, y conmutan, entós tamién conmutan les sos «potencies»: $(\star ^{m}x)\star (\star ^{n}y)=(\star ^{n}y)\star (\star ^{m}x)$, pa cualesquier m y n númberos naturales non nulos. En particular, toles potencies» $\star ^{n}x$ (n> 0) conmutan ente elles.

• Sía $\star$ operación asociativa en M. Si x conmuta con y y con z, entós tamién conmuta con y$\star$z

Centru

Artículu principal: Centru (álxebra)

Dau un conxuntu M con una operación interna, el centru de M ye'l subconxuntu formáu polos elementos que conmutan con tolos demás; dacuando represéntase por Z(M). Afirmar que la operación ye conmutativa significa que'l centru de M ye tou M.

De resultes de la postrera de les propiedaes anteriores, si la operación ye asociativa entós el centru de M ye una parte estable pa la operación (esto ye, si dos elementos x, y pertenecen al centru entós x $\star$ tamién pertenez.)

Estructures alxebraiques y conmutatividá

Una estructura alxebraica vien dada por unu o dellos conxuntos dotaos d'operaciones binaries o operaciones esternes. Na definición de cada tipu d'estructura alxebraica impon qu'estes operaciones cumplan ciertes propiedaes, ente les que puede tar la propiedá conmutativa. Cuando en dalguna d'estes operaciones nun s'impon que satisfaiga la propiedá conmutativa pero sicasí satisfacer, entós añader l'axetivu conmutativu el nome de la estructura en cuestión.

• Un magma ye un conxuntu dotáu d'una operación binaria. Cuando esta ye conmutativa llámase magma conmutativu.
• Un monoide ye un conxuntu dotáu d'una operación asociativa con elementu neutru. Si tamién ye conmutativa, dizse monoide conmutativu. Por casu, (N,+) y (N,·) son monoides conmutativos.
• Un grupu ye un conxuntu dotáu d'una operación asociativa, con elementu neutru, y onde tou elementu ye simetritzable. Si la operación ye conmutativa llámase grupu conmutativu o grupu abeliano. Por casu, (Z,+) ye un grupu conmutativu.
• Un aniellu ye un conxuntu A dotáu de dos operaciones binaries, davezu denotadas con notación aditiva (+) y notación multiplicativa (·). Al respective de la primera, (A,+) ye un grupu conmutativu. Al respective de la segunda, (A,·) ye un monoide. Amás, la segunda ten de ser distributiva al respective de la primera. Cuando la multiplicación ye conmutativa, llámase aniellu conmutativu. Por casu, (Z,+, ·) ye un aniellu conmutativu.
• Un cuerpu ye un aniellu onde 0≠1 y tou elementu non nulu ye invertible. Un cuerpu llámase cuerpu conmutativu cuando la multiplicación ye conmutativa. Por casu, cola suma y productu habituales, Q, R y C son cuerpos conmutativos, ente que'l cuerpu de los cuaterniones H ye un cuerpu non conmutativu. (Nótese, sicasí, que dellos autores prefieren riquir la conmutatividá del productu dientro de la definición de cuerpu, en que'l so contestu los cuerpos non conmutativos son llamaos aniellos de división.)
• Un espaciu vectorial sobre un cuerpu K ye un conxuntu Y dotáu d'una adddició al respective de la que (Y,+) ye un grupu conmutativu, y de una operación esterna que dexa multiplicar elementos de Y (vectores) pa elementos de K (angulares). Si en llugar d'un cuerpu considérase un aniellu la estructura resultante llámase módulu.
• Dau un cuerpu conmutativu K (o, más xeneralmente, un aniellu conmutativu), una K-álxebra ye un conxuntu A dotáu d'una estructura de K-espaciu vectorial (K-módulu si K ye un aniellu) y de una segunda operación binaria, usualmente representada con notación multiplicativa. Cuando esta operación ye conmutativa llámase K-álxebra conmutativa. Por casu, C y H son R-álxebres asociatives y unitaries; la primera ye conmutativa y la segunda non. Otru exemplu de gran importancia ye'l conxuntu de los polinomios nuna variable con coeficientes en K, K[X], que coles operaciones habituales de suma y productu de polinomios y de productu por angulares ye una K-álxebra asociativa, conmutativa y unitaria.

Hai, sicasí, un casu especial nel que l'axetivu conmutativu nun tien esautamente'l mesmu significáu que nos casos anteriores:

• Una K-álxebra de Lie ye una K-álxebra que'l so productu, usualmente denotado por (x,y) $\mapsto$ [x,y], satisfai les propiedaes de ser alternáu ([x,x] = 0 pa tou x) y la identidá de Jacobi. Dizse que ye una K-álxebra de Lie conmutativa cuando'l productu de dos elementos cualesquier ye nulu: [x,y]=0.

L'axetivu conmutativu apaez tamién nel nome d'una caña del álxebra: el álxebra conmutativa, qu'estudia los aniellos conmutativos y los sos módulos.

Historia

El primer usu conocíu del términu conmutativu» foi nun artículu de servos en francés, en 1814.

Los primeros usos implícitos de la propiedá conmutativa remontar a l'antigüedá. Los exipcios utilizaben la propiedá conmutativa de la multiplicación pa simplificar el cálculu de productos. Na Antigua Grecia, Euclides asumió la propiedá conmutativa de la multiplicación na so obra Elementos. Los usos formales de la propiedá conmutativa apaecieron a finales del sieglu XVIII y los entamos del XIX, cuando los matemáticos empezaron a trabayar nel campu de la teoría de funciones.

El primer usu documentada del axetivu conmutativu foi nun artículu de François Servois de 1814 los Annales de Gergonne, onde apaez la espresión en francés conmutatives ente elles pa describir, na terminoloxía actual, el fechu de que dos funciones conmutan. En 1841 Duncan Farquharson Gregory usó la espresión n'inglés commutative law nel so llibru Examples of the processes of the differential and integral calculus pa referise a la posibilidá de conmutar dos operaciones. Esti usu foi recoyíu pocu dempués, en 1844, por George Boole nun artículu en Philosophical Transactions.

Otros usos y exemplos de conmutatividá

Lóxica proposicional

La propiedá conmutativa tamién ye aplicable a delles operaciones de la lóxica proposicional. En lóxica proposicional, la conmutación atopar en delles regles de sustitución:

$(P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)$

y :$(P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)$, onde "$\Leftrightarrow$" ye un símbolu metalógico que significa «nuna demostración formal, puede sustituyise con...».

Conectivos de funciones de verdá

La conmutatividá ye una propiedá de delles conectivas lóxiques de la lóxica proposicional, que s'espresa con equivalencies lóxiques:

Conmutatividá de la conxunción

$(P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)$

Conmutatividá de la dixunción

$(P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)$

Conmutatividá de la implicación (tamién llamada llei de la permutación)

$(P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))$

Conmutatividá de la equivalencia (tamién llamada llei conmutativa completa de la equivalencia)

$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)$

Teoría de conxuntos

La unión y la interseición de conxuntos son operaciones conmutatives. Anque estes operaciones pueden efectuase con families arbitraries de conxuntos, cuando se trata de dos conxuntos estes propiedaes esprésense :$A\cup B=B\cup A,\quad A\cap B=B\cap A$.

La suma y el productu de cardinales son operaciones conmutatives. Si ${\mathfrak {a}}$ i ${\mathfrak {b}}$ son dos cardinales, entós :${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}},\quad {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}$. Esto implica en particular que la suma y el productu de númberos naturales (esto ye, los cardinales de los conxuntos finitos) son conmutatives. La conmutatividá de la suma ye consecuencia de la de la unión de conxuntos. La conmutatividá del productu ye consecuencia de qu'un productu cartesianu de conxuntos tien el mesmu númberu d'elementos independientemente de cómo se realice esti productu.

En contraste colos cardinales, polo xeneral la suma y el productu d'ordinales transfinitos nun son conmutatives. Por casu, si ω ye l'ordinal de N, 1 + ω ≠ ω + 1.

Otres operaciones alxebraiques

Amás de la adición y multiplicación de númberos, hai otres operaciones análogues que son conmutatives. Ente elles destaca la adición de vectores nun espaciu vectorial cualesquier, como por casu l'espaciu euclidianu Rⁿ, l'espai M_m,n(R) de les matrices m×n con coeficientes reales, o l'espaciu de les funciones reales ${\mathcal {F}}$(Y,R) definíes nun conxuntu cualesquier Y. Tamién se diz que'l productu angular de vectores nun espaciu euclidianu ye conmutativu, anque, al nun tratase d'una operación interna, sería más apropiáu dicir que ye simétricu.

Vida cotidiana

Na vida cotidiana pueden atopase numberosos exemplos d'operaciones conmutatives, como por casu l'aición de ponese los calcetos: nun importa qué calcetu se ponga primeru, de cualesquier de los dos maneres la resultancia final (tener los dos calcetos puestos) ye'l mesmu. Un exemplu qu'utiliza la conmutatividá de la adición reparar cuando se paga un productu o serviciu con monedes: independientemente del orde en que se dean nel caxeru, el total acumuláu siempres ye'l mesmu.

Exemplos d'operaciones non conmutatives

Teoría de conxuntos

La composición de funciones nun ye una operación conmutativa. Por casu, consideremos les funciones f,g: R → R definíes por f(x)=x+1, g(x)=x². Entós

$(g\circ f)(x)=x^{2}+2x+1$   que ye distintu de   $(f\circ g)(x)=x^{2}+1$.

Un casu particular interesante ye'l de les biyecciones d'un conxuntu en sí mesmu, esto ye, les permutaciones, que formen un grupu dichu grupu simétricu. Esti nun ye conmutativu cuando'l conxuntu tien 3 o más elementos.

Operaciones alxebraiques

Tocantes a operaciones non conmutatives en matemátiques, y amás de la sustraición y división yá mentaes, delles operaciones binaries non conmutatives son les siguientes: La potenciación nun ye conmutativa, yá que, por casu, 2³ = 8 ye distintu de 3² = 9. La multiplicación de matrices nun ye conmutativa; por casu, :${\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}$, que ye distintu de ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}$. Más xeneralmente, si n≥2, l'aniellu de les matrices cuadraes M_n(R) nun ye conmutativu, y el so centru ta formáu poles matrices angulares, esto ye, les matrices múltiples de la identidá. El productu vectorial de dos vectores nel espaciu tridimensional ye anticonmutativa, esto ye, b × a = - a × b. Asina tenemos, por casu, i×j = k, diferent de j×i = -k.

Vida cotidiana

Na vida del día ente día pueden atopase ensame d'exemplos d'operaciones non conmutatives. Un exemplu senciellu podría ser el de llavar y planchar la ropa: les aiciones de llavar y planchar (nesti orde) producen un resultáu distinta que planchar y depués llavar. Otru exemplu ye la concatenación de testos, esto ye, l'aición de xuntar cadenes de calteres. Nun ye lo mesmo escribir LA y depués CA (LACA) qu'escribir primeru CA y depués LA (CALA). Finalmente, un últimu exemplu: los movimientos del cubu de Rubik non conmutan (ello ye que toos ellos formen un grupu non conmutativu).

Conmutador

Artículu principal: Conmutador de dos operadores

El conmutador da una indicación de la midida en qu'una cierta operación binaria nun consigue ser conmutativa. Pa poder definilo, hai una cierta estructura adicional, yá seya que la operación ye la d'un grupu, o bien que seya la multiplicación nun aniellu o álxebra.

Nun grupu

Nun grupu, el conmutador de dos elementos x y y ye l'elementu:

$[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$

(Tamién puede definise con otru conveniu, invirtiendo les segundes x y y en llugar de les primeres.) Ta claro que [x,y] = y (elementu neutru del grupu) si x y y conmutan. Un grupu ye conmutativu sii tolos conmutadores son l'elementu neutru.

El conxuntu de los conmutadores d'un grupu G nun ye polo xeneral un subgrupu, pero xenera un subgrupu normal llamáu subgrupu de los conmutadores o subgrupu deriváu. El cociente G / D de G pol so subgrupu deriváu ye un grupu conmutativu llamáu grupu abelianitzat de G; ye'l más grande de los cocientes conmutativos de G.

Nun aniellu o una álxebra

Nun aniellu o, más xeneralmente, nuna álxebra, el conmutador de dos elementos x y y ye l'elementu :[x,y] = xy − yx. De nuevu, ta claro que [x, y] = 0 sii x y y conmutan. Un aniellu o álxebra son conmutativos si tolos conmutadores son nulos.

Si A ye una K-álxebra asociativa, entós el productu (x,y) $\mapsto$ [x,y] definíu pol conmutador ye alternáu y satisfai la identidá de Jacobi, de manera A ye tamién una K-álxebra de Lie. La álxebra asociativa A ye conmutativa si la so álxebra de Lie acomuñada tamién lo ye.

Propiedaes rellacionaes

Asociatividá

Artículu principal: Propiedá asociativa

La propiedá asociativa ta bien rellacionada cola conmutativa. La propiedá asociativa d'una espresión que contién dos o más escurrimientos del mesmu operador postula que l'orde que se lleven a cabu les operaciones nun afecta al resultáu final, siempres que l'orde de los términos nun camude. Otra manera, la propiedá conmutativa diz que l'orde de los términos nun afecta al resultáu final.

La mayoría d'operaciones conmutatives que s'atopen na práutica tamién son asociatives. Sicasí, la conmutatividá nun implica la asociatividá. Un contraejemplo senciellu ye'l siguiente:

$m(x,y)={\frac {x+y}{2}}\,.$

Esta operación ye claramente conmutativa (l'intercambiu ente x y y nun afecta la resultancia final porque se trata d'una suma) pero nun ye asociativa, yá que, por casu, m(1,m(2,3)) = 7/4, pero m(m(1,2),3) = 9/4. Al nun ser asociativa nun puede aplicase el teorema de conmutatividá, como se ve por casu en que m(1,m(2,3)) ≠ m(2,m(1,3)).

Esiste una rellación interesante ente asociatividá y conmutatividá. Consideremos un conxuntu M dotáu d'una operación que vamos representar multiplicativamente. Consideremos, pa cada a de M, les correspondientes traslaciones pola izquierda y la derecha:

L_a: M → M, L_a(x) = ax, :

R_a: M → M, R_a(x) = xa. La asociatividá de la operación significa que (xy)z = x(yz) pa cualesquier x,y,z. Pero esta espresión puede escribise R_z $\circ$ L_x (y) = L_x $\circ$ R_z (y), polo que la operación ye asociativa si toa traslación pola izquierda conmuta con toa traslación pola derecha.

Simetría

Artículu principal: Simetría

Gráficu qu'amuesa la simetría de la función suma.

Delles formes de simetría pueden rellacionase direutamente cola conmutatividá. Cuando un operador conmutativu escribi como una función binaria entós la función resultante ye simétrica a lo llargo de la llinia y = x. Por casu, si la función f representa la suma (una operación conmutativa) de tal manera que f(x,y) = x + y, entós f ye una función simétrica (vease la imaxe de la derecha, onde se repara la simetría al respective de la diagonal).

Tocantes a rellaciones ente dos variables, hai una estrecha conexón ente conmutatividá y la rellación simétrica. Afirmar qu'una rellación R ye simétrica significa que $x\,R\,y\Leftrightarrow y\,R\,x$.

Operadores que non conmutan en mecánica cuántica

Artículu principal: Principiu d'incertidume de Heisenberg

En mecánica cuántica, tal como la formuló Schrödinger, les magnitúes observables físiques corresponder con un ciertu tipu d'operadores lliniales, los operadores autoadjuntos nun espaciu de Hilbert apropiáu. Por casu, nun movimientu unidimensional la posición x y la cantidá de movimientu p d'una partícula tán representaes respeutivamente polos operadores ${\hat {x}}$ y ${\hat {p}}$. Cuando l'estáu del sistema representar por aciu una función d'onda ψ(x) de L²(R), entós esti operadores interpreten como ${\hat {x}}\psi =x\,\psi (x)$ (multiplicar por x) y ${\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \,\mathrm {d} /\mathrm {d} x$ (onde ħ ye la constante de Planck amenorgada). Estos dos operadores non conmutan, tal como puede comprobase considerando la resultancia de componelos actuando sobre ψ(x) (omitimos el factor constante -iħ):

$x\left({d \over dx}\psi \right)=x\psi '$  distintu de  ${d \over dx}(x\psi (x))=\psi +x\psi '$

Esta non conmutación tamién puede espresase calculando'l so conmutador:

$[{\hat {x}},{\hat {p}}]=\mathrm {i} \hbar \,\mathrm {Id} \,.$

Según el principiu d'incertidume de Heisenberg, si los operadores que representen dos magnitud observables non conmutan, entós éstes non pueden midise de forma precisa y simultánea. Asina pos la posición y la cantidá de movimientu (nuna direición dada) non pueden determinase simultáneamente. De manera más precisa, esta incertidume mínima vien cuantificada precisamente pol valor esperáu del conmutador de los dos operadores, y nel casu que nos ocupa esto significa que les esviaciones estándares de la posición y el momentu satisfaen la desigualdá σ_xσ_p

Bibliografía

Llibros Bourbaki, N. (1970). Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francés). Paris: Hermann. Éléments de mathématique (Elementos de matemática), llibru d'álxebra. Bourbaki, N. (1971). Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 1 (en francés). Paris: Hermann. Éléments de mathématique, llibru de grupos y álxebres de Lie. Bourbaki, N. (1970.). Théorie des ensembles (en francés). Paris: Hermann. Éléments de mathématique, llibru de teoría de conxuntos. Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. Nueva York: Van Nostrand. Testu clásicu de teoría de conxuntos. Cantor, Georg (2006). Fundamento pa una teoría xeneral de conxuntos editorial=Crítica. ISBN 84-8432-695-0. Castellet, Manuel; Llerena, Isabel (1990). Àlgebra llinial i geometria (en catalán). Inglaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN 84-7488-943-X. Llibru de primer cursu d'universidá, onde se define o s'estudia la conmutatividá de delles operaciones. Lang, Serge (2002). Algebra, 3a ed. (n'inglés), Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95385-X. Testu clásicu d'álxebra. Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind mathematical papyrus: An ancient Egyptian text (n'inglés). Londres: British Museum Publications. ISBN 0-7141-0944-4. Traducción ya interpretación del papiru de Rhind. Fontes históriques Boole, George (1844). páx. p. 225-282. Philosophical Transactions. Servois (1814). páx. p. 93-140. Annales de Gergonne. "Artículu de servos onde introduz el términu "conmutativu ". Gregory, Duncan Farquharson (1841). Examples of the processes of the differential and integral calculus. Cambridge: University Press. Llibru de Gregory onde usa la espresión "llei conmutativa". Artículu de Boole onde usa la espresión "llei conmutativa". Recursos en llinia PlanetMath (ed.): «Commutative» (inglés) (2013). Definición de conmutatividá y exemplos senciellos d'operaciones conmutatives y non conmutatives. Lumpkin, Beatrice (1997). «The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter» (inglés). Artículu ensin publicar que describe la capacidá matemática de les civilizaciones antigües. Miller, Jeff (2013). «Commutative and distributive» (inglés). Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. "Páxina sobre los primeros usos de términos matemáticos. O'Connor, J.J. (2005). «The real numbers: Pythagoras to Stevin» (inglés). MacTutor History of Mathematics. Artículu sobre la hestoria de los númberos reales O'Connor, J.J. (2000). MacTutor History of Mathematics (ed.): «François Joseph Servois» (inglés). Biografía sobre Servois.

Ver tamién

• Anticonmutatividá
• Propiedá distributiva

Enllaces esternos

• Propiedá conmutativa de la suma, videu en YouTube
• Propiedá conmutativa de la multiplicación, videu en YouTube
• Esta obra remanez de la traducción total de Propietat commutativa de Wikipedia - catalán, concretamente d'esta versión, espublizada polos sos editores baxo la Llicencia de documentación llibre de GNU y la Llicencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

• Datos: Q165474
• Multimedia: Commutativity