Sistema de coordenaes

Sistema de coordenaes
	oxetu astrautu

En xeometría, un sistema de coordenaes ye un sistema qu'utiliza unu o más númberos (coordenaes) pa determinar unívocamente la posición d'un puntu o d'otru oxetu xeométricu.^[1] L'orde en que s'escriben les coordenaes ye significativu y dacuando identificar pola so posición nuna tupla ordenada; tamién-y les puede representar con lletres, como por casu «la coordenada-x». L'estudiu de los sistemes de coordenaes ye oxetu de la xeometría analítica, dexa formular los problemes xeométricos de forma "numbérica".^[2]

Un exemplu corriente ye'l sistema qu'asigna llonxitú y llatitú p'alcontrar coordenaes xeográfiques. En física, un sistema de coordenaes pa describir puntos nel espaciu recibe'l nome de sistema de referencia.

Exemplos de sistemes de coordenaes

Sistema de coordenaes cartesianes

Coordenaes cartesianes.

Nun espaciu euclideu un sistema de coordenaes cartesianes definir por dos o tres eje ortogonales igualmente esguilaos, dependiendo de si ye un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ pueden definise sistemes n-dimensionales). El valor de caúna de les coordenaes d'un puntu (A) ye igual a la proyeición ortogonal del vector de posición de dichu puntu ( $\mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}\,$ ) sobre una exa determinada:

$\mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}=(x_{\text{A}},y_{\text{A}},z_{\text{A}})$

Cada unu de les exes ta definíu por un vector direutor y pol orixe de coordenaes. Por casu, la exa x ta definíu pol orixe de coordenaes (O) y un vector ( $\mathbf {i} \,$ ) tal que:

\mathbf {i} =(1,0,0)

, que'l so módulu ye

|\mathbf {i} |=1\,

.

El valor de la coordenada x d'un puntu ye igual a la proyeición ortogonal del vector de posición de dichu puntu sobre la exa x.

$x_{\text{A}}={{\text{OA}}\cdot \mathbf {i} \over |{\text{OA}}|\cdot |\mathbf {i} |}={{\text{OA}} \over |{\text{OA}}|}\cdot \mathbf {i}$

Sistema de coordenaes polares

Llocalización d'un puntu en coordenaes polares.

El sistema de coordenaes polares ye un sistema de coordenaes bidimensional nel cual cada puntu o posición del planu determinar por un ángulu y una distancia.

Sistema de coordenaes cilíndriques

Significáu de les coordenaes cilíndriques.

El sistema de coordenaes cilíndriques $\scriptstyle {\mathcal {C}}=\{(\rho ,\varphi ,z)|\ \rho >0,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ z\in \mathbb {R} \}$ usar pa representar los puntos d'un espaciu euclideu tridimensional. Resulta especialmente útil en problemes con simetría axial. Esti sistema de coordenaes ye una xeneralización del sistema de coordenaes polares del planu euclideu, al que s'añedir una tercer exa de referencia ortogonal a los otros dos. La primer coordenada ye la distancia esistente ente la exa Z y el puntu, la segunda ye l'ángulu que formen la exa X y la recta que pasa por dambos puntos, ente que la tercera ye la coordenada z que determina l'altor del cilindru.

Sistema de coordenaes esfériques

Al igual que les coordenaes cilíndriques, el sistema de coordenaes esfériques usar n'espacios euclídianos tridimensionales. Esti sistema de coordenaes esfériques ta formáu por trés exes mutuamente ortogonales que se corten nel orixe. La primer coordenada ye la distancia ente l'orixe y el puntu, siendo les otres dos los ángulos que ye necesariu xirar p'algamar la posición del puntu.

Coordenaes xeográfiques

Esti tipu de coordenaes cartográfiques, subtipo de les coordenaes esfériques, usar pa definir puntos sobre una superficie esférica. Hai dellos tipos de coordenaes xeográfiques. El sistema más clásicu y conocíu ye'l qu'emplega la llatitú y la llonxitú, que pueden amosara nos siguientes formatos:

DD --- Decimal Degree (Graos Polares): ej. 49.500-123.500
DM --- Degree:Minute (Graos:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS -- Degree:Minute:Second (Graos:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

Tamién puede definise les coordenaes d'un puntu de la superficie de la Tierra, utilizando una proyeición cartográfica. El sistema de coordenaes cartográfiques proyeutaes más habitual ye'l sistema de coordenaes UTM.

Coordenaes curvillinies xenerales

Un sistema de coordenaes curvillinios ye la forma más xeneral de parametrizar o etiquetar los puntos d'un espaciu llocalmente euclideu o variedá diferenciable (globalmente l'espaciu puede ser euclideu pero non necesariamente). Si tenemos un espaciu llocalmente euclideu M de dimensión m, podemos construyir un sistema de coordenaes curvilliniu llocal en redol a un puntu p siempres a partir de cualesquier difeomorfismo que cumpla:

\phi :M\to \mathbb {R} ^{m}\qquad p\in M\land \phi (p)=(0,0,...,0)\in \mathbb {R} ^{m}

Pa cualquier puntu q cercanu a p defínense les sos coordenaes curvillinies:

\phi (q)=(x_{1},x_{2},...,x_{m})\,

Si l'espaciu llocalmente euclideu tien la estructura de variedá de Riemann pueden clasificase a ciertos sistemes de coordenaes curvillinies en sistema de coordenaes ortogonales y cuando ye sistema de coordenaes ortonormales. Les coordenaes cilíndriques y les coordenaes esfériques son casos particulares de sistemes de coordenaes ortogonales sobre l'espaciu euclideu $\mathbb {R} ^{3}$ .

Coordenaes curvillinies ortogonales

Un sistema de coordenaes curvillinies llámase ortogonal cuando'l tensor métricu espresáu neses coordenaes tien una forma diagonal. Cuando eso asocede munches de les fórmules del cálculu vectorial diferencial pueden escribise de forma particularmente simple neses coordenaes, pudiéndose aprovechar esi fechu cuando esiste por casu simetría axial, esférica o d'otru tipu fácilmente representable neses coordenaes curvillinies ortogonales.

Les coordenaes esféricu y cilíndricu son casos particulares de coordenaes curvillinies ortogonales.

Cambeos de coordenaes

Na resolución de problemes físicos y matemáticos ye común la estratexa del cambéu de coordenaes. N'esencia un cambéu de coordenaes supón camudar les variables de les qu'a depende'l problema, a otres coordenaes distintes nes que'l problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que dexa atopar la solución con mayor facilidá.

Más formalmente un cambéu de coordenaes puede representase por un difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa tamién diferenciable) ente dos conxuntos de $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ , equí llamaos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$ :

${\begin{matrix}\phi :&A\subset \mathbb {R} ^{n}&\longrightarrow &B\subset \mathbb {R} ^{n}\\&\mathbf {x} &\longmapsto &\mathbf {y} =\phi (\mathbf {x} )\end{matrix}}\qquad \land \qquad \det D\phi ={\frac {\partial (y^{1},\dots ,y^{n})}{\partial (x^{1},\dots ,x^{n})}}\neq 0$

Esti cambéu de variable dexa por casu reescribir integrales de la siguiente manera:

$\int _{D\subset B}f(\mathbf {y} )\ d^{n}\mathbf {y} =\int _{\phi ^{-1}(D)}(f\circ \phi )(\mathbf {x} )\ |\det D\phi (\mathbf {x} )|\ d^{n}\mathbf {x} =\int _{\tilde {D}}{\tilde {f}}(\mathbf {x} )\ Jd^{n}\mathbf {x}$

Onde:

f(\mathbf {y} ),{\tilde {f}}(\mathbf {x} )=(f\circ \phi )(\mathbf {x} )

representa la función que pretende integrase espresada nes vieyes y les nueves coordenaes.

J=|\det D\phi (\mathbf {x} )|

ye'l jacobiano del cambéu de coordenaes.

D,{\tilde {D}}=\phi ^{-1}(D)

ye'l dominiu d'integración espresáu nes vieyes y les nueves coordenaes.

Pa tresformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de les nueves coordenaes úsense les lleis de tresformamientu tensorial:

${\frac {\partial f(\mathbf {y} )}{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial f(\phi (\mathbf {x} ))}{\partial x^{k}}}$

Orixe de coordenaes

Orixe d'un sistema bidimensional de coordenaes cartesianes.

El orixe de coordenaes ye'l puntu de referencia d'un sistema de coordenaes. Nesti puntu, el valor de toles coordenaes del sistema ye nulu. Sicasí, en dellos sistemes de coordenaes nun ye necesariu establecer nules toles coordenaes. Por casu, nun sistema de coordenaes esfériques ye abonda con establecer el radiu nulu ( $\rho =0$ ), siendo indiferentes los valores de llatitú y llonxitú.

Nun sistema de coordenaes cartesianes, l'orixe ye'l puntu en que les exes del sistema córtense.

Ver tamién

Referencies

↑ Weisstein, Eric W. «Coordinate System» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
↑ Weisstein, Eric W. «Coordinates» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Enllaces esternos

Epsilones - La invención de los sistemes de coordenaes

[1] Weisstein, Eric W. «Coordinate System» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

[2] Weisstein, Eric W. «Coordinates» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

[1]

[2]