Álxebra multilineal

Na matemática, el álxebra multilineal ye una área d'estudiu que xeneraliza los métodos del álxebra llinial. Los oxetos d'estudiu son los productos tensoriales d'espacios vectoriales y los tresformamientos multi-lliniales ente los espacios.

Notación

La álxebra multilineal fai un usu intensivu de la notación multi-índiz. Una notación d'esi tipu fai representar les combinaciones lliniales por un conxuntu de dos o más índices repitíos.

Nel casu elemental (tensores de rangu unu contravariantes) tenemos, usando la convención de la suma d'Einstein: $\scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,$ . Lo cual indica que l'oxetu X, ye la combinación llinial:

$\sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}y_{1}+X^{2}y_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}$

sobre los vectores básicos

\scriptstyle y_{s}\,

, y los

\scriptstyle X^{s}\,

llamaos los componentes de X. Equí

n

ye la dimensión (alxebraica) d'espaciu onde "vive" X. Por convención llamar a estos 1-contra-tensores.

En rangu unu tamién tán los 1-co tensores, ye dicir mapeos lliniales dende l'espaciu escoyíu escontra'l campu d'esguilar. Ellos escríbense como combinación llinial de los funcionales lliniales $y^{s}$ , tresformamientos lliniales $\scriptstyle V\to \mathbb {K}$ que satisfaen: $\scriptstyle y^{s}(y_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }$ , onde (como clásicamente) ta usándose la delta de Kronecker. Asina cualesquier covector $\scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K}$ escríbese como $\scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,$ , notación qu'embrive $\scriptstyle f=f_{1}y^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,$ .
Tensores de rango dos:
- Un tensor de rango dos contravariante ye $\scriptstyle B=B^{st}y_{s}\otimes y_{t}$ .
- Un tensor de rango dos covariante ye $\scriptstyle C=C_{st}y^{s}\otimes y^{t}$ .
- Y un tensor de rango dos mistu ye $\scriptstyle D={D^{s}}_{t}y_{s}\otimes y^{t}$ . Esto indica una combinación llinial bi-indexada.

Por casu,

$B=B^{11}y_{1}\otimes y_{1}+B^{12}y_{1}\otimes y_{2}+B^{21}y_{2}\otimes y_{1}+B^{22}y_{2}\otimes y_{2}$

si la dimensión del espaciu ye dos.

Xeneralizando lo anterior escríbese $\scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}$ pa representar los componentes d'un tensor mistu A, que ye p-contravariante y q-covariante. Pero

$A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}y_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes y_{i_{p}}\otimes y^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes y^{j_{q}}$

representa una combinación llinial multi-indexada.

Tou lo anterior namái foi considerando que l'espaciu vectorial ye de dinensión finita igual a n.

Productu tensorial

Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respeutives bases $\{b_{1},...,b_{n}\}$ , $\{c_{1},...,c_{m}\}$ defínese'l so productu tensorial

$V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle$

ye dicir l'espaciu vectorial xeneráu polos nuevu símbolos

$\{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}$

Y por lo tanto si un oxetu X que vive en (pertenez a) $\scriptstyle V\otimes W$ entós él puédese representar como una combinación llinial

$X=X^{11}b_{1}\otimes c_{1}+X^{12}b_{1}\otimes c_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}$

y la cual vase a embrivir como

$X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}$

los índices repitíos s o t, una vegada enriba y una vegada embaxo -ta conveníu- indica sumación, cada unu.

Esta definición ye absolutamente astracta, pero dende'l puntu de vista alxebraicu nun hai nengún problema esplorar toles posibilidaes del productu tensorial. Una plétora d'espacios surde (y d'importancia capital) a cencielles al considerar un espaciu vectorial V y el so dual $V^{*}$ unu llogra los espacios:

$V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }$

$\scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)$

$\scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,$

$\scriptstyle V\wedge V$

$\scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,$

Toos ellos d'usu cotidianu na xeometría diferencial, xeometría alxebraica, álxebra conmutativa, relatividá y cuántica, teoríes de campu, QFT, TQFT y otres.

Tensores y formes

Sía $V$ xeneráu polos $b_{i}$ . Simbolicemos con $\beta ^{\mu }$ la base de dual $\scriptstyle V^{*}$ . Cualquier elementu de $\scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}$ escribir de la forma $\scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }$ . Esta mesma espresión puede ser vista como un mapa bilineal

\scriptstyle V\times V{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R}

\scriptstyle (b_{i},b_{j})\mapsto B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}

sabiendo que $\scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}$ - kronecker.

Otru de rango dos ye $\scriptstyle V\otimes V^{*}$ . Los elementos d'equí vense como combinaciones lliniales bi-indexadas $\scriptstyle {B^{\mu }}_{\nu }b_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }$ .

Dellos conceutos desenvueltos (llista incompleta)

Referencies

Bibliografía

Robert M. Wald, Xeneral Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.