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Esti artículu ta empobináu a apurrir un tratamientu rigoroso y astracto del conceutu d'espaciu vectorial. Pa una introducción más accesible al conceutu, vease Vector
Representación artística d'un espaciu vectorial.

N'álxebra astracta, un espaciu vectorial ye una estructura alxebraica creada a partir d'un dominiu de definición conxuntu non vacíu, una operación interna (llamada suma, definida pa los elementos del conxuntu) y una operación esterna (llamada productu por un angular, definida ente dichu conxuntu y otru conxuntu, con estructura de cuerpu ), con 8 propiedaes fundamentales.

A los elementos d'un espaciu vectorial llámase-yos vectores y a los elementos del cuerpu, angulares.

HistoriaEditar

Históricamente, les primeres idees que conducieron a los espacios vectoriales modernos remontar al sieglu XVII: xeometría analítica, matrices y sistemes d'ecuaciones lliniales.

Los espacios vectoriales derivar de la xeometría allegada al traviés de la introducción de coordenadas nel planu o l'espaciu tridimensional. Alredor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron les bases de la xeometría analítica por aciu la vinculación de les soluciones d'una ecuación con dos variables a la determinación d'una curva plana.[nota 1] Pa llograr una solución xeométrica ensin usar coordenaes, Bernhard Bolzano introdució en 1804 ciertes operaciones sobre puntos, llinies y planos, que son predecesores de los vectores.[nota 2] Esti trabayu fixo usu del conceutu de coordenaes baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[nota 3]

La primer formulación moderna y axomática deber a Giuseppe Peano, a finales del sieglu XIX. Les siguientes meyores na teoría d'espacios vectoriales provienen del analís funcional, principalmente de espacios de funciones. Los problemes d'analís funcional riquíen resolver problemes sobre la converxencia. Esto fixo dotando a los espacios vectoriales d'una fayadiza topoloxía, dexando tener en cuenta cuestiones de proximidá y continuidá. Estos espacios vectoriales topolóxicossobremanera los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y ellaborada.

L'orixe de la definición de los vectores ye la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que ye un segmentu empobináu, unu de que los sos estremos ye l'orixe y l'otru un oxetivu. Los vectores reconsiderar cola presentación de los númberos complexos d'Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por esti postreru (Hamilton foi amás el qu'inventó'l nome de vector).[nota 4] Son elementos de R² y R⁴; el tratamientu por aciu combinaciones lliniales remontar a Laguerre en 1867, quien tamién definió los sistemes d'ecuaciones lliniales.

En 1857, Cayley introdució la notación matricial que dexa una harmonización y simplificación de les aplicaciones lliniales. Casi coles mesmes, Grassmann estudió'l cálculu baricéntrico empecipiáu por Möbius. Previo conxuntos d'oxetos astractos dotaos d'operaciones.[nota 5] Nel so trabayu, los conceutos de independencia llinial y dimensión, lo mesmo que de productu angular tán presentes. En realidá'l trabayu de Grassmann de 1844 supera'l marcu de los espacios vectoriales, una y bones teniendo en cuenta la multiplicación, tamién, llevar a lo qu'anguaño se llamen álxebras. El matemáticu italianu Peano dio la primer definición moderna d'espacios vectoriales y aplicaciones lliniales en 1888.[nota 6]

Un desenvolvimientu importante de los espacios vectoriales deber a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde foi formalizáu por Banach na so tesis doctoral de 1920[nota 7] y por Hilbert. Nesti momentu, el álxebra y el nuevu campu del analís funcional empezaron a interactuarsobremanera con conceutos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tamién nesti tiempu, los primeros estudios sobre espacios vectoriales d'infinites dimensiones realizáronse.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones n'otres cañes de la matemática, la ciencia y la inxeniería. Utilizar en métodos como les series de Fourier, que s'utiliza nes rutines modernes de compresión d'imáxenes y soníu, o apurren el marcu pa resolver ecuaciones en derivaes parciales. Amás, los espacios vectoriales apurren una forma astracta llibre de coordenaes de tratar con oxetos xeométricos y físicos, tales como tensores, que de la mesma dexen estudiar les propiedaes locales de variedaes por aciu técniques de linealización.

NotaciónEditar

Dáu un espaciu vectorial   sobre un cuerpu  , estrémense.

Los elementos de   como:

  llámense vectores.
Caligrafíes d'otres obres
 
Si'l testu ye de física suelen representase so una flecha:
 

Los elementos de   como:

  llámense angulares.

Definición d'espaciu vectorialEditar

Un espaciu vectorial sobre un cuerpu   (como'l cuerpu de los númberos reales o los númberos complexos) ye un conxuntu   non vacíu, dotáu de dos operaciones pa les cualos va ser zarráu:

 

operación interna tal que:

1) tenga la propiedá conmutativa, ye dicir


 

2) tenga la propiedá asociativa, ye dicir


 

3) tenga elementu neutru  , (exemplu 0 nos reales) ye dicir
     
4) tenga elementu opuestu, ye dicir
   

y l'operación productu por un angular:

 

operación esterna tal que:

5) tenga la propiedá asociativa:
     
6) Esistencia del elementu neutru multiplicativu   (exemplu 1 nos reales) del cuerpu K, ye sí mesmu.
     
7) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma de vectores:
     
8) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma d'angulares:
     
Ver tamién: Espaciu euclídeo
Ver tamién: Vector

ObservacionesEditar

La denominación de los dos operaciones nun condiciona la definición d'espaciu vectorial polo que ye habitual atopar traducciones d'obres nes que s'utiliza multiplicación pal productu y adición pa la suma, usando les distinciones propies de l'aritmética.

Pa demostrar qu'un conxuntu   ye un espaciu vectorial:

  • Ser si los sos dos operaciones, por casu   y   almiten una redefinición del tipu   y   cumpliendo les 8 condiciones esixíes.
  • Si supiéramos que   ye un grupu conmutativu o abeliano respeuto la suma yá tendríamos probaos los apartaos 1, 2, 3 y 4.
  • Si supiéramos que'l productu ye una aición pola esquierda de   tendríamos probaos los apartaos 5 y 6.
  • Si nun se diz lo contrario:
 .

PropiedadEditar

Plantía:Demostración Plantía:Demostración Plantía:Demostración Plantía:Demostración Plantía:Demostración Plantía:Demostración Si    

  • Si   ye ciertu.
  • Si  

entós:

               

Notación

 .

Observación

 
  • Si    
  • Si    

Primer exemplu con demostraciónEditar

Quier probase que   ye un espaciu vectorial sobre  

Si   xuega'l papel de   y   el de  :

Los elementos:

 

son, de forma xenérica:

 

esto ye, pares de númberos reales. Por claridá caltiense la denominación del vector, nesti casu o, nes sos coordenaes, añediendo'l subíndice x o y pa denominar el so componente na exa x o y respeutivamente

En   defínese la operación suma:

 

onde:

 
 
 

y la suma de o y v sería:

 

onde:

 

esto implica que la suma de vectores ye interna y bien definida.

La operación interna suma tien les propiedaes:

1) La propiedá conmutativa, esto ye:

 
 
 
 
 
 
 

2) La propiedá asociativa:

 
 
 
 

3) tien elementu neutru  :

 
 

4) tenga elementu opuestu:

 
 
 

La operación productu por un angular:

 

El productu de a y o va ser:

 

onde:

 

esto implica que la multiplicación de vector por angular ye esterna y aun así ta bien definida.

5) tenga la propiedá asociativa:

 

Esto ye:

 
 
 
 

6)   seya elementu neutru nel productu:

 

Que resulta:

 
 
 
 

Que tien la propiedá distributiva:

7) distributiva pola esquierda:

 

Nesti casu tenemos:

 
 
 
 
 

8) distributiva pola derecha:

 

Qu'en esti casu tenemos:

 
 
 
 
 

Queda demostráu que ye espaciu vectorial.

Exemplos d'espacios vectorialesEditar

Los cuerposEditar

Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre él mesmu, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

  •   ye un espaciu vectorial de dimensión unu sobre  .

Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre'l so subcuerpo, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

  •   ye un espaciu vectorial sobre  .
  •   ye un espaciu vectorial sobre  .

Socesiones sobre un cuerpu  Editar

L'espaciu vectorial más conocíu notáu como  , onde n>0 ye un enteru, tien como elementos n-tuplas, esto ye, socesiones finitas de   de llargor n coles operaciones:

(o1, o2, ..., on)+(v1, v2, ..., vn)=(o1+v1, o2+v2, ..., on+vn).
a(o1, o2, ..., on)=(au1, au2, ..., aun).

Les socesiones infinites de   son espacios vectoriales coles operaciones:

(o1, o2, ..., on, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(o1+v1, o2+v2, ..., on+vn, ...).
a(o1, o2, ..., on, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).

L'espaciu de les matrices  ,  , sobre  , coles operaciones:

 
 

Tamién son espacios vectoriales cualquier agrupación d'elementos de   nes cualos defínase les operaciones suma y productu ente estes agrupaciones, elementu a elementu, similar al de matrices  , asina por casu tenemos les caxes   sobre   qu'apaecen nel desenvolvimientu de Taylor d'orde 3 d'una función xenérica.

Espacios d'aplicaciones sobre un cuerpuEditar

El conxuntu   de les aplicaciones  ,   un cuerpu y   un conxuntu, tamién formen espacios vectoriales por aciu la suma y la multiplicación habitual:

 
 

Los polinomiosEditar

 
Suma de f(x)=x+x² y g(x)=-x².

L'espacio vectorial K[x] formáu por funciones polinómicas, veámoslo:

Espresión xeneral:  ,onde los coeficientes  , considérese  .
       , onde   y  ,
     .

Les series de potencies son similares, sacantes se dexen infinitos términos distintos de cero.

Funciones trigonométriquesEditar

Les funciones trigonométriques formen espacios vectoriales coles siguientes operaciones:

Espresión xeneral:  
     ,
     .

Los sistemes d'ecuaciones lliniales homoxéneesEditar

Artículu principal: ecuación diferencial llinial
 
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

  o equivalentemente   simplificáu como  

Un sistema d'ecuaciones lliniales homoxénees( ecuaciones lliniales nes que   ye siempres una solución, esto ye,  ) tien soluciones que formen un espaciu vectorial, puede vese nos sos dos operaciones:

Si    
Si    .

Tamién que les ecuaciones en sí, files de la matriz   notaes como una matriz  , esto ye,  , son un espaciu vectorial, como puede vese nos sos dos operaciones:

Si    
Si    .

Definición de subespacio vectorialEditar

Sía   un espaciu vectorial sobre  , y   non vacíu,   ye un subespacio vectorial de   si:

 
 

ConsecuenciesEditar

  herieda les operaciones de   como aplicaciones bien definíes, ye dicir que nun escapen de  , y de resultes tenemos que   ye un espaciu vectorial sobre  .

Con cualquier subconxuntu d'elementos escoyíos nos espacios vectoriales anteriores, non vacíu, pueden xenerase subespacios vectoriales, pa ello seria útil introducir nuevos conceutos que van facilitar el trabayu sobre estos nuevos espacios vectoriales.

Resultaos internesEditar

Pa detallar el comportamientu internu de tolos espacios vectoriales de manera xeneral ye necesariu esponer una serie de ferramientes cronológicamente venceyaes ente elles, coles cualos ye posible construyir resultaos válides en cualquier estructura que seya espaciu vectorial.

Combinación llinialEditar

 
Cada vector o ye combinación llinial de forma única

Dáu un espaciu vectorial  , vamos dicir qu'un vector o ye combinación llinial de los vectores de   si esisten angulares   tales que


 

Vamos Notar como   el conxuntu resultante de toles combinaciones lliniales de los vectores de  .

Proposición 1Editar

Dáu   un espaciu vectorial y   un conxuntu de vectores, el conxuntu   ye'l subespacio vectorial más pequeñu conteníu en   y que contién a  .

Plantía:Demostración

Nota. Nesti casu dizse que   ye un sistema de xeneradores que xenera a  .

Independencia llinialEditar

Vamos Dicir qu'un conxuntu   de vectores ye linealmente independiente si'l vector 0 non puede espresase como combinación llinial non nula de los vectores de  , esto ye:

Si  .

Vamos Dicir qu'un conxuntu   de vectores ye linealmente dependiente si nun ye linealmente independiente.

Proposición 2Editar

  son linealmente dependientes  

Plantía:Demostración

Base d'un espaciu vectorialEditar

Artículu principal: Base

Les bases revelen la estructura de los espacios vectoriales d'una manera concisa. Una base ye'l menor conxuntu (finito o infinitu) B = {vi}iI de vectores que xeneren tol espaciu. Esto significa que cualquier vector v puede ser espresáu como una suma (llamada combinación llinial) d'elementos de la base :a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin, onde los ak son angulares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, per otru llau, faise formal pol conceutu de independencia llinial. Un conxuntu de vectores dizse que ye linealmente independiente si nengunu de los sos elementos puede ser espresáu como una combinación llinial de los restantes. Equivalentemente, una ecuación

a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0

solo consíguese si toos angular a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser espresáu como una suma finita de los elementos de la base. Por cuenta de la independencia llinial esti tipu de representación ye única. Los espacios vectoriales dacuando introdúcense dende esti puntu de vista.

Base formalmenteEditar

 
v1 y v2 son base d'un planu, si hubiera dependencia llinial(alliniaos) la cuadrícula nun podría xenerase

Dáu un sistema de xeneradores, vamos dicir que ye una base si son linealmente independientes.

Proposición 3. Dáu un espaciu vectorial   ye una base      .
Proposición 4. Dáu un espaciu vectorial   linealmente independiente y     son linealmente independiente.

Teorema de la base de xeneradoresEditar

Tou sistema de xeneradores tien una base.

Teorema SteinitzEditar

Toa base d'un espaciu vectorial pue ser camudada parcialmente por vectores linealmente independientes.

Corolariu. Si un espaciu vectorial   tien una base de   vectores   cualesquier otra base tien   vectores.

ObservaciónEditar

Tou espaciu vectorial tien una base. Esti fechu basar nel lema de Zorn, una formulación equivalente del axoma d'elección. Habida cuenta de los otros axomes de la teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, la esistencia de bases ye equivalente al axoma d'eleición. El ultrafilter lemma, que ye más débil que l'axoma d'eleición, implica que toles bases d'un espaciu vectorial tienen el mesmu "tamañu", esto ye, cardinalidad. Si l'espaciu ye xeneráu por un númberu finito de vectores, tou lo anterior puede demostrase ensin necesidá d'allegar a la teoría de conxuntos.

DimensiónEditar

Dáu un espaciu vectorial sobre  :

  • Si tien base finita, vamos dicir dimensión al númberu d'elementos de dicha base.
  • Si tien base non finita, vamos dicir que ye de dimensión infinita.

NotaciónEditar

Dáu un espaciu vectorial   y un subespacio  , tenemos que:

  • Si   tien dimensión   vamos indicar como  .
  • Si   tien dimensión   como subespacio de   vamos indicar como  .

Interseición de subespacios vectorialesEditar

Dáu dos subespacios vectoriales  , la interseición ye subespacio vectorial conteníu nestos y vamos notar como:

 .
Observaciones. Pa la interseición socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales nun ye polo xeneral un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectorialesEditar

Dáu dos subespacios vectoriales  , la suma ye un subespacio vectorial que contién a estos y vamos notar como:

 .

Si F y G son subespacios vectoriales de Y, la so suma F+G ye'l subespacio vectorial de Y más pequeñu que contién a F y a G.

Observación. Pa la suma socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.

Teorema Fórmula de GrassmannEditar

Dáu dos subespacios vectoriales   de dimensión finita, tenemos la resultancia siguiente:

 .

Suma direuta de subespacios vectorialesEditar

Daos dos subespacios vectoriales  , vamos dicir que   ye una suma direuta si   y vamos notar como:

 .

Cuando   y   tán d'últimes direuta, cada vector de   espresar de forma única como suma d'un vector de   y otru vector de  .

Cociente d'espacios vectorialesEditar

Dáu un espaciu vectorial   y un subespacio vectorial  .

Daos   vamos dicir que tán rellacionaos módulu   si  .

Notar por     a la clase de   módulu  .

Vamos Llamar conxuntu cociente o espaciu cociente al conxuntu de les clases d'equivalencia anterior:

Notar por   a dichu espaciu cociente.

L'espaciu   ye un espaciu vectorial coles operaciones siguientes:

 

Construcciones básiquesEditar

Amás de lo espuesto nos exemplos anteriores, hai una serie de construcciones que nos apurren espacios vectoriales a partir d'otros. Amás de les definiciones concretes que figuren de siguío, tamién se caractericen por propiedaes universales, que determina un oxetu X especificando les aplicaciones lliniales de X a cualesquier otru espaciu vectorial.

Suma direuta d'espacios vectorialesEditar

Dáu dos espacios vectoriales   sobre un mesmu cuerpu  , vamos llamar suma direuta al espaciu vectorial   , veamos que tán bien definíes los dos operaciones:

  ,
  .

Espacios vectoriales con estructura adicionalEditar

Dende'l puntu de vista de la álxebra llinial, los espacios vectoriales entiéndense dafechu na midida na que cualquier espaciu vectorial caracterízase, salvu isomorfismos, pola so dimensión. Sicasí, los espacios vectoriales ad hoc nun ufierten un marcu pa faer frente a la cuestión fundamental pal analís de si una socesión de funciones converxe a otra función. Coles mesmes, la álxebra llinial nun ta afecha per se pa faer frente a series infinites, una y bones la suma solo dexa un númberu finito de términos pa sumar. Les necesidaes del analís funcional riquen considerar nueves estructures.

Espacios normadosEditar

Artículu principal: Norma (matemátiques)

Un espaciu vectorial ye normado si ta dotáu d'una norma.

Espaciu métricuEditar

Un espaciu métricu ye un espaciu vectorial dotáu d'una aplicación alloña.

Proposición 5. Un espaciu normado ye un espaciu métricu, onde la distancia vien dada por:
 

Toa distancia inducida pola norma ye una distancia.

Espacios vectoriales topolóxicosEditar

Artículu principal: Espaciu vectorial topolóxicu

Dada una topoloxía   sobre un espaciu vectorial   onde los puntos sían zarraos y los dos operaciones del espaciu vectorial sían continues respectu diches topoloxía, vamos dicir que:

  •   ye una topoloxía vectorial sobre  , *  ye un espaciu vectorial topolóxicu.
Proposición 6.. Tou espaciu vectorial topolóxicu dotáu d'una métrica ye espaciu normado.
Proposición 7.. Tou espaciu normado ye un espaciu vectorial topolóxicu.

Espacios de BanachEditar

Artículu principal: Espaciu de Banach

Un espaciu de Banach ye un espaciu normado y completu.

Espacios prehilbertianosEditar

Artículu principal: Espaciu prehilbertiano

Un espaciu prehilbertiano ye un par  , onde   ye un espaciu vectorial y   ye un productu a angular.

Espacios de HilbertEditar

Artículu principal: Espaciu de Hilbert

Un espaciu de Hilbert ye un espaciu prehilbertiano completu pola norma definida pol productu angular.

Morfismos ente espacios vectorialesEditar

Son aplicaciones ente espacios vectoriales que caltienen la estructura de los espacios vectoriales, esto ye, caltienen los dos operaciones y les propiedaes d'estes d'unu a otru de dichos espacios.

Aplicaciones llinialesEditar

Artículu principal: Aplicación llinial

Dáu dos espacios vectoriales   y  , sobre un mesmu cuerpu, vamos dicir qu'una aplicación   ye llinial si:

 ,
 .

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

NotesEditar

  1. Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91.
  2. Bolzano, 1804.
  3. Möbius, 1827.
  4. Hamilton, 1853.
  5. Grassmann, 1844.
  6. Peano, 1888, ch. IX.
  7. Banach, 1922.

Referencies históriquesEditar

BibliografíaEditar

  • Castellet, M. (1988). «IV espais vectorials», Àlgebra llinial i xeometría (en catalán). Publ. UAB.
  • Lang, S. (1976). Álgebra Llinial. Fondu Educativu Interamericano.
  • Queysanne, M., Álxebra Básica, Vicens-Vives. 1973.
  • Rudin, w., Analís Funcional (Definición axomática d'espacios vectoriales topolóxicos introductivamente), Reverté.

Enllaces esternosEditar