Históricamente, les primeres idees que conducieron a los espacios vectoriales modernos remontar al sieglu XVII: xeometría analítica , matrices y sistemes d'ecuaciones lliniales .
Los espacios vectoriales derivar de la xeometría allegada al traviés de la introducción de coordenaes nel planu o l'espaciu tridimensional. Alredor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron les bases de la xeometría analítica por aciu la vinculación de les soluciones d'una ecuación con dos variables a la determinación d'una curva plana.[nota 1] Bernhard Bolzano introdució en 1804 ciertes operaciones sobre puntos, llinies y planos, que son predecesores de los vectores.[nota 2] coordenaes baricéntricas d'August Ferdinand Möbius de 1827.[nota 3]
La primer formulación moderna y axomática deber a Giuseppe Peano , a finales del sieglu XIX. Les siguientes meyores na teoría d'espacios vectoriales provienen del analís funcional , principalmente d'espacios de funciones . Los problemes d'analís funcional riquíen resolver problemes sobre la converxencia . Esto fixo dotando a los espacios vectoriales d'una fayadiza topoloxía , dexando tener en cuenta cuestiones de proximidá y continuidá . Estos espacios vectoriales topolóxicossobremanera los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y ellaborada.
L'orixe de la definición de los vectores ye la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que ye un segmentu empobináu, unu de que los sos estremos ye l'orixe y l'otru un oxetivu. Los vectores reconsiderar cola presentación de los númberos complexos d'Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por esti postreru (Hamilton foi amás el qu'inventó'l nome de vector).[nota 4] R ² y R ⁴; el tratamientu por aciu combinaciones lliniales remontar a Laguerre en 1867, quien tamién definió los sistemes d'ecuaciones lliniales .
En 1857, Cayley introdució la notación matricial que dexa una harmonización y simplificación de les aplicaciones lliniales . Cuasi coles mesmes, Grassmann estudió'l cálculu baricéntrico empecipiáu por Möbius. Previo conxuntos d'oxetos astractos dotaos d'operaciones.[nota 5] independencia llinial y dimensión , lo mesmo que de productu angular tán presentes. En realidá'l trabayu de Grassmann de 1844 supera'l marcu de los espacios vectoriales, una y bones teniendo en cuenta la multiplicación, tamién, llevar a lo qu'anguaño se llamen álxebres . El matemáticu italianu Peano dio la primer definición moderna d'espacios vectoriales y aplicaciones lliniales en 1888.[nota 6]
Un desenvolvimientu importante de los espacios vectoriales deber a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue . Esto más tarde foi formalizáu por Banach na so tesis doctoral de 1920[nota 7] Hilbert . Nesti momentu, el álxebra y el nuevu campu del analís funcional empezaron a interactuarsobremanera con conceutos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert . Tamién nesti tiempu, los primeros estudios sobre espacios vectoriales d'infinites dimensiones realizáronse.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones n'otres cañes de la matemática, la ciencia y la inxeniería . Utilizar en métodos como les series de Fourier , que s'utiliza nes rutines modernes de compresión d'imáxenes y soníu, o apurren el marcu pa resolver ecuaciones en derivaes parciales . Amás, los espacios vectoriales apurren una forma astracta llibre de coordenaes de tratar con oxetos xeométricos y físicos, tales como tensores , que de la mesma dexen estudiar les propiedaes locales de variedaes por aciu téuniques de linealización.
Dau un espaciu vectorial
V
{\displaystyle V\;}
K
{\displaystyle K\;}
Los elementos de
V
{\displaystyle V\;}
o
,
v
,
w
,
…
∈
V
{\displaystyle \mathbf {o} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} ,\dots \;\in V}
vectores .Caligrafíes d'otres obres
o
¯
,
v
¯
,
w
¯
,
…
∈
V
{\displaystyle {\bar {o}},{\bar {v}},{\bar {w}},\dots \;\in V}
Si'l testu ye de física suelen representase so una flecha:
o
→
,
v
→
,
w
→
,
…
∈
V
{\displaystyle {\vec {o}},{\vec {v}},{\vec {w}},\dots \;\in V}
Los elementos de
K
{\displaystyle K\;}
a
,
b
,
c
,
…
∈
K
{\displaystyle {\mathit {a}},{\mathit {b}},{\mathit {c}},\dots \;\in K}
angulares . Definición d'espaciu vectorial
editar
Un espaciu vectorial sobre un cuerpu
K
{\displaystyle K\;}
númberos reales o los númberos complexos ) ye un conxuntu
V
{\displaystyle V\;}
Suma
+
:
V
×
V
⟶
V
(
o
,
v
)
↦
w
=
o
+
v
{\displaystyle {\begin{array}{llccl}{\mbox{Suma}}&+:&{V\times V}&\longrightarrow {}&{V}\\&&{(\mathbf {o} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{\mathbf {w} =\mathbf {o} +\mathbf {v} }\end{array}}}
operación interna tal que:
1) tenga la propiedá conmutativa , ye dicir
o
+
v
=
v
+
o
,
∀
o
,
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {o} ,\qquad \forall \mathbf {o} ,\mathbf {v} \in V}
2) tenga la propiedá asociativa , ye dicir
o
+
(
v
+
w
)
=
(
o
+
v
)
+
w
,
∀
o
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \mathbf {o} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {o} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} ,\qquad \forall \mathbf {o} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}
3) tenga elementu neutru
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
∃
y
∈
V
:
{\displaystyle \exists {}\mathbf {y} \in {}V:}
o
+
y
=
o
,
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {y} =\mathbf {o} ,}
∀
o
∈
V
{\displaystyle \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
4) tenga elementu opuestu , ye dicir
∀
o
∈
V
,
∃
−
o
∈
V
:
{\displaystyle \forall {}\mathbf {o} \in {}V,\quad \exists {}\mathbf {-o} \in {}V:}
o
+
(
−
o
)
=
y
{\displaystyle \mathbf {o} +(\mathbf {-o} )=\mathbf {y} }
y l'operación productu por un angular:
Productu
⋅
:
K
×
V
⟶
V
(
a
,
o
)
↦
v
=
a
⋅
o
{\displaystyle {\begin{array}{llccl}{\mbox{Productu}}&\cdot {}:&{K\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}\\&&{({\mathit {a}},\mathbf {o} )}&\mapsto &{\mathbf {v} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} }\end{array}}}
operación esterna tal que:
5) tenga la propiedá asociativa :
a
⋅
(
b
⋅
o
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
o
,
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ,}
∀
a
,
b
∈
K
,
{\displaystyle \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}K,}
∀
o
∈
V
{\displaystyle \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
6) Esistencia del elementu neutru multiplicativu
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
∃
y
∈
K
:
{\displaystyle \exists {\mathbf {y} }\in {K}:}
y
⋅
o
=
o
,
{\displaystyle \mathbf {y} \cdot \mathbf {o} =\mathbf {o} ,}
∀
o
∈
V
{\displaystyle \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
7) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma de vectores:
a
⋅
(
o
+
v
)
=
a
⋅
o
+
a
⋅
v
,
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} ,}
∀
a
∈
K
,
{\displaystyle \forall {}{\mathit {a}}\in {}K,}
∀
o
,
v
∈
V
{\displaystyle \forall {}\mathbf {o} ,\mathbf {v} \in {}V}
8) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma d'angulares:
(
a
+
b
)
⋅
o
=
a
⋅
o
+
b
⋅
o
,
{\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} ,}
∀
a
,
b
∈
K
,
{\displaystyle \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}K,}
∀
o
∈
V
{\displaystyle \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
Observaciones
editar
La denominación de los dos operaciones nun condiciona la definición d'espaciu vectorial polo que ye habitual atopar traducciones d'obres nes que s'utiliza multiplicación pal productu y adición pa la suma , usando les distinciones propies de l'aritmética.
Pa demostrar qu'un conxuntu
V
{\displaystyle V_{}^{}}
Ser si los sos dos operaciones, por casu
⊙
(
V
,
V
)
{\displaystyle \odot (V,V)}
∗
(
V
,
K
)
,
{\displaystyle \ast (V,K),}
+
(
V
,
V
)
=
⊙
(
V
,
V
)
{\displaystyle +(V,V)=\odot (V,V)}
⋅
(
K
,
V
)
=
∗
(
V
,
K
)
{\displaystyle \cdot (K,V)=\ast (V,K)}
Si supiéramos que
V
{\displaystyle V_{}^{}}
grupu conmutativu o abeliano respeuto la suma yá tendríamos probaos los apartaos 1, 2, 3 y 4 . Si supiéramos que'l productu ye una aición pela izquierda de
V
{\displaystyle V_{}^{}}
5 y 6 . Si nun se diz lo contrario:
a
v
≠
v
a
{\displaystyle {\mathit {a}}\mathbf {v} \neq \mathbf {v} {\mathit {a}}}
Unicidad del vector neutru de la propiedá 3
supongamos que'l neutru nun ye únicu, esto ye, sían
0
1
{\displaystyle \mathbf {0_{1}} }
0
2
{\displaystyle \mathbf {0_{2}} }
o
+
0
1
=
o
o
+
0
2
=
o
}
⇒
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathbf {o} +\mathbf {0_{1}} =\mathbf {o} \\\mathbf {o} +\mathbf {0_{2}} =\mathbf {o} \end{array}}\right\}\Rightarrow }
o
+
0
1
=
o
+
0
2
⇒
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {0_{1}} =\mathbf {o} +\mathbf {0_{2}} \Rightarrow }
0
1
=
0
2
⇒
{\displaystyle \mathbf {0_{1}} =\mathbf {0_{2}} \Rightarrow }
∃
!
0
∈
V
{\displaystyle \exists !\;\mathbf {0} \in V}
Unicidá del vector opuestu de la propiedá 4
supongamos que l'opuestu nun ye únicu, esto ye, sían
−
o
1
{\displaystyle \mathbf {-o_{1}} }
−
o
2
{\displaystyle \mathbf {-o_{2}} }
o
{\displaystyle \mathbf {o} }
o
−
o
1
=
0
o
−
o
2
=
0
}
⇒
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathbf {o} -\mathbf {o_{1}} =\mathbf {0} \\\mathbf {o} -\mathbf {o_{2}} =\mathbf {0} \end{array}}\right\}\Rightarrow }
o
−
o
1
=
o
−
o
2
⇒
{\displaystyle \mathbf {o} -\mathbf {o_{1}} =\mathbf {o} -\mathbf {o_{2}} \Rightarrow }
−
o
1
=
−
o
2
⇒
{\displaystyle -\mathbf {o_{1}} =-\mathbf {o_{2}} \Rightarrow }
∃
!
−
o
∈
V
{\displaystyle \exists !-\mathbf {o} \in V}
Unicidá del elementu
1
{\displaystyle 1_{}^{}}
K
{\displaystyle K_{}^{}}
supongamos que 1 nun ye únicu, esto ye, sían
1
1
{\displaystyle {\mathit {1_{1}}}\;}
1
2
{\displaystyle {\mathit {1_{2}}}\;}
a
⋅
1
1
=
a
a
⋅
1
2
=
a
}
⇒
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{1}}}={\mathit {a}}\\{\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{2}}}={\mathit {a}}\end{array}}\right\}\Rightarrow }
a
⋅
1
1
=
a
⋅
1
2
⇒
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{1}}}={\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{2}}}\Rightarrow }
1
1
=
1
2
⇒
{\displaystyle {\mathit {1_{1}}}={\mathit {1_{2}}}\Rightarrow }
∃
!
1
∈
K
{\displaystyle \exists !\;{\mathit {1}}\in K}
Unicidá del elementu inversu nel cuerpu
K
{\displaystyle K_{}^{}}
supongamos que l'inversu
a
−
1
{\displaystyle a_{}^{-1}}
a
1
−
1
{\displaystyle a_{1}^{-1}}
a
2
−
1
{\displaystyle a_{2}^{-1}}
a
{\displaystyle a_{}^{}}
a
⋅
a
1
−
1
=
1
a
⋅
a
2
−
1
=
1
}
⇒
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {1}}\\{\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{2}^{-1}}}={\mathit {1}}\end{array}}\right\}\Rightarrow }
a
⋅
a
1
−
1
=
a
⋅
a
2
−
1
⇒
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{2}^{-1}}}\Rightarrow }
a
1
−
1
=
a
2
−
1
⇒
{\displaystyle {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {a_{2}^{-1}}}\Rightarrow }
∃
!
a
−
1
∈
K
{\displaystyle \exists !{\mathit {a^{-1}}}\in K}
Productu d'un angular pol vector neutru
a
⋅
o
=
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} =}
a
⋅
(
o
+
0
)
=
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {0} )=}
a
⋅
o
+
a
⋅
0
⇒
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {0} \Rightarrow }
a
⋅
0
=
0
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }
Productu del angular 0 por un vector
o
=
{\displaystyle \mathbf {o} =}
1
⋅
o
=
{\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} =}
(
1
+
0
)
⋅
o
=
{\displaystyle ({\mathit {1}}+{\mathit {0}})\cdot \mathbf {o} =}
1
⋅
o
+
0
⋅
o
=
{\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {0}}\cdot \mathbf {o} =}
o
+
0
⋅
o
⇒
{\displaystyle \mathbf {o} +{\mathit {0}}\cdot \mathbf {o} \Rightarrow }
0
⋅
o
=
{\displaystyle {\mathit {0}}\cdot \mathbf {o} =}
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
Si
a
⋅
o
=
0
⇒
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} =\mathbf {0} \Rightarrow }
a
=
0
∨
o
=
0
.
{\displaystyle {\mathit {a}}={\mathit {0}}\quad \lor \quad \mathbf {o} =\mathbf {0} .}
Si
a
=
0
,
{\displaystyle a_{}^{}=0,}
Si
a
≠
0
,
{\displaystyle a\neq 0,}
entós:
∃
!
a
−
1
∈
K
:
{\displaystyle \exists !\;a^{-1}\in K:}
a
−
1
a
=
1
⇒
{\displaystyle a^{-1}a=1\Rightarrow }
o
=
{\displaystyle o=}
1
o
=
{\displaystyle 1o=}
(
a
−
1
a
)
o
=
{\displaystyle (a^{-1}a)o=}
a
−
1
(
a
u
)
=
{\displaystyle a^{-1}(au)=}
a
−
1
0
=
0
⇒
{\displaystyle a^{-1}0=0\Rightarrow }
o
=
0.
{\displaystyle o_{}^{}=0.}
Notación
−
a
u
=
−
(
a
u
)
{\displaystyle -au=-(au)\,}
Observación
−
a
u
=
(
−
a
)
o
=
a
(
−
o
)
{\displaystyle -au=(-a)o=a(-o)\,}
Si
a
u
+
a
(
−
o
)
=
a
(
o
−
o
)
=
a
0
=
0
⇒
{\displaystyle au+a(-o)=a(o-o)=a0=0\Rightarrow }
a
(
−
o
)
=
−
a
u
{\displaystyle a(-o)=-au\,}
Si
a
u
+
(
−
a
)
o
=
(
a
−
a
)
o
=
0
o
=
0
⇒
{\displaystyle au+(-a)o=(a-a)o=0o=0\Rightarrow }
(
−
a
)
o
=
−
a
u
{\displaystyle (-a)o=-au\,}
Primer exemplu con demostración
editar
Quier probase que
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Si
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
V
{\displaystyle V\;}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
K
{\displaystyle K\;}
Los elementos:
o
∈
V
=
R
2
=
R
×
R
{\displaystyle \mathbf {o} \in V=\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times {}\mathbb {R} }
son, de forma xenérica:
o
=
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y})}
esto ye, pares de númberos reales. Por claridá caltiénse la denominación del vector, nesti casu o , nes sos coordenaes, añadiendo'l subíndice x o y pa denominar el so componente na exa x o y respeutivamente
En
V
{\displaystyle V\;}
+
:
V
×
V
⟶
V
(
o
,
v
)
↦
w
=
o
+
v
{\displaystyle {\begin{array}{ccll}+:&{V\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}\\&(\mathbf {o} ,\mathbf {v} )&\mapsto &\mathbf {w} =\mathbf {o} +\mathbf {v} \end{array}}}
onde:
o
=
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y})}
v
=
(
v
x
,
v
y
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}
w
=
(
w
x
,
w
y
)
{\displaystyle \mathbf {w} =(w_{x},w_{y})}
y la suma de o y v sería:
o
+
v
=
(
o
x
,
o
y
)
+
(
v
x
,
v
y
)
=
(
o
x
+
v
x
,
o
y
+
v
y
)
=
(
w
x
,
w
y
)
=
w
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =(o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y})=(o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=(w_{x},w_{y})=\mathbf {w} }
onde:
w
x
=
o
x
+
v
x
w
y
=
o
y
+
v
y
{\displaystyle {\begin{array}{l}w_{x}=o_{x}+v_{x}\\w_{y}=o_{y}+v_{y}\end{array}}}
esto implica que la suma de vectores ye interna y bien definida.
La operación interna suma tien les propiedaes:
1) La propiedá conmutativa, esto ye:
o
+
v
=
v
+
o
,
∀
o
,
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {o} ,\quad \forall {}\mathbf {o} ,\mathbf {v} \in {}V}
o
+
v
=
v
+
o
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {o} }
(
o
x
,
o
y
)
+
(
v
x
,
v
y
)
=
v
+
o
{\displaystyle (o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }
(
o
x
+
v
x
,
o
y
+
v
y
)
=
v
+
o
{\displaystyle (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }
(
v
x
+
o
x
,
v
y
+
o
y
)
=
v
+
o
{\displaystyle (v_{x}+o_{x},v_{y}+o_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }
(
v
x
,
v
y
)
+
(
o
x
,
o
y
)
=
v
+
o
{\displaystyle (v_{x},v_{y})+(o_{x},o_{y})=\mathbf {v} +\mathbf {o} }
v
+
o
=
v
+
o
{\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {o} =\mathbf {v} +\mathbf {o} }
2) La propiedá asociativa:
(
o
+
v
)
+
w
=
o
+
(
v
+
w
)
{\displaystyle (\mathbf {o} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} =\mathbf {o} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}
(
(
o
x
,
o
y
)
+
(
v
x
,
v
y
)
)
+
(
w
x
,
w
y
)
=
(
o
x
,
o
y
)
+
(
(
v
x
,
v
y
)
+
(
w
x
,
w
y
)
)
{\displaystyle {\Big (}(o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y}){\Big )}+(w_{x},w_{y})=(o_{x},o_{y})+{\Big (}(v_{x},v_{y})+(w_{x},w_{y}){\Big )}}
(
o
x
+
v
x
,
o
y
+
v
y
)
+
(
w
x
,
w
y
)
=
(
o
x
,
o
y
)
+
(
v
x
+
w
x
,
v
y
+
w
y
)
{\displaystyle (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})+(w_{x},w_{y})=(o_{x},o_{y})+(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y})\;}
(
o
x
+
v
x
+
w
x
,
o
y
+
v
y
+
w
y
)
=
(
o
x
+
v
x
+
w
x
,
o
y
+
v
y
+
w
y
)
{\displaystyle (o_{x}+v_{x}+w_{x},o_{y}+v_{y}+w_{y})=(o_{x}+v_{x}+w_{x},o_{y}+v_{y}+w_{y})\;}
3) tien elementu neutru
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
o
+
0
=
o
{\displaystyle \mathbf {o} +\mathbf {0} =\mathbf {o} }
(
o
x
,
o
y
)
+
(
0
,
0
)
=
(
o
x
+
0
,
o
y
+
0
)
=
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle (o_{x},o_{y})+(0,0)=(o_{x}+0,o_{y}+0)=(o_{x},o_{y})\;}
4) tenga elementu opuestu:
o
=
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y})}
−
o
=
(
−
o
x
,
−
o
y
)
{\displaystyle \mathbf {-o} =(-o_{x},-o_{y})}
o
+
(
−
o
)
=
(
o
x
,
o
y
)
+
(
−
o
x
,
−
o
y
)
=
(
o
x
−
o
x
,
o
y
−
o
y
)
=
(
0
,
0
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {o} +(\mathbf {-o} )=(o_{x},o_{y})+(-o_{x},-o_{y})=(o_{x}-o_{x},o_{y}-o_{y})=(0,0)=\mathbf {0} }
La operación productu por un angular:
⋅
:
K
×
V
⟶
V
(
a
,
o
)
↦
v
=
a
⋅
o
{\displaystyle {\begin{array}{ccll}\cdot :&K\times V&\longrightarrow &V\\&({\mathit {a}},\mathbf {o} )&\mapsto &\mathbf {v} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} \end{array}}}
El productu de a y o va ser:
a
⋅
o
=
a
⋅
(
o
x
,
o
y
)
=
(
a
⋅
o
x
,
a
⋅
o
y
)
=
(
v
x
,
v
y
)
=
v
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} =a\cdot (o_{x},o_{y})=(a\cdot o_{x},a\cdot o_{y})=(v_{x},v_{y})=\mathbf {v} }
onde:
v
x
=
a
⋅
o
x
v
y
=
a
⋅
o
y
{\displaystyle {\begin{array}{l}v_{x}=a\cdot o_{x}\\v_{y}=a\cdot o_{y}\end{array}}}
esto implica que la multiplicación de vector por angular ye esterna y aun así ta bien definida.
5) tenga la propiedá asociativa:
a
⋅
(
b
⋅
o
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
o
,
∀
a
,
b
∈
K
,
∀
o
∈
V
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ,\quad \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}K,\quad \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
Esto ye:
a
⋅
(
b
⋅
o
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
o
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} }
a
⋅
(
b
⋅
(
o
x
,
o
y
)
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot (o_{x},o_{y}))=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})}
a
⋅
(
b
⋅
o
x
,
b
⋅
o
y
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {b}}\cdot o_{y})=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})}
(
a
⋅
b
⋅
o
x
,
a
⋅
b
⋅
o
y
)
=
(
a
⋅
b
⋅
o
x
,
a
⋅
b
⋅
o
y
)
{\displaystyle ({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{y})=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot o_{y})}
6)
1
∈
R
{\displaystyle {\mathit {1}}\in {}R}
1
⋅
o
=
o
,
∀
o
∈
V
{\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} =\mathbf {o} ,\quad \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
Que resulta:
1
⋅
o
=
o
{\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {o} =\mathbf {o} }
1
⋅
(
o
x
,
o
y
)
=
o
{\displaystyle {\mathit {1}}\cdot (o_{x},o_{y})=\mathbf {o} }
(
1
⋅
o
x
,
1
⋅
o
y
)
=
o
{\displaystyle ({\mathit {1}}\cdot o_{x},{\mathit {1}}\cdot o_{y})=\mathbf {o} }
(
o
x
,
o
y
)
=
o
{\displaystyle (o_{x},o_{y})=\mathbf {o} }
Que tien la propiedá distributiva:
7) distributiva pela esquierda:
a
⋅
(
o
+
v
)
=
a
⋅
o
+
a
⋅
v
,
∀
a
∈
R
,
∀
o
,
v
∈
V
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} ,\quad \forall {}{\mathit {a}}\in {}R,\quad \forall {}\mathbf {o} ,\mathbf {v} \in {}V}
Nesti casu tenemos:
a
⋅
(
o
+
v
)
=
a
⋅
o
+
a
⋅
v
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {o} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} }
a
⋅
(
(
o
x
,
o
y
)
+
(
v
x
,
v
y
)
)
=
a
⋅
(
o
x
,
o
y
)
+
a
⋅
(
v
x
,
v
y
)
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ((o_{x},o_{y})+(v_{x},v_{y}))={\mathit {a}}\cdot (o_{x},o_{y})+{\mathit {a}}\cdot (v_{x},v_{y})}
a
⋅
(
o
x
+
v
x
,
o
y
+
v
y
)
=
(
a
⋅
o
x
,
a
⋅
o
y
)
+
(
a
⋅
v
x
,
a
⋅
v
y
)
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y})+({\mathit {a}}\cdot v_{x},{\mathit {a}}\cdot v_{y})}
a
⋅
(
o
x
+
v
x
,
o
y
+
v
y
)
=
(
a
⋅
o
x
+
a
⋅
v
x
,
a
⋅
o
y
+
a
⋅
v
y
)
{\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x},o_{y}+v_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x}+{\mathit {a}}\cdot v_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y}+{\mathit {a}}\cdot v_{y})}
(
a
⋅
(
o
x
+
v
x
)
,
a
⋅
(
o
y
+
v
y
)
)
=
(
a
⋅
(
o
x
+
v
x
)
,
a
⋅
(
o
y
+
v
y
)
)
{\displaystyle ({\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x}),{\mathit {a}}\cdot (o_{y}+v_{y}))=({\mathit {a}}\cdot (o_{x}+v_{x}),{\mathit {a}}\cdot (o_{y}+v_{y}))}
8) distributiva pela derecha:
(
a
+
b
)
⋅
o
=
a
⋅
o
+
b
⋅
o
,
∀
a
,
b
∈
R
,
∀
o
∈
V
{\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} ,\quad \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}R,\quad \forall {}\mathbf {o} \in {}V}
Qu'en esti casu tenemos:
(
a
+
b
)
⋅
o
=
a
⋅
o
+
b
⋅
o
{\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {o} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {o} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {o} }
(
a
+
b
)
⋅
(
o
x
,
o
y
)
=
a
⋅
(
o
x
,
o
y
)
+
b
⋅
(
o
x
,
o
y
)
{\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})={\mathit {a}}\cdot (o_{x},o_{y})+{\mathit {b}}\cdot (o_{x},o_{y})}
(
a
+
b
)
⋅
(
o
x
,
o
y
)
=
(
a
⋅
o
x
,
a
⋅
o
y
)
+
(
b
⋅
o
x
,
b
⋅
o
y
)
{\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y})+({\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {b}}\cdot o_{y})}
(
a
+
b
)
⋅
(
o
x
,
o
y
)
=
(
a
⋅
o
x
+
b
⋅
o
x
,
a
⋅
o
y
+
b
⋅
o
y
)
{\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (o_{x},o_{y})=({\mathit {a}}\cdot o_{x}+{\mathit {b}}\cdot o_{x},{\mathit {a}}\cdot o_{y}+{\mathit {b}}\cdot o_{y})}
(
(
a
+
b
)
⋅
o
x
,
(
a
+
b
)
⋅
o
y
)
=
(
(
a
+
b
)
⋅
o
x
,
(
a
+
b
)
⋅
o
y
)
{\displaystyle (({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{x},({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{y})=(({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{x},({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot o_{y})}
Queda demostráu que ye espaciu vectorial.
Exemplos d'espacios vectoriales
editar
Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre él mesmu, usando como productu por angular el productu del cuerpu.
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre'l so subcuerpo , usando como productu por angular el productu del cuerpu.
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Socesiones sobre un cuerpu
K
{\displaystyle K_{}^{}}
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L'espaciu vectorial más conocíu notáu como
K
n
{\displaystyle K_{}^{n}}
n >0 ye un enteru , tien como elementos n -tuplassocesiones finitas de
K
{\displaystyle K_{}^{}}
n coles operaciones:
(o 1 , o 2 , ..., o n v 1 , v 2 , ..., v n o 1 +v 1 , o 2 +v 2 , ..., o n v n ). a(o 1 , o 2 , ..., o n au 1 , au 2 , ..., au n Les socesiones infinites de
K
{\displaystyle K^{}}
(o 1 , o 2 , ..., o n v 1 , v 2 , ..., v n o 1 +v 1 , o 2 +v 2 , ..., o n v n , ...). a(o 1 , o 2 , ..., o n au 1 , au 2 , ..., au n L'espaciu de les matrices
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
M
n
×
m
(
K
)
{\displaystyle M_{n\times m}(K)}
K
{\displaystyle K^{}}
(
x
1
,
1
⋯
x
1
,
m
⋮
⋮
x
n
,
1
⋯
x
n
,
m
)
+
(
y
1
,
1
⋯
y
1
,
m
⋮
⋮
y
n
,
1
⋯
y
n
,
m
)
=
(
x
1
,
1
+
y
1
,
1
⋯
x
1
,
m
+
y
1
,
m
⋮
⋮
x
n
,
1
+
y
n
,
1
⋯
x
n
,
m
+
y
n
,
m
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,m}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1,1}&\cdots &y_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\y_{n,1}&\cdots &y_{n,m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1,1}+y_{1,1}&\cdots &x_{1,m}+y_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\x_{n,1}+y_{n,1}&\cdots &x_{n,m}+y_{n,m}\end{pmatrix}}}
a
(
x
1
,
1
⋯
x
1
,
m
⋮
⋮
x
n
,
1
⋯
x
n
,
m
)
=
(
a
x
1
,
1
⋯
a
x
1
,
m
⋮
⋮
a
x
n
,
1
⋯
a
x
n
,
m
)
{\displaystyle a{\begin{pmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax_{1,1}&\cdots &ax_{1,m}\\\vdots &&\vdots \\ax_{n,1}&\cdots &ax_{n,m}\end{pmatrix}}}
Tamién son espacios vectoriales cualquier agrupación d'elementos de
K
{\displaystyle K_{}^{}}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
n
×
m
×
r
{\displaystyle n\times m\times r}
K
{\displaystyle K_{}^{}}
Espacios d'aplicaciones sobre un cuerpu
editar
El conxuntu
F
{\displaystyle F_{}^{}}
f
:
M
→
K
{\displaystyle f:M\rightarrow K}
K
{\displaystyle K^{}}
M
{\displaystyle M_{}^{}}
∀
f
,
g
∈
F
,
∀
a
∈
K
{\displaystyle \forall f,g\in F,\;\forall a\in K}
(
f
+
g
)
(
w
)
:=
f
(
w
)
+
g
(
w
)
,
(
a
f
)
(
w
)
:=
a
(
f
)
(
w
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}(f+g)(w)&:=f(w)+g(w)_{}^{},\\\;\;\;\;(af)(w)&:=a(f)(w)_{}^{}.\;\;\;\;\;\;\;\end{matrix}}}
Los polinomios
editar
Suma de f(x)=x+x² y g(x)=-x² . L'espacio vectorial K [x] formáu por funciones polinómiques , veámoslo:
Espresión xeneral:
p
(
x
)
=
r
n
x
n
+
r
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
r
1
x
+
r
0
{\displaystyle p(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x_{}^{n-1}+...+r_{1}x+r_{0}}
coeficientes
r
n
,
.
.
.
,
r
0
∈
K
{\displaystyle r_{n},\;...,r_{0}\in K}
∀
i
>
n
r
i
=
0
{\displaystyle \forall i>n\;r_{i}=0}
p
(
x
)
+
q
(
x
)
=
(
r
n
x
n
+
r
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
r
1
x
+
r
0
)
{\displaystyle p(x)+q(x)=(r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+...+r_{1}x+r_{0}^{})}
+
(
s
m
x
m
+
s
m
−
1
x
m
−
1
+
.
.
.
+
s
1
x
+
s
0
)
{\displaystyle +(s_{m}x^{m}+s_{m-1}x^{m-1}+...+s_{1}x+s_{0}^{})}
=
.
.
.
{\displaystyle =..._{}^{}}
=
(
t
M
x
M
+
t
M
−
1
x
M
−
1
+
.
.
.
+
t
1
x
+
t
0
)
=
(
p
+
q
)
(
x
)
{\displaystyle =(t_{M}x^{M}+t_{M-1}x^{M-1}+...+t_{1}x+t_{0}^{})=(p+q)(x)}
M
=
max
{
m
,
n
}
{\displaystyle M=\max\{m,\;n\}_{}^{}}
t
i
=
r
i
+
s
i
{\displaystyle t_{i}=r_{i}+s_{i}^{}}
a
(
p
(
x
)
)
=
a
(
r
n
x
n
+
r
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
r
1
x
+
r
0
)
{\displaystyle a(p(x))=a(r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+...+r_{1}x+r_{0}^{})}
=
(
a
r
n
x
n
+
a
r
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
r
1
x
+
a
r
0
)
{\displaystyle =(ar_{n}x^{n}+ar_{n-1}x^{n-1}+...+ar_{1}x+ar_{0}^{})}
=
t
n
x
n
+
t
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
t
1
x
+
t
0
=
(
a
p
)
(
x
)
{\displaystyle =t_{n}x^{n}+t_{n-1}x^{n-1}+...+t_{1}x+t_{0}^{}=(ap)(x)}
Les series de potencies son similares, sacantes se dexen infinitos términos distintos de cero.
Funciones trigonométriques
editar
Les funciones trigonométriques formen espacios vectoriales coles siguientes operaciones:
Espresión xeneral:
f
(
x
)
=
a
f
∑
i
=
1
n
(
b
f
,
i
sen
(
i
x
)
+
c
f
,
i
cos
(
i
x
)
)
∈
L
2
{\displaystyle f(x)=a_{f}^{}\sum _{i=1}^{n}(b_{f,i}{\mbox{sen}}(ix)+c_{f,i}\cos(ix))\in L^{2}}
(
f
+
g
)
(
x
)
:=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)_{}^{}}
=
a
f
∑
i
=
1
n
(
b
f
,
i
sen
(
i
x
)
+
c
f
,
i
cos
(
i
x
)
)
+
a
g
∑
i
=
1
n
(
b
g
,
i
sen
(
i
x
)
+
c
g
,
i
cos
(
i
x
)
)
{\displaystyle =a_{f}\sum _{i=1}^{n}(b_{f,i}{\mbox{sen}}(ix)+c_{f,i}\cos(ix))+a_{g}\sum _{i=1}^{n}(b_{g,i}{\mbox{sen}}(ix)+c_{g,i}\cos(ix))}
=
(
a
f
+
a
g
)
∑
i
=
1
n
(
(
b
f
,
i
+
b
g
,
i
)
sen
(
i
x
)
+
(
c
f
,
i
+
c
g
,
i
)
cos
(
i
x
)
)
∈
L
2
{\displaystyle =(a_{f}+a_{g})\sum _{i=1}^{n}((b_{f,i}+b_{g,i}){\mbox{sen}}(ix)+(c_{f,i}+c_{g,i})\cos(ix))\in L^{2}}
(
a
f
)
(
x
)
:=
a
f
(
x
)
{\displaystyle (af)(x):=af(x)_{}^{}}
=
a
(
a
f
∑
i
=
1
n
(
b
f
,
i
sen
(
i
x
)
+
c
f
,
i
cos
(
i
x
)
)
)
{\displaystyle =a(a_{f}\sum _{i=1}^{n}(b_{f,i}{\mbox{sen}}(ix)+c_{f,i}\cos(ix)))}
=
a
a
f
∑
i
=
1
n
(
a
b
f
,
i
sen
(
i
x
)
+
a
c
f
,
i
cos
(
i
x
)
)
∈
L
2
{\displaystyle =aa_{f}\sum _{i=1}^{n}(ab_{f,i}{\mbox{sen}}(ix)+ac_{f,i}\cos(ix))\in L^{2}}
Los sistemes d'ecuaciones lliniales homoxénees
editar
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables
{
a
1
,
1
x
1
+
…
+
a
1
,
n
x
n
=
0
⋮
⋮
⋮
a
m
,
1
x
1
+
…
+
a
m
,
n
x
n
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}&+\dots &+a_{1,n}x_{n}&=0\\\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+\dots &+a_{m,n}x_{n}&=0\end{matrix}}\end{cases}}\;\;}
(
a
1
,
1
+
…
+
a
1
,
n
⋮
⋮
a
m
,
1
+
…
+
a
m
,
n
)
(
x
1
⋮
x
n
)
=
(
0
⋮
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&+\dots &+a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &\\a_{m,1}&+\dots &+a_{m,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}
A
x
=
0
{\displaystyle A_{}^{}x=0}
Un sistema d'ecuaciones lliniales homoxénees( ecuaciones lliniales nes que
x
=
0
{\displaystyle x=0_{}^{}}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle (x_{1},\;\dots ,\;x_{n})=(0,\;\dots ,\;0)}
Si
A
x
=
0
,
A
i
=
0
⇒
A
x
+
A
i
=
0
⇒
{\displaystyle Ax=0,Ai=0\Rightarrow Ax+Ai=0\Rightarrow }
A
(
x
+
y
)
=
0
{\displaystyle A(x+y)=0_{}^{}}
Si
A
x
=
0
,
a
∈
K
⇒
a
(
A
x
)
=
0
⇒
{\displaystyle Ax=0,a\in K\Rightarrow a(Ax)=0\Rightarrow }
A
(
a
x
)
=
0
{\displaystyle A(ax)=0_{}^{}}
Tamién que les ecuaciones en sí, files de la matriz
A
{\displaystyle A_{}^{}}
1
×
n
{\displaystyle 1\times n}
Y
i
=
(
a
i
,
1
,
…
,
a
i
,
n
)
{\displaystyle Y_{i}=(a_{i,1},\;\dots ,\;a_{i,n})}
Si
Y
i
x
=
0
,
Y
j
x
=
0
⇒
{\displaystyle Y_{i}x=0,\;Y_{j}x=0\Rightarrow }
Y
i
x
+
Y
j
x
=
0
⇒
(
Y
i
+
Y
j
)
x
=
0
{\displaystyle Y_{i}^{}x+Y_{j}x=0\Rightarrow (Y_{i}+Y_{j})x=0}
Si
Y
i
x
=
0
,
a
∈
K
⇒
{\displaystyle Y_{i}x=0,\;a\in K\Rightarrow }
a
(
Y
i
x
)
=
0
⇒
(
a
E
i
)
x
=
0
{\displaystyle a(Y_{i}^{}x)=0\Rightarrow (aE_{i})x=0}
Definición de subespacio vectorial
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Sía
V
{\displaystyle V_{}^{}}
K
{\displaystyle K_{}^{}}
O
⊂
V
{\displaystyle O\subset V}
O
{\displaystyle O_{}^{}}
subespacio vectorial
V
{\displaystyle V_{}^{}}
i
)
∀
o
,
v
∈
O
,
o
+
v
∈
O
{\displaystyle i)\;\;\forall o,v\in O,o+v\in O}
i
i
)
∀
o
∈
O
,
∀
k
∈
K
,
k
u
∈
O
{\displaystyle ii)\;\forall o\in O,\forall k\in K,ku\in O}
Consecuencies
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O
{\displaystyle O_{}^{}}
V
{\displaystyle V_{}^{}}
O
{\displaystyle O_{}^{}}
O
{\displaystyle O_{}^{}}
K
{\displaystyle K_{}^{}}
Con cualquier subconxuntu d'elementos escoyíos nos espacios vectoriales anteriores, non vacíu, pueden xenerase subespacios vectoriales, pa ello seria útil introducir nuevos conceutos que van facilitar el trabayu sobre estos nuevos espacios vectoriales.
Resultaos internes
editar
Pa detallar el comportamientu internu de tolos espacios vectoriales de manera xeneral ye necesariu esponer una serie de ferramientes cronológicamente venceyaes ente elles, coles cualos ye posible construyir resultaos válides en cualquier estructura que seya espaciu vectorial.
Combinación llinial
editar
Cada vector o ye combinación llinial de forma única
Dau un espaciu vectorial
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
o ye combinación llinial
S
=
{
v
1
,
…
,
v
n
}
⊂
Y
{\displaystyle S=\{v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}\subset Y}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\;\dots ,\;a_{n}}
o
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
{\displaystyle o=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}}
Vamos Notar como
⟨
S
⟩
Y
{\displaystyle \langle S_{}^{}\rangle _{Y}}
S
⊂
Y
{\displaystyle S_{}^{}\subset Y}
Proposición 1
editar
Dau
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
S
⊂
Y
{\displaystyle S\subset Y_{}^{}}
F
=
⟨
S
⟩
Y
{\displaystyle F=\langle S_{}^{}\rangle _{Y}}
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
S
{\displaystyle S_{}^{}}
Nota . Nesti casu dizse que
S
{\displaystyle S_{}^{}}
sistema de xeneradores
F
{\displaystyle F_{}^{}}
Independencia llinial
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Vamos Dicir qu'un conxuntu
S
=
{
v
1
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle S_{}^{}=\{v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}}
linealmente independiente
S
{\displaystyle S_{}^{}}
Si
0
=
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
⇒
a
1
=
⋯
=
a
n
=
0
{\displaystyle 0=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\Rightarrow a_{1}=\cdots =a_{n}=0}
Vamos Dicir qu'un conxuntu
S
{\displaystyle S_{}^{}}
linealmente dependiente si nun ye linealmente independiente.
Proposición 2
editar
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},\;\dots ,\;v_{n}}
⇔
∃
v
i
≠
0
:
v
i
=
∑
i
≠
j
≥
1
n
a
j
v
j
{\displaystyle \Leftrightarrow \exists v_{i}\neq 0:v_{i}=\sum _{i\neq j\geq 1}^{n}a_{j}v_{j}}
Base d'un espaciu vectorial
editar
Les bases B = {v i i ∈ I v puede ser espresáu como una suma (llamada combinación llinial a 1 v i 1 a 2 v i 2 a n v i n a k v i k (k = 1, ..., n ) elementos de la base B . La minimalidad, per otru llau, faise formal pol conceutu d'independencia llinial . Un conxuntu de vectores dizse que ye linealmente independiente si nengunu de los sos elementos puede ser espresáu como una combinación llinial de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a 1 v i 1 a i 2 v 2 + ... + a n v i n solo consíguese si toos angular a 1 , ..., a n
Base formalmente
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v1 y v2 son base d'un planu, si hubiera dependencia llinial(alliniaos) la cuadrícula nun podría xenerase Dau un sistema de xeneradores, vamos dicir que ye una base
Proposición 3. Dau un espaciu vectorial
Y
,
{
v
1
,
…
,
v
n
}
=
F
⊂
Y
{\displaystyle Y,\;\{v_{1},\;\dots ,v_{n}\}=F\subset Y}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
∀
o
∈
Y
,
∃
!
a
i
∈
K
,
i
∈
1
,
…
,
n
:
{\displaystyle \forall o\in Y,\;\exists !a_{i}\in K,\;i\in {1,\;\dots ,n}:}
o
=
∑
i
=
1
n
a
i
v
i
{\displaystyle o=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}}
Proposición 4. Dau un espaciu vectorial
Y
,
S
=
{
v
1
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle Y,\;S=\{v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}}
o
∉
⟨
S
⟩
⇒
{\displaystyle o\notin \langle S\rangle \Rightarrow }
{
o
}
∪
S
=
{
o
,
v
1
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \{o\}\cup S=\{o,\;v_{1},\;\dots ,\;v_{n}\}}
Teorema de la base de xeneradores
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Tou sistema de xeneradores tien una base.
Teorema Steinitz
editar
Toa base d'un espaciu vectorial pue ser camudada parcialmente por vectores linealmente independientes.
Corolariu . Si un espaciu vectorial
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
n
{\displaystyle n_{}^{}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
n
{\displaystyle n_{}^{}}
Tou espaciu vectorial tien una base. Esti fechu basar nel lema de Zorn , una formulación equivalente del axoma d'elección . Habida cuenta de los otros axomes de la teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel , la esistencia de bases ye equivalente al axoma d'eleición. El ultrafilter lemma , que ye más débil que l'axoma d'eleición, implica que toles bases d'un espaciu vectorial tienen el mesmu "tamañu", esto ye, cardinalidad . Si l'espaciu ye xeneráu por un númberu finito de vectores, tou lo anterior puede demostrase ensin necesidá d'allegar a la teoría de conxuntos.
Dau un espaciu vectorial sobre
K
{\displaystyle K_{}^{}}
Si tien base finita, vamos dicir dimensión
Si tien base non finita, vamos dicir que ye de dimensión infinita Dau un espaciu vectorial
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
F
⊂
Y
{\displaystyle F_{}^{}\subset Y}
Si
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
n
{\displaystyle n_{}^{}}
dim
(
Y
)
=
n
{\displaystyle \dim(Y)=n_{}^{}}
Si
F
{\displaystyle F_{}^{}}
m
{\displaystyle m_{}^{}}
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
dim
Y
(
F
)
=
m
{\displaystyle \dim _{Y}(F)=m_{}^{}}
Interseición de subespacios vectoriales
editar
Dau dos subespacios vectoriales
F
,
G
⊂
Y
{\displaystyle F,G\subset Y}
F
∩
G
:=
{
o
:
o
∈
F
,
o
∈
G
}
{\displaystyle F\cap G:=\{o:\;o\in F,\;o\in G\}}
Observaciones . Pa la interseición socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.La unión de subespacios vectoriales nun ye polo xeneral un subespacio vectorial.
Suma de subespacios vectoriales
editar
Dau dos subespacios vectoriales
F
,
G
⊂
Y
{\displaystyle F,G\subset Y}
F
+
G
:=
{
o
=
v
1
+
v
2
:
v
1
∈
F
,
v
2
∈
G
}
{\displaystyle F+G:=\{o=v_{1}+v_{2}:\;v_{1}\in F,\;v_{2}\in G\}}
Si F y G son subespacios vectoriales de Y, la so suma F+G ye'l subespacio vectorial de Y más pequeñu que contién a F y a G.
Observación . Pa la suma socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.Teorema Fórmula de Grassmann
editar
Dau dos subespacios vectoriales
F
,
G
⊂
Y
{\displaystyle F,G\subset Y}
dim
Y
(
F
+
G
)
=
dim
Y
(
F
)
+
dim
Y
(
G
)
−
dim
Y
(
F
∩
G
)
{\displaystyle \dim _{Y}(F+G)=\dim _{Y}(F)+\dim _{Y}(G)-\dim _{Y}(F\cap G)}
Suma direuta de subespacios vectoriales
editar
Daos dos subespacios vectoriales
F
,
G
⊂
Y
{\displaystyle F,G\subset Y}
F
+
G
{\displaystyle F+G_{}^{}}
suma direuta si
F
∩
G
=
0
{\displaystyle F\cap G={0}}
F
⊕
G
{\displaystyle F\oplus G}
Cuando
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
F
+
G
{\displaystyle F+G}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
Cociente d'espacios vectoriales
editar
Dau un espaciu vectorial
Y
{\displaystyle Y\,}
F
⊂
Y
{\displaystyle F\subset Y}
Daos
o
,
v
∈
Y
{\displaystyle o,v\in Y}
rellacionaos módulu
F
{\displaystyle F\,}
o
−
v
∈
F
{\displaystyle o-v\in F}
Notar por
[
o
]
=
o
+
F
:=
{
o
+
v
:
v
∈
F
}
{\displaystyle [o]=o+F:=\{o+v:v\in F\}}
=
{
w
:
w
=
o
+
v
,
v
∈
F
}
{\displaystyle =\{w:w=o+v,\;v\in F\}}
o
{\displaystyle o\,}
F
{\displaystyle F\,}
Vamos Llamar conxuntu cociente espaciu cociente al conxuntu de les clases d'equivalencia anterior:
Notar por
Y
/
F
{\displaystyle Y/F_{}^{}}
L'espaciu
Y
/
F
{\displaystyle Y/F_{}^{}}
[
o
]
+
[
v
]
:=
[
o
+
v
]
λ
[
o
]
:=
[
λ
o
]
{\displaystyle {\begin{matrix}[o]+[v]&:=&[o+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [o]&:=&[\lambda o]\;\;\;\;\end{matrix}}}
Construcciones básiques
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Amás de lo espuesto nos exemplos anteriores, hai una serie de construcciones que nos apurren espacios vectoriales a partir d'otros. Amás de les definiciones concretes que figuren de siguío, tamién se caractericen por propiedaes universales , que determina un oxetu X especificando les aplicaciones lliniales de X a cualesquier otru espaciu vectorial.
Suma direuta d'espacios vectoriales
editar
Dau dos espacios vectoriales
Y
,
F
{\displaystyle Y,\;F_{}^{}}
K
{\displaystyle K_{}^{}}
Y
×
F
=
{\displaystyle Y\times F=}
{
o
:=
(
o
1
,
o
2
)
:
o
1
∈
Y
,
o
2
∈
F
}
{\displaystyle \{o:=(o_{1},\;o_{2}):o_{1}\in Y,\;o_{2}\in F\}}
o
+
v
=
(
o
1
,
o
2
)
+
(
v
1
,
v
2
)
=
{\displaystyle o+v=(o_{1},\;o_{2})+(v_{1},\;v_{2})=}
(
o
1
+
v
1
,
o
2
+
v
2
)
{\displaystyle (o_{1}+v_{1},\;o_{2}+v_{2})}
a
o
=
a
(
o
1
,
o
2
)
=
{\displaystyle ao=a(o_{1},\;o_{2})=}
(
a
u
1
,
a
u
2
)
{\displaystyle (au_{1},\;au_{2})}
Espacios vectoriales con estructura adicional
editar
Dende'l puntu de vista de la álxebra llinial, los espacios vectoriales entiéndense dafechu na midida na que cualquier espaciu vectorial caracterízase, salvu isomorfismos, pola so dimensión. Sicasí, los espacios vectoriales ad hoc nun ufierten un marcu pa faer frente a la cuestión fundamental pal analís de si una socesión de funciones converxe a otra función. Coles mesmes, la álxebra llinial nun ta afecha per se pa faer frente a series infinites , una y bones la suma solo dexa un númberu finito de términos pa sumar. Les necesidaes del analís funcional riquen considerar nueves estructures.
Espacios normados
editar
Un espaciu vectorial ye normado norma .
Espaciu métricu
editar
Un espaciu métricu ye un espaciu vectorial dotáu d'una aplicación alloña.
Proposición 5 . Un espaciu normado ye un espaciu métricu, onde la distancia vien dada por:
d
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}
Toa distancia inducida pola norma ye una distancia.
Espacios vectoriales topolóxicos
editar
Dada una topoloxía
τ
{\displaystyle \tau _{}^{}}
X
{\displaystyle X_{}^{}}
τ
{\displaystyle \tau _{}^{}}
topoloxía vectorial sobre
X
{\displaystyle X_{}^{}}
X
{\displaystyle X_{}^{}}
espaciu vectorial topolóxicu .Proposición 6. . Tou espaciu vectorial topolóxicu dotáu d'una métrica ye espaciu normado.Proposición 7. . Tou espaciu normado ye un espaciu vectorial topolóxicu.Espacios de Banach
editar
Un espaciu de Banach ye un espaciu normado y completu.
Espacios prehilbertianos
editar
Un espaciu prehilbertiano
(
Y
,
⟨
⋅
|
⋅
⟩
)
{\displaystyle (Y_{}^{},\langle \cdot |\cdot \rangle )}
Y
{\displaystyle Y_{}^{}}
⟨
⋅
|
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }
productu a angular .
Espacios de Hilbert
editar
Un espaciu de Hilbert ye un espaciu prehilbertiano completu pola norma definida pol productu angular.
Morfismos ente espacios vectoriales
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↑ Bourbaki, 1969 , ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", páxs. 78–91.↑ Bolzano, 1804 .↑ Möbius, 1827 .↑ Hamilton, 1853 .↑ Grassmann, 1844 .↑ Peano, 1888 , ch. IX.↑ Banach, 1922 . Referencies históriques
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Bibliografía
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Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials», Àlgebra llinial i xeometría (en catalán). Publ. UAB. Lang, S. (1976). Álgebra Llinial . Fondu Educativu Interamericano. Queysanne, M., Álxebra Básica , Vicens-Vives. 1973.
Rudin, w., Analís Funcional (Definición axomática d'espacios vectoriales topolóxicos introductivamente), Reverté. Enllaces esternos
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![{\displaystyle [o]=o+F:=\{o+v:v\in F\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06186d54993019094039396b51898825e7f0a84e)
![{\displaystyle {\begin{matrix}[o]+[v]&:=&[o+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [o]&:=&[\lambda o]\;\;\;\;\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c9148d9c8a6b144725eadb9289c74451f10e4c)
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