Carauterística d'Euler

En matemática, y en particular en topoloxía alxebraica, la carauterística de Euler o carauterística de Euler-Poincaré ye un invariante topolóxicu, un númberu definíu que sirve pa describir la forma o la estructura d'una clase d'espacios topolóxicos. Ye denotada xeneralmente por $\chi$ (la lletra griega Ji). La carauterística de Euler foi definida nun principiu namái pa poliedros y sirvió pa demostrar dellos teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. El so nome referir a Leonhard Euler, que foi'l responsable de les primeres resultaos.

Carauterística de Euler en poliedros

Artículu principal: Teorema de Euler pa poliedros

La carauterística de Euler d'un politopo de tres dimensiones (poliedru) puede calculase usando la fórmula siguiente:

$\chi =V-A+C\,\!$

onde V, A y C son los númberos de vértices, d'arestes y de cares, respeutivamente. En particular, pa cualquier poliedru homeomorfo a una esfera tenemos

$\chi =V-A+C=2\,\!$

Por casu, pa un cubu tenemos 6 + 8 - 12 = 2 y pa un tetraedru tenemos 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior tamién se llama la fórmula de Euler, que puede demostrase por inducción matemática o mapeos sobre una esfera.

Otros exemplos pueden atopase na siguiente tabla

Nome	Imaxe	Vértices V	Arestes A	Cares C	Carauterística de Euler: V − A + C
Tetraedru		4	6	4	2
Cubu		8	12	6	2
Octaedru		6	12	8	2
Dodecaedru		20	30	12	2
Icosaedru		12	30	20	2

Un poliedru que nun seya homeomorfo a una esfera, como'l Poliedru toroidal de la figura, que tien 48 cares, 22 vértices y 70 arestes vamos llograr 22 - 70 + 48 = 0.

Tabla coles carauterística de Euler d'otros poliedros

Nome	Imaxe	Vértices V	Arestes A	Cares C	Carauterística de Euler : V − A + C
Tetrahemihexaedro		6	12	7	1
Octahemioctaedro		12	24	12	0
Cubohemioctaedro		12	24	10	−2
Gran Icosaedru		12	30	20	2

Xeneralización a les superficies

Esfera triangulada a partir d'un icosaedru.

Una superficie compacta como la esfera, el toru, el bi-toru, un discu con cantu, etc. surden de deformar de forma continua un poliedru. Por casu, si deformamos un icosaedru hasta llograr una esfera les arestes van tresformar en curves sobre la esfera, les cares van ser "triángulos" y los vértices van ser puntos sobre les mesmes. Asina la esfera va quedar "triangulada" (Vease triangulación). Pa definir la carauterística d'una superficie usaren estes triangulaciones realizando la fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Llaos + Vértices. En realidá les triangulaciones nun tienen de ser feches necesariamente con triángulos, sinón con cualquier polígonu, teniendo en cuenta que dos polígonos solo compartan una aresta a lo más, y que, si comparten un llau, solo compartan los dos vértices d'esi llau. Asina la xeneralización de la carauterística de Euler pa una superficie zarrada S ye

$\chi (S)={\mbox{Polígonos - Llaos + Puntos}}\,\!$

La carauterística de Euler de superficies empobinaes zarraes rellacionar cola so xéneru g, que ye un númberu que describe la cantidá de «ases» que tien la superficie. La rellación ye dada por:

$\chi (S)=2-2g\,\!$

Por casu: El toru (la rosquía) tien una asa y polo tanto $\chi =2-2g=2-2=0$.

Definición xeneral y propiedaes

Pa un CW-complexu finito y en particular pa un complexu simplicial finito, la carauterística de Euler puede definise como la suma alternada

$\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots ,$

onde k_i denota el númberu de célules de dimensión i.

Entós, puede definise la carauterística de Euler d'una variedá como la carauterística de Euler d'un complexu simplicial homeomorfo a él. Por casu, el círculu y el toru tienen carauterística de Euler 0 y les boles sólides tienen carauterística de Euler 1.

La carauterística de Euler ye independiente de la triangulación. La fórmula puédese tamién utilizar pa les descomposiciones en polígonos arbitrarios.

Pa les variedaes zarraes, la carauterística de Euler coincide col númberu de Euler, esto ye, la clase de Euler de la so fibrado tanxente evaluáu na clase fundamental de la variedá.

Pa les variedaes de Riemann zarraes, la carauterística de Euler puede atopase tamién integrando la combadura -- vea'l teorema de Gauss-Bonnet pal casu de dos dimensiones y el teorema de Gauss-Bonnet xeneralizáu pal casu xeneral. Un análogu discretu del teorema de Gauss-Bonnet ye'l teorema de Descartes que'l "defectu total" d'un poliedru, midíu en círculos completos, ye la carauterística de Euler del poliedru; vea defectu (xeometría).

Más xeneralmente entá, pa cualesquier espaciu topolóxicu, podemos definir el n-ésimo númberu de Betti b_n como'l rangu del n-ésimo grupu de homoloxía. La carauterística de Euler puédese entós definir como la suma alternada

$\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,\cdots .$

Esta definición tien sentíu si los númberos de Betti son toos finitos y cero más allá de ciertu índiz n₀.

Dos espacios topolóxicos que son equivalentes homotópicos tienen grupos isomorfos d'homoloxía y polo tanto la mesma carauterística de Euler.

D'esta definición y la dualidá de Poincaré, síguese que la carauterística de Euler de cualquier variedá zarrada de dimensión impar ye cero.

Si M y N son espacios topolóxicos, entós la carauterística de Euler del so productu M × N ye

$\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)$.

Conxuntu parcialmente ordenáu

El conceutu de carauterística de Euler d'un poset finito acutáu ye otra xeneralización, importante en combinatoria. Un poset ye acutáu si tien elementos mínimos y máximos, que podemos llamar 0 y 1. La carauterística de Euler de tal poset ye μ(0,1), onde μ ye la función de Möbius nel álxebra d'incidencia d'esi poset.

Ver tamién

• Teorema de Euler pa poliedros
• Xéneru

Referencies

• Euler characteristic en Encyclopaedia of Mathematics (n'inglés)
• Carauterística de Euler in the Encyclopaedia of Mathematics

Enllaces esternos

• Weisstein, Eric W. «Euler characteristic» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Polyhedral formula» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

• Datos: Q852973