Conxuntu abiertu

Un conxuntu abiertu, en topoloxía y otres cañes de les matemátiques, ye un conxuntu nel que toos y cada unu de los sos elementos tán arrodiaos por elementos que tamién pertenecen al conxuntu; o, dichu d'una manera más intuitiva, que nengún elementu de dichu conxuntu pertenez tamién a la frontera d'ésti. En términos más rigorosos dizse qu'en cualquier elementu del conxuntu puede centrase una bola abierta que ta totalmente contenida nel conxuntu. Puede xeneralizase el conceutu de ‘bola’ como los elementos que tán mui cerca d'otru en cualquier direición, arrodiándolo, pero pa ello ye necesariu definir una función alloña que dexe evaluar l'alloñanza o cercanía ente los oxetos del conxuntu, constituyendo asina un espaciu métricu —un conxuntu más una definición de distancia n'él—.

Exemplu: el círculu azul representa'l conxuntu de puntos (x, y) que satisfaen x² + y² = r². El discu coloráu representa'l conxuntu de puntos (x, y) que satisfaen x² + y² < r². El conxuntu coloráu ye un conxuntu abiertu, el conxuntu azul ye'l so conxuntu de llendes, y la xunión de los conxuntos colorao y azul ye un conxuntu zarráu.

DEFINICIÓN: Sía $\scriptstyle (X,d)$ un espaciu métricu. Dizse que $\scriptstyle {\boldsymbol {O}}\,\subset \,{\boldsymbol {X}}$ ye un conxuntu abiertu si pa tou $\scriptstyle x\,\in \,{\boldsymbol {O}}$ esiste una bola abierta $\scriptstyle {\boldsymbol {B\,(x,\,\epsilon )}}\,\subset \,{\boldsymbol {O}}$.

Como exemplu típicu puede evaluase l'intervalu abiertu (0, 1) nos númberos reales ($\scriptstyle \mathbb {R}$), que se correspuende con tolos númberos ente 0 y 1 pero ensin incluyir estos, esto ye, tolos númberos reales x con 0 < x < 1. Con éses, intuitivamente dizse que ye un conxuntu abiertu porque, <o>pa cualquier númberu x que perteneza al conxuntu</o>, por enforma que pretendamos averanos a la frontera del conxuntu —0 y 1—, siempres hai más elementos ente dichu númberu x y la frontera. Por casu, si evaluamos el puntu 0.9, ente este y el 1 ta'l 0,99, por casu; al igual qu'ente 0,99 y 1 ta'l 0,999; y asina socesivamente. Siempres hai más númberos ente cualquier elementu del conxuntu y la frontera, y ye por tanto ‘abiertu’. Sicasí, nel conxuntu zarráu [0, 1] ente l'elementu 1 y la frontera del intervalu —que tamién ye 1— nun esisten más elementos, polo que se deduz que ye en xunto ‘zarráu’.

O valorando la esplicación más rigorosa, l'espaciu métricu nel casu del intervalu (0, 1), denotado como ($\scriptstyle \mathbb {R}$, d), ye'l constituyíu por:

• Los elementos que pertenecen a los númberos reales ($\scriptstyle \mathbb {R}$), esto ye, dende $\scriptstyle -\,\infty$ a $\scriptstyle \infty$.
• La función alloña que, usando la distancia euclídea (d), defínese como'l valor absolutu de la resta $\scriptstyle |\,b\,-\,a\,|$.

D'esta manera en tou númberu x del conxuntu (0, 1) puede centrase una bola que ta incluyida dientro del conxuntu; yá que na recta real una bola abierta centrada nun númberu x corresponder con otru intervalu de la forma (x - ε, x + ε), onde epsilon ye una cantidá bien pequeña, tou lo que se quiera. Asina, una bola centrada en 0,9 va tar dientro del conxuntu, según en 0,99 o en 0,999999, pos siempres va haber un epsilon de separación ente'l puntu y la frontera. Pela cueta nel conxuntu zarráu [0, 1], una bola centrada nel elementu 1 va quedar parcialmente fuera del conxuntu.

Repare que'l qu'un conxuntu dau O seya abiertu depende del espaciu circundante, el "cuartu de xuegos". Por casu, el conxuntu de los númberos racionales ente 0 y 1 (esclusivu) ye abiertu nos númberos racionales, pero nun ye abiertu nos númberos reales. Repare tamién que "abiertu" nun ye'l contrariu de zarráu. Primero, esisten conxuntos que son dambos abiertos y zarraos, llamaos conxuntos clopen, como por casu el conxuntu de los númberos racionales más pequeños que √2 nos númberos racionales. Segundu, hai conxuntos que nun son abiertos nin zarraos, como por casu (0, 1] en R.

Definiciones

El conceutu de conxuntu abiertu puede formalizase con dellos graos de xeneralidá, ente ellos:

Xeometría

Un subconxuntu O perteneciente al conxuntu $R^{n}$ llámase abiertu cuando tolos puntos P d'O son interiores.

Espaciu euclideu

Un subconxuntu O d'un espaciu euclideu n-dimensional Yⁿ llámase abiertu si, dau cualquier puntu x en O, esisti un númberu real ε > 0 tal que, dau cualquier puntu y en Yⁿ que la so alloña euclidiana de x seya más pequeña que ε, y tamién pertenez a O. De forma equivalente, O ye abiertu si cada puntu en O tien una redolada contenida en O.

Intuitivamente, la ε mide'l tamañu de los "solmenones dexaos".

Un exemplu d'un conxuntu abiertu en Y² (nun planu) sería tolos puntos dientro d'un círculu de radiu r, que satisfaen la ecuación $r>{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Porque la distancia de cualquier puntu p nesti conxuntu en cantu del conxuntu ye mayor que cero: $r-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$, podemos afitar el ε a la metá d'esta distancia, que significa que'l ε ye tamién mayor de cero, y tolos puntos que tán a una distancia ε de p tean tamién nel conxuntu, satisfaciendo asina les condiciones pa un conxuntu abiertu.

Espacios métricos

Un subconxuntu O d'un espaciu métricu (M, d) llámase abiertu si, dau cualquier puntu x en O, esiste un númberu real ε > 0 tales que, dau cualquier puntu y en M con d(x, y) < ε, y tamién pertenez a O. (equivalente, O ye abiertu si cada puntu en O tien una vecindá contenida en O)

Esto xeneraliza l'exemplu euclidianu del espaciu, yá que l'espaciu euclidianu cola distancia euclidiana ye un espaciu métricu.

Espacios topolóxicos

N'espacios topolóxicos, el conceutu d'apertura tómase como fundamental. Unu empieza con un conxuntu arbitrariu X y una familia de subconxuntos de X que satisfaen ciertes propiedaes que cada noción "razonable" d'apertura supónse tener. (específicamente: la unión de conxuntos abiertos ye abierta, la interseición finita de conxuntos abiertos ye abierta, y en particular el conxuntu vacíu y X mesmu son abiertos.) Tal familia T de subconxuntos llámase una topoloxía en X, y llámase a los miembros de la familia los conxuntos abiertos del espaciu topolóxicu (X, T).Un conxuntu llámase zarráu si'l so complementu en X ye abiertu.

Definición

Sía X un conxuntu non vacíu y T una familia de subconxuntos de X. T ye una topoloxía en X si cumple los siguientes axomes.

• X y el conxuntu vacíu {} tán en T.
• La interseición d'un númberu finito de miembros de T ta en T.
• La unión de cualquier númberu d'elementos de T ta en T.

Con estes precisiones, al par (X,T) denominar espaciu topolóxicu y a los miembros de T nomar abiertos nel espaciu topolóxicu (X,T). Ver el llibru Topoloxía d'un pool d'autores de la Facultá de Ciencies de la Universidá Complutense.

Esto xeneraliza la definición métrica del espaciu: si empezar con un espaciu métricu y define conxuntos abiertos como antes, entós la familia de tolos conxuntos abiertos va formar una topoloxía nel espaciu métricu. Cada espaciu métricu ye polo tanto d'una manera natural un espaciu topolóxicu. (Hai sicasí espacios topolóxicos que nun son espacios métricos).

Propiedaes

• Nun espaciu métricu o topolóxicu X, el conxuntu vacíu y X son abiertos y zarraos al empar. Si l'espaciu ye conexu, estos dos son los únicos conxuntos zarraos y abiertos al empar.
• La unión de cualquier númberu de conxuntos abiertos ye abierta.
• La interseición d'un númberu finito de conxuntos abiertos ye abierta.

Aplicaciones

Cada subconxuntu A d'un espaciu topolóxicu X contién a un (seique vacíu) conxuntu abiertu; el más grande de tales conxuntos abiertos llámase'l interior de A. Puede ser construyíu tomando la unión de tolos conxuntos abiertos conteníos en A.

Daos espacios topolóxicos X y Y, una función f de X a Y ye función continua si la preimagen de cada conxuntu abiertu en Y ye abiertu en X. La función f llámase función abierta si la imaxe de cada conxuntu abiertu en X ye abierta en Y.

Un conxuntu abiertu na recta real, según la topoloxía avezada, carauterizar pola propiedá de ser una unión contable d'intervalos abiertos dixuntos.

Variedaes

Una variedá llámase abierta si ye una variedá ensin cantu y si nun ye compacta. Esta noción estrémase daqué de l'apertura aldericada más arriba.

Bibliografía

• Mansfield, M.J.(1974) Indroducción a la Topoloxía, Editorial Alhambra, Madrid.
• Chinn,W.G.; Steenrod,N.Y. (1975) Primeros conceptyos de Topoloxía), Editorial Alhambra, Madrid.
• García Marrero et all.(1975) Topoloxía, Editorial Alhambra, Madrid.

Ver tamién

• Conxuntu
• Conxuntu zarráu
• Teoría de conxuntos

• Datos: Q213363