Distribución uniforme continua

En teoría de probabilidá y estadística, la distribución uniforme continua ye una familia de distribuciones de probabilidá para variables aleatories continues, tales que pa cada miembru de la familia, tolos intervalos d'igual llargor na distribución nel so rangu son igualmente probables. El dominiu ta definíu por dos parámetros, a y b, que son los sos valores mínimu y máximu. La distribución ye de cutiu escrita en forma embrivida como O(a,b).

Distribución uniforme continua
Utilizando convención de máximu Función de densidá de probabilidá
Función de distribución de probabilidá
Parámetros	$a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!$
Función de densidá (pdf)	${\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{para }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {pa} \ x<a\ \mathrm {o} \ x>b\end{matrix}}\,\!$
Función de distribución (cdf)	${\begin{matrix}0&{\mbox{pa }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&11:551dic2017(UTC){\mbox{para }}a\leq x<b\\1&{\mbox{pa }}x\geq b\end{matrix}}\,\!$
Media	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
Mediana	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
Moda	cualquier valor en $[a,b]\,\!$
Varianza	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!$
Coeficiente de simetría	$0\,\!$
Curtosis	${\frac {9}{5}}\,\!$
Entropía	$\ln(b-a)\,\!$
Función xeneradora de momentos (mgf)	${\frac {y^{tb}-y^{ta}}{t(b-a)}}\,\!$
Función característica	${\frac {y^{itb}-y^{ita}}{it(b-a)}}\,\!$
[editar datos en Wikidata]

Carauterización

Función de densidá de probabilidá

La función de densidá de probabilidá de la distribución uniforme continua ye:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ \mathrm {para} \ a\leq x\leq b,\\\\0&\mathrm {pa} \ x<a\ \mathrm {o} \ x>b,\end{matrix}}\right.$

Los valores nos dos estremos a y b nun son polo xeneral importantes porque nun afecten el valor de les integrales de f(x) dx sobre l'intervalu, nin de x f(x) dx o espresiones similares. Dacuando escuéyese que sían cero, y dacuando escoyer col valor 1/(b − a). Esti postreru resulta apropiáu nel contestu d'estimación pol métodu de máxima verosimilitud. Nel contestu del analís de Fourier, puede escoyese que'l valor de f(a) o f(b) sían 1/(2(b − a)), por qu'entós la tresformada inversa de munches tresformaes integrales d'esta función uniforme resulten na función inicial, d'otra forma la función que se llogra sería igual "en cuasi tou puntu", esto ye sacante nun conxuntu de puntos con Teoría de la midida midida nula. Tamién, d'esta forma resulta consistente cola función signo que nun tener dicha ambigüedá.

Función de distribución de probabilidá

La función de distribución de probabilidá ye:

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{pa }}x<a\\\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{para }}a\leq x<b\\\\1&{\mbox{pa }}x\geq b\end{matrix}}\right.\,\!$

Funciones xeneradores acomuñaes

Función xeneradora de momentos

La función xeneradora de momentos ye

$M_{x}=Y(y^{tx})={\frac {y^{tb}-y^{ta}}{t(b-a)}}\,\!$

a partir de la cual pueden calculase los momentos m_k

$m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!$

$m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!$

y, polo xeneral,

$m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!$

Pa una variable aleatoria que satisfai esta distribución, la esperanza matemática ye entós m₁ = (a + b)/2 y la varianza ye m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Propiedaes

Generalización a conxuntos de Borel

Esta distribución puede ser xeneralizada a conxuntos d'intervalos más complicaos. Si S ye un conxuntu de Borel de midida finita positiva, la distribución probabilidá uniforme en S puede especificase definiendo que la pdf seya nula fuera de S ya igual a 1/K dientro de S, onde K ye la midida de Lebesgue de S.

Estadístiques d'orde

Sía X₁,..., X_n una muestra i.i.d. de O(0,1). Sía X_(k) el orde estadísticu k-ésimo d'esta muestra. Entós la distribución de probabilidá de X_(k) ye una distribución Beta con parámetros k y n − k + 1. La esperanza matemática ye

$\operatorname {Y} (X_{(k)})={k \over n+1}.$

Esto ye útil cuando se realicen Q-Q plots.

Les varianzas son

$\operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.$

Uniformidá

La probabilidá de qu'una variable aleatoria uniformemente distribuyida atópese dientro de dalgún intervalu de llargor finita ye independiente del allugamientu del intervalu (anque sí depende del tamañu del intervalu), siempres que l'intervalu tea conteníu nel dominiu de la distribución.

Ye posible verificar esto, por casu si X ≈ O(0,b) y [x, x+d] ye un subintervalo de [0,b] con d fixu y d > 0, entós

$P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!$

lo cual ye independiente de x. Esti fechu ye'l que-y da'l so nome a la distribución.

Uniforme estándar

Si acútase $a=0$ y $b=1$, a la distribución resultante O(0,1) se la llapada distribución uniforme estándar.

Una propiedá interesante de la distribución uniforme estándar ye que si o₁ ye una distribución uniforme estándar, entós 1-o₁ tamién lo ye.

Distribuciones rellacionaes

Si X tien una distribución uniforme estándar, entós:

• Y = -ln(X)/λ tien una distribución esponencial con parámetru λ.
• Y = 1 - X^1/n tien una distribución beta con parámetros 1 y n. (Notar qu'esto implica que la distribución uniforme estándar ye un casu especial de la distribución beta, con parámetros 1 y 1).

Rellaciones con otres funciones

Siempres y cuando se sigan les mesmes convenciones nos puntos de transición, la función densidá de probabilidá puede tamién ser espresada por aciu la función pasu de Heaviside:

$f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},\,\!$ o en términos de la función rectángulo

$f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-\left({\frac {a+b}{2}}\right)}{b-a}}\right).$

Nun esiste ambigüedá nel puntu de transición de la función signo. Utilizando la convención de la metá del máximu nos puntos de transición, la distribución uniforme puede espresase a partir de la función signu como:

$f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.$

Aplicaciones

En estadística, cuando s'utiliza un p-valor a manera de prueba estadística pa una hipótesis nula simple, y la distribución de la prueba estadística ye continua, entós la prueba estadística esta uniformemente distribuyida ente 0 y 1 si la hipótesis nula ye verdadera.

Muestreo d'una distribución uniforme

Esisten munchos usos en que ye útil realizar esperimentos de simulación. Munchos llinguaxes de programación tienen la capacidá de xenerar númberos pseudo-aleatorios que tán distribuyíos d'alcuerdu a una distribución uniforme estándar.

Si o ye un valor muestreado d'una distribución uniforme estándar, entós el valor a + (b − a)o tien una distribución uniforme parametrizada por a y b, como se describió primeramente.

Muestreo d'una distribución arbitraria

La distribución uniforme resulta preséu pa muestrear distribuciones arbitraries. Un métodu xeneral ye'l métodu de muestreo de tresformamientu inversu, qu'utiliza la distribución de probabilidá (CDF) de la variable aleatoria oxetivu. Esti métodu ye bien útil en trabayos teóricos. Puesto que les simulaciones qu'utilicen esti métodu riquen invertir la CDF de la variable oxetivu, diseñáronse métodos alternativos p'aquellos casos onde nun se conoz el CDF nuna forma zarrada. Otru métodu similar ye'l rejection sampling.

La distribución normal ye un exemplu importante nel que'l métodu de la tresformada inversa nun ye eficiente. Sicasí, esiste un métodu exactu, la tresformamientu de Box-Muller, qu'utiliza la tresformada inversa pa convertir dos variables aleatories uniformes independientes en dos variables aleatories independientes distribuyíes de normal.

Exemplu nel intervalu [0,1]

Pa esti casu l'intervalu queda definíu por $a=0$ y $b=1$.

Entós resulta:

• $f(x)=1$ pa $0\leq x\leq 1$

• $F(x)=x$ pa $0\leq x\leq 1$

• $\operatorname {Y} (X)=0,5$

• $\operatorname {Var} (X)=1/12$

• $\sigma _{x}={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {1/12}}\approx 0.29$

Enllaces esternos

• Calculadora - Distribución uniforme continua
• [1] Calcular la probabilidá d'una distribución uniforme con R (llinguaxe de programación)

• Datos: Q274506
• Multimedia: Uniform distribution