Mínimu común múltiplu

En matemátiques, el mínimu común múltiplu (embrivíu m.c.m.) de dos o más númberos naturales ye'l menor númberu natural que ye múltiplu común de toos ellos (o l'ínfimu del conxuntu de los múltiplos comunes). Esti conceutu tuvo amestáu históricamente con númberos naturales, pero puede usase para enteros negativos o Númberu complexu

Cálculu del mínimu común múltiplu (m.c.m.)

Partiendo de dos o más númberos y por descomposición en factores primos, espresaos como productu de factores primos, el so mínimu común múltiplu va ser la resultancia de multiplicar tolos factores comunes y non comunes alzaos a la mayor potencia, por casu el mcm de 72 y 50 va ser:

{\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}

72=2^{3}\cdot 3^{2}\,

{\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}

50=2\cdot 5^{2}\,

Tomando los factores non comunes y comunes col so mayor esponente, tenemos que:

\operatorname {mcm} (72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800

Conociendo'l máximu común divisor de dos númberos, puede calculase el mínimu común múltiplu d'ellos, que va ser el productu de dambos estremáu ente'l so máximu común divisor.

\operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {mcd} (a,b)}}

Propiedaes básiques

Si a ye un enteru, entós [a, a] = a #

Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, namái si b ye múltiplu d'a.

(a,b) = [a,b] si son iguales o opuestos.
[a, b] = [ab] si, namái si (a,b)= 1
[a/d, b/d] = [m/a, m/b] onde m = mcm y d = mcd.^[1]
[ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1^[2]
[a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
[a, b, c]|abc, onde abc ≠ 0
[a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)^[3]

Si'l productu de dos númberos estremar pol so máximu común divisor dichu cociente ye'l mínimu común múltiplu.

A y B que descompuestos en númberos primos va ser A=(p₁·p₂)·p₃·p₄ y B=(p₁·p₂)·p₅·p₆ onde si m.c.d. ye (p₁·p₂) y el productu d'A·B=(p₁·p₂)·p₃·p₄·(p₁·p₂)·p₅·p₆ onde vemos que (p₁·p₂) ta repitíu dos veces, depués si estremamos esi total por (p₁·p₂) vamos tener el total menor que contién a A y B siendo'l so mcm

El mínimu común múltiplu de dos númberos, onde'l menor estrema al mayor, va ser el mayor. Ye lóxicu una y bones un múltiplu de dambos inferior al mayor sería imposible una y bones nun sería múltiplu del mayor.
El mínimu común múltiplu de dos númberos primos ye'l total de la so multiplicación. Esto ye lóxicu una y bones el so máximu común divisor ye 1.
El mínimu común múltiplu de dos númberos compuestos va ser igual al cociente ente'l so productu y el m.c.d d'ellos. Rescampla según la propiedá 1 d'esta tema.
El máximu común divisor de dellos númberos ye un divisor del mínimu común múltiplu de tales númberos.^[4]
Sía mZ el conxuntu de los múltiplos del enteru m, nZ el del enteru n. Entós el conxuntu nZ∩mZ ta formáu polos múltiplos comunes de m y n; n'otra notación ye'l conxuntu [m,n]Z.^[5]

Aplicaciones del mínimu común múltiplu

Suma de fracciones

El mcm puede emplegase pa sumar o restar fracciones de distintu denominador, tomando'l mcm de los denominadores de les fracciones, y convirtiéndoles en fracciones equivalentes que puedan ser sumaes. Vease'l siguiente exemplu:

{\frac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}

Pa poder efectuar la suma, primero débese buscar el mínimu común múltiplu de los denominadores (6 y 33)

{\begin{array}{r|l}6&2\\3&3\\1&\end{array}}

6=2\cdot 3\,

{\begin{array}{r|l}33&3\\11&11\\1&\end{array}}

33=3\cdot 11\,

depués el mínimu común múltiplu de 6 y 33 ye:

\operatorname {mcm} (6,33)=2\cdot 3\cdot 11=66

que correspuende al númberu 66; dambes fracciones van tener como denominador 66, agora namái hai que topar a cada fracción la so fracción equivalente, con denominador 66 y va ser posible la suma:

{\cfrac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}\quad =\quad {\cfrac {1}{6}}\cdot {\cfrac {\cfrac {66}{6}}{\cfrac {66}{6}}}\;+\;{\cfrac {4}{33}}\cdot {\cfrac {\cfrac {66}{33}}{\cfrac {66}{33}}}\quad =\quad {\cfrac {1\cdot {\cfrac {66}{6}}}{6\cdot {\cfrac {66}{6}}}}\;+\;{\cfrac {4\cdot {\cfrac {66}{33}}}{33\cdot {\cfrac {66}{33}}}}\quad =\quad {\cfrac {1\cdot {\cfrac {66}{6}}}{{\cancel {6}}\cdot {\cfrac {66}{\cancel {6}}}}}\;+\;{\cfrac {4\cdot {\cfrac {66}{33}}}{{\cancel {33}}\cdot {\cfrac {66}{\cancel {33}}}}}\quad =

operando les fracciones, podemos realizar la suma:

{\cfrac {1\cdot 11}{66}}+{\frac {4\cdot 2}{66}}\quad =\quad {\cfrac {11}{66}}+{\frac {8}{66}}\quad =\quad {\cfrac {19}{66}}

Espresiones alxebraiques

El m.c.m. pa dos espresiones alxebraiques, correspuende a la espresión alxebraica de menor coeficiente numbéricu y de menor grau que ye divisible esautamente por caúna de les espresiones daes. Esta teoría ye de suma importancia pa les fracciones y ecuaciones.^[6]

D'esta forma'l m.c.m. de monomios $\ 4a$ y $\ 6a^{2}$ ye $\ 12a^{2}$ igualmente pa $\ 2x^{2},\ 6x^{3}$ y $\ 9x^{4}$ ye $\ 18x^{4}$ .

Algoritmu de cálculu

Pa más de dos númberos, un algoritmu ye'l siguiente:

Descomponer cada unu de los númberos nun productu de potencies de factores primos.Por casu, la descomposición factorial de 324 ye 2²·3⁴.
D'ente toles potencies de factores primos, escuéyense tolos esistentes, y dientro de los comunes a tolos númberos, los de mayor potencia. (Ye bien conveniente disponer les factorizaciones de manera tabular o matricial pa evitar despistes al realizar l'exerciciu).
Multiplicar tolos factores escoyíos.

Por casu, calculando'l mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 ye 2²·3⁴; la descomposición de 16 ye: 2⁴; la descomposición de 7 ye 7 y la descomposición de 5 ye 5.

{\begin{bmatrix}324=&2^{2}&3^{4}&&\\16=&2^{4}&&\\5=&&&5&\\7=&&&&7\end{bmatrix}}

Por tanto, llogramos el mcm: 2⁴·3⁴·7·5 = 45360.

Xeneralización del conceutu de m.c.m. y m.c.d.

El conceutu de m.c.m. y de m.c.d. puede estendese a les fracciones o númberos racionales positivos.^[7] Puramente falando cualquier númberu racional estrema a otru racional y nun esiste un racional mayor o menor que toos. Sicasí, la estensión equí descrita tien interés en dellos problemes y ta rellacionada cola teoría d'aniellos, ideales, identidá de Bézout, teorema de Krull, etc.

Nel casu de l'aritmética clásica elemental sería d'aplicación nel siguiente exemplu. Sían 3 corredores dando vueltes a un circuitu, si en cada vuelta'l primeru saca 1/3 de vuelta al segundu y 2/7 al terceru. ¿cuándo volverán coincidir na meta los trés corredores?. Tamién sería d'aplicación en problemes de ruedes dentaes, etc.

Sían dos fracciones ${\frac {a}{b}}$ y ${\frac {c}{d}}$ irreducibles

$a=\prod _{i}p_{i}^{y_{i}(a)},b=\prod _{i}p_{i}^{y_{i}(b)},c=\prod _{i}p_{i}^{y_{i}(c)},d=\prod _{i}p_{i}^{y_{i}(d)}$

La descomposición en factores primos de $a,b,c,d$ . Entós

{\frac {\prod _{i}p_{i}^{\max(y_{i}(a),y_{i}(c))}}{\prod _{i}p_{i}^{\min(y_{i}(b),y_{i}(d))}}}

ye una fracción que ye común múltiplu de ${\frac {a}{b}}$ y ${\frac {c}{d}}$ y ye el mínimu poles propiedaes del m.c.m. y m.c.d. de dos enteros non negativos una y bones ${\prod _{i}p_{i}^{\max(y_{i}(a),y_{i}(c))}}$ ye'l m.c.m. de los numberadores y ${\prod _{i}p_{i}^{\min(y_{i}(b),y_{i}(d))}}$ ye'l m.c.d. de los denominadores de manera que puede concluyise que : $\operatorname {mcm} \left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)={\frac {\operatorname {mcm} (a,c)}{\operatorname {mcd} (b,d)}}.$

Análogamente o teniendo en cuenta que'l productu de dos númberos ye igual al del so m.c.m. pol so m.c.d. llogramos:

\operatorname {mcd} \left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)={\frac {\operatorname {mcd} (a,c)}{\operatorname {mcm} (b,d)}}.

Les fórmules anteriores son válides pa una cantidá finita de fracciones. Amás el cociente del mcm ente cada fracción ye un enteru y el conxuntu de los cocientes formen un sistema de primos ente sigo. Otramiente, el cociente de cada fracción ente'l mcd ye enteru, los cocientes son primos ente sigo^[8]

De manera más xeneral, conceutu de m.c.m. tien sentíu en cualesquier dominiu enteru. Mayor usu dar nel conxuntu de los enteros, polinomio nuna variable, enteros gaussianos^[9]

Ver tamién

Referencies

↑ Malo de comprobar con una autopropuesta
↑ Rectificación y reconfrontación con "Aritmética" d'Universidá de Ciencies y Humanidaes de Perú
↑ Dellos autores: Aritmética, Editorial UCH, Lima (2013)
↑ Nestes temes de divisibilidad cabo falar de divisor, factor o submúltiplu, mas non d'inclusión
↑ Kostrikin: Introducción a la álxebra, Editorial Mir, Moscú (1974)
↑ Baldor, Aurelio. «XII», Álgebra. Páxina 188: Cultural, páx. 574. ISBN 9684392117.
↑ http://math.stackexchange.com/questions/44836/rational-numbers-lcm-and-hcf Mathematics Stack Exchange
↑ Galdos; Aritmética 1m ISBN 9972-891-14-3
↑ Birkhoff- Mc Lane. Álxebra Moderna

Enllaces esternos

Mínimu común múltiplu n'Enciclopedia llibre universal española Archiváu 2018-09-16 en Wayback Machine

[1] Malo de comprobar con una autopropuesta

[2] Rectificación y reconfrontación con "Aritmética" d'Universidá de Ciencies y Humanidaes de Perú

[3] Dellos autores: Aritmética, Editorial UCH, Lima (2013)

[4] Nestes temes de divisibilidad cabo falar de divisor, factor o submúltiplu, mas non d'inclusión

[5] Kostrikin: Introducción a la álxebra, Editorial Mir, Moscú (1974)

[6] Baldor, Aurelio. «XII», Álgebra. Páxina 188: Cultural, páx. 574. ISBN 9684392117.

[7] ttp://math.stackexchange.com/questions/44836/rational-numbers-lcm-and-hcf Mathematics Stack Exchange

[8] Galdos; Aritmética 1m ISBN 9972-891-14-3

[9] Birkhoff- Mc Lane. Álxebra Moderna

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