Resolución d'ecuaciones

En matemática, la resolución d'una ecuación ye'l procedimientu de cálculu p'atopar cuálos son los valores (númberos, funciones, conxuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdá (una ecuación). Estos valores suélense denominar raigaños de la ecuación. La resolución d'ecuaciones polinómiques, o alxebraiques, xuega un papel importante na nacencia y posterior desenvolvimientu del álxebra. La caña de les matemátiques que les estudia ye la teoría d'ecuaciones.^[1]

Una ecuación entiende espresiones con variables indefiníes, o incógnites, que tienen de ser sustituyíes por valor de forma tal que la igualdá sía cierta. Pa carauterizar les soluciones d'una ecuación impónense restricciones sobre les incógnites. Polo xeneral, pídese que pertenezan a un conxuntu numbéricu específicu.

La resolución d'ecuaciones lliniales, cuadráticas, cúbiques y cuárticas por aciu factorización de raigaños ye bastante senciella cuando los raigaños son racionales o reales; tamién hai fórmules qu'apurren les soluciones. Sicasí, nun hai una fórmula xeneral en términos de raigaños pa les ecuaciones de quintu grau sobre los racionales; por aciu un númberu finito de sumes, restes, multiplicaciones, divisiones y estracciones de raigaños. Esto probar por primer vegada'l teorema d'Abel-Ruffini, publicáu en 1824, que foi una de les primeres aplicaciones de la teoría de grupos na álxebra. Esta resultancia tamién se cumple pa ecuaciones de mayor grau.

Definición d'ecuación

Dada una función f : A → B y un b en B, esto ye, un elementu del codominio de f.

La igualdá f(x) = b ye una ecuación.

Na ecuación dada, x denominar incógnita.

Un exemplu d'ecuación ye'l siguiente, tomando

${\begin{array}{crcl}f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,&f(x)&=&3x-2\\{\textrm {y}}&b&=&1\end{array}}$

tiense la ecuación con variable natural

$3x-2=1.$

L'estudiu de les ecuaciones depende de les carauterístiques de los conxuntos y l'aplicación; por casu, nel casu de les ecuaciones diferenciales, los elementos del conxuntu $A$ son funciones y l'aplicación $f$ tien d'incluyir dalguna de les derivaes del argumentu. Nes ecuaciones matriciales, la incógnita ye una matriz.

La definición que se dio inclúi les igualdaes de la forma $g (x) = h (x)$ . Si « $+$ » denota la suma de funciones, entós $(B, +)$ ye un grupu. Basta definir l'aplicación $f (x) = g (x) + ( - h (x) )$ , con $- h$ l'inversu de $h$ con al respective de la suma, pa tresformar la igualdá nuna ecuación $f (x) = 0$ con b = 0.

Soluciones d'una ecuación

El conxuntu solución ye aquel que contién tolos valores determinaos que cumplen cola ecuación, y estos valores son denominaos soluciones. Por casu, la ecuación

$3x-2=1$

tien a ${\mathcal {S}}=\{1\}$ como la so conxuntu solución, con 1 como única solución de la ecuación.

Polo xeneral, dada $f:A\to B$ una función, y $f(x)=b$ la ecuación que determina.

El conxuntu ${\mathcal {S}}=\{a_{1},a_{2},\dots \}$ de valores de A ye'l conxuntu solución si cumplir $f(a_{i})=b$ , pa los $a_{i}$ pertenecientes a ${\mathcal {S}}$ .

El conxuntu de soluciones puede ser

vacíu (nun hai soluciones), *

unitariu (esiste esautamente una solución), * finito (esiste un númberu finito de soluciones) o * infinitu.

Ejemplo

Si x ye un númberu natural, la ecuación llinial 3x+1 = 5x–3 tien como solución única x = 2. Esto ye, el conxuntu solución {2} ye unitariu.
La ecuación x² = –1 nun tien solución si considerar a x un númberu real. Esto esprésase diciendo que'l conxuntu solución ye {}, nel sentíu de que nun esiste nengún númberu real positivu que resuelve la ecuación. Puede ampliase'l conxuntu sobre'l cual considérase a x al de los númberos complexos, y nesi casu x² = –1 tien como conxuntu solución {i, -i}, onde i ye la unidá imaxinaria.
Nun hai nengún valor de x que satisfai la ecuación x = x+1. Esto ye independiente del conxuntu sobre'l cual ta definida la variable x.
La ecuación x = x ye válida pa cualquier valor de x. Esti tipu d'igualdaes denominar identidaes.
La ecuación sen(πx) = 0 tien como solución a cualesquier x enteru. Esto ye, nel conxuntu de númberos enteros, esta ecuación ye en realidá una identidá.

Métodos de solución

En casos simples, ye relativamente fácil resolver una ecuación siempres y cuando se satisfaigan ciertes condiciones. Sicasí, en casos más complicaos, ye difícil o engarrosu llograr espresiones simbóliques pa les soluciones, y por ello dacuando utilícense soluciones numbériques averaes.

Funciones inverses

Pal casu simple d'una función d'una variable, por casu, h(x), puede resolvese una ecuación del tipu :h(x) = c, c constante si tener en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.

Dada una función h : A → B, la función inversa, identificada como h^-1, defínese como h^-1 : B → A ye una función tal que

h^-1(h(x)) = h(h^-1(x)) = x.

Agora, si aplícase la función inversa de dambos llaos de la igualdá :h(x)=c, c constante llógrase :h^-1(h(x))=h^-1(c)

x = h^-1(c)

y atopóse la solución de la ecuación. Sicasí, dependiendo de la función, pue ser difícil definir la inversa, o pue que nun sía una función en tol conxuntu B (solo por casu nun subconxuntu), y tener munchos valores pa un dau puntu.

Ejemplo

Si x apaez como sumando na ecuación, súmase'l términu opuestu (col signu camudáu) a entrambos llaos de la ecuación pa llograr x. Si x apaez multiplicando, entós multiplíquense dambos llaos de la ecuación pola so númberu recíprocu. Si x ye un esponente nuna ecuación esponencial, aplícase'l llogaritmu nuna base fayadiza a entrambos llaos de la ecuación. Si x ye la base d'una ecuación de potencia, aplícase'l raigañu correspondiente a entrambos llaos de la ecuación. Si x ye l'ángulu nuna ecuación trigonométrica, aplícase la función trigonométrica inversa a entrambos llaos de la ecuación.

Métodos numbéricos

N'ecuaciones más complicaes, los métodos simples de solución d'ecuaciones puede ser nun sían apropiaos. En ciertos casos, puede usase un algoritmu de busca de raigaños p'atopar la solución numbérica a una ecuación, qu'en ciertos casos ye más que suficiente pa resolver dellos problemes.

Series de Taylor

Una área de la matemátiques enfocóse na creación de dalguna función más simple para averar a una función complexa, nes cercaníes o redolada d'un dau puntu. N'efeutu, pueden utilizase polinomios nuna o delles variables p'averar funciones - un exemplu d'estos polinomios son les series de Taylor.

Resolvimientu d'otres ecuaciones

Tien de notase que ye posible crear ecuaciones entá más complicaes, por aciu l'usu d'operadores diferenciales, matrices, y otros operadores matemáticos. En toos estos casos caltién el principiu de que la resolución de la ecuación ye la busca de los valores que faen que la ecuación satisfáigase, solo que dependiendo de los operadores matemáticos arreyaos va ser necesariu utilizar distintes estratexes o métodos pa resolver les ecuaciones.

Ver tamién

Referencies

↑ Selzer, Samuel (15 de setiembre de 1970). Álgebra y xeometría analítica, 2ª (en castellanu), Buenos Aires: Nigar, páx. 285.

[t_de_Ec-1] Selzer, Samuel (15 de setiembre de 1970). Álgebra y xeometría analítica, 2ª (en castellanu), Buenos Aires: Nigar, páx. 285.

[1]