Productos notables

Llámase productos notables a ciertos producto que cumplen regles fixes y que'l so resultáu pue ser escritu por simple inspeición, esto ye, ensin verificar la multiplicación.[1]

Cada productu notable correspuende a una fórmula de factorización. Por casu, la factorización d'una diferencia de cuadraos perfectos ye un productu de dos binomios conxugaos, y recíprocamente.

Factor comúnEditar

 
Visualización de la regla de factor común. Forma un nomon.

La resultancia de multiplicar un binomiu   por un términu   llógrase aplicando la propiedá distributiva:

 

Na figura axunta reparar que la área del rectángulu ye  , esto ye, el productu de la base   pol altor  , tamién puede llograse como la suma de los dos árees coloriaes:   y  

Cuadráu d'un binomiuEditar

 
Ilustración gráfica del binomiu al cuadráu.

P'alzar un binomiu al cuadráu (esto ye, multiplicalo por sigo mesmu), sumir los cuadraos de cada términu más el doble del productu d'ellos, dando:

 
Demostración
     

La espresión siguiente:   conozse como trinomiu cuadráu perfectu.

Cuando'l segundu términu ye negativu, la igualdá que se llogra ye:

 
Demostración
     

Fórmula non recomendable cuando nun s'omite'l casu   en   induciendo n'abondosos erros.

El casu    .

Finalmente  .

Exemplu:

 

Simplificando:

 

Productu de binomios con términu comúnEditar

Dos binomios con un términu comúnEditar

 
Ilustración gráfica del productu de binomios con un términu común.

Pa efectuar un productu de dos binomios con términu común tiense qu'identificar el términu común, nesti casu x, depués aplícase la fórmula siguiente:

 
Demostración
     

Exemplu:

 
 

Tres binomio con términu comúnEditar

Fórmula xeneral:

 

Binomios con un términu comúnEditar

Fórmula xeneral:

               

Productu de dos binomios conxugaosEditar

 
Productu de binomios conxugaos.

Dos binomios conxugaos estrémense solo nel signu de la operación. Pa la so multiplicación basta alzar los monomios al cuadráu y restalos (obviamente, un términu caltién el signu negativu), colo cual llógrase una diferencia de cuadraos.

 

Exemplu:

 
 

Arrexuntando términos:

 

A esti productu notable tamién se-y conoz como suma pola diferencia.

  • Nel casu  ,[n 1] apaecen polinomios.

Cuadráu d'un polinomiuEditar

 
Elevación d'un trinomiu al cuadráu de forma gráfica.

P'alzar un polinomiu de cualquier cantidá de términos suman los cuadraos de cada términu individual y depués añedir el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

 
 

Exemplu:

 

Multiplicando los monomios:

 
 
 

Arrexuntando términos:

 

Depués:

 
Romper moldes
 .[n 2]

Cubu d'un binomiuEditar

 
Descomposición volumétrica del binomiu al cubu.

Pa calcular el cubu d'un binomiu sumir, socesivamente:

  • El cubu del primer términu.
  • El triple productu del cuadráu del primeru pel segundu.
  • El triple productu del primeru pol cuadráu del segundu.
  • El cubu del segundu términu.
 

Identidaes de Cauchy:

 

Exemplu:

 

Arrexuntando términos:

 

Si la operación del binomiu implica resta, la resultancia ye:

  • El cubu del primer términu.
  • Menos el triple productu del cuadráu del primeru pel segundu.
  • Más el triple productu del primeru pol cuadráu del segundu.
  • Menos el cubu del segundu términu.
 

Identidaes de Cauchy:

 

Exemplu:

 

Arrexuntando términos:

 

Identidá de ArgandEditar

 

Identidaes de GaussEditar

 
 

Identidaes de LegendreEditar

 
 
 

Identidaes de LagrangeEditar

Artículu principal: Identidá de Lagrange
 
 

Otres identidaesEditar

Cuidao que la notabilidad d'un productu ye un conceutu ambiguu, nun esiste una llista determinante qu'indique a cuál productos puédese-yos considerar notables, y a cuálos non. A otres fórmules, anque menos usaes que les anteriores, en ciertos contestos puede calificáse-yos de productos notables. Ente elles destáquense:

Adición de cubos:

 

Diferencia de cubos:

 


Ye más frecuente listar los dos espresiones anteriores como les fórmules de factorización, una y bones los productos nun tienen una forma particularmente simétrica, pero la resultancia sí (oldéese, por casu, cola fórmula de binomiu al cubu).

 
 

La suma y la diferencia de cubos pueden xeneralizase a sumes y diferencies de potencies enésimes (o n - ésimas: xn).

Suma de dos cuadraos

 

Ónde i ye la unidá imaxinaria (√-1)

Demostración
 

Suma de potencies enésimes:

Si –namái si– n ye impar,  

Diferencia de potencies enésimes:

 

Les fórmules de binomiu al cuadráu y binomiu al cubu pueden xeneralizase por aciu el teorema del binomiu.

Pa representar el cubu d'un monomiu, como estrema de dos cuadraos, esiste una fórmula[n 3] atélite:

 

Ver tamiénEditar

NotesEditar

  1. Yá nun se ta ante binomio conxugaos. El nome clásicu y hestóricu ye «diferencia de cuadraos».
  2. Hai que multiplicar nel primer miembru. Depués tantiguar y poner como'l cuadráu d'un trinomiu.
  3. En Aritmética elemental d'Enzo Gentile, hai un problema cola so respeutiva suxerencia

ReferenciesEditar

  1. Baldor, Aurelio. «VI», Álxebra de Baldor. Grupu Editoria mierdin l Patria, páx. 97.

BibliografíaEditar