Polinomiu

Polinomiu
	sumatoria (es) y suma algebraica (es)

En matemátiques, un polinomiu (del llatín polynomium, y esti del griegu, πολυς polys ‘munchos' y νόμος nómos ‘regla', ‘prescripción', ‘distribución')^[1]^[2] ye una espresión alxebraica constituyida por una suma finita de productos ente variables (valores non determinaos o desconocíos) y constantes (númberos fixos llamaos coeficientes). Les variables pueden tener esponentes de valores definíos naturales incluyíu'l cero y que'l so valor máximu va conocese como grau del polinomiu. En términos más simples, un polinomiu ye una suma de monomios.

Ye frecuente'l términu polinómicu (dacuando tamién l'anglicismu polinomial), como axetivu, pa designar cantidaes que pueden espresase como polinomios de dalgún parámetru, como por casu: tiempu polinómicu, etc.

Los polinomios son oxetos bien utilizaos en matemátiques y en ciencia. Na práutica, son utilizaos en cálculu y analís matemáticu p'averar cualesquier función derivable; les ecuaciones polinómiques y les funciones polinómiques tienen aplicaciones nuna gran variedá de problemes, dende la matemática elemental y el álxebra hasta árees como la física, química, economía y les ciencies sociales.

En álxebra astracta, los polinomios son utilizaos pa construyir los aniellos de polinomios, un conceutu central en teoría de númberos alxebraicos y xeometría alxebraica.

Definición alxebraica

Los polinomios tán constituyíos por un conxuntu finito de variables (non determinaes o desconocíes) y constantes (llamaes coeficientes), coles operaciones aritmétiques de suma, resta y multiplicación, según tamién esponentes enteros positivos. Pueden ser d'una o de delles variables.

Polinomios d'una variable

Pa $a_{0},\;\ldots ,\;a_{n}$ constantes en dalgún aniellu A (en particular podemos tomar un cuerpu, como $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ , y nesi casu los coeficientes del polinomiu van ser númberos) con a_n distintu de cero y $n\in \mathbb {N}$ , entós un polinomiu $P_{}^{}$ de grau n na variable x ye un oxetu de formar

$P(x)_{}^{}=$ $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.$

Un polinomiu $P(x)\in K[x]$ nun ye más qu'una socesión matemática finita $\left\{{a_{n}}\right\}_{n}$ tal que $a_{n}\in K$ . Tamién puede considerase una socesión infinita $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ entendiendo qu'a partir d'un ciertu términu $n_{0}\in \mathbb {N}$ podemos considerar $a_{n}=0$ pa cada $n\geq n_{0}$ .

Representáu como:

$P(x)_{}^{}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$

el polinomiu puede escribise más concisamente usando sumatorios como:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$

Les constantes a₀, …, a_n llámense los coeficientes del polinomiu. A a₀ llámase-y el coeficiente constante (o términu independiente) y a a_n, el coeficiente principal (o coeficiente direutor). Cuando'l coeficiente principal ye 1, al polinomiu llámase-y mónico o normalizáu.

Polinomios de delles variables

Como exemplu de polinomios de dos variables, desenvolviendo los binomios:

(2) ${\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}$

Estos polinomios son mónicos, homoxéneos, simétricos y los sos coeficientes son coeficientes binomiales.

Pa llograr la espansión de les potencies d'una resta (vease productos notables), basta con tomar -y en llugar de y nel casu anterior. La espresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Los polinomios de delles variables, a diferencia de los d'una variable, tienen en total más d'una variable. Por casu los monomios:

5xy,3xz^{2},4xy^{2}z,\dots

En detalle'l postreru d'ellos $4xy_{}^{2}z$ ye un monomiu de trés variables (yá que nél apaecen los trés lletres x, y y z), el coeficiente ye 4, y los esponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respeutivamente.

Grau d'un polinomiu

Defínese'l grau d'un monomiu como l'esponente del so variable. El grau d'un polinomiu ye'l del monomiu de mayor grau, y se denota por ${\text{gr}}(p)$ .

Exemplos: P(x) = 2, polinomiu de grau cero (el polinomiu solo consta del términu independiente).; P(x) = 3x + 2, polinomiu de grau unu.; P(x) = 3x² + 2x, polinomiu de grado dos.; P(x) = 2x³+ 3x + 2, polinomiu de grau trés.; P(x) = 4x⁴+ 4x + 2, polinomiu de grau cuatro.; P(x) = 2x⁵+ 3x + 1, polinomiu de grau cinco.

Convencionalmente defínese'l grau del polinomiu nulu como $\scriptstyle -\infty$ .

En particular los númberos son polinomios de grau cero.

Operaciones con polinomios

Los polinomios puédense sumar y restar arrexuntando los términos y simplificando los monomios asemeyaos. Pa multiplicar polinomios multiplica cada términu d'un polinomiu per caúnu de los términos del otru polinomiu y depués simplificar los monomios asemeyaos.

Exemplu

Sían los polinomios: $P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)$ y $Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)$ , entós el productu ye:

P(x)Q(x)_{}^{}=

(2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=

(2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=

(10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=

10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3

Pa poder realizar conducentemente la operación tiense qu'adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica qu'espresa'l productu de dos polinomios ye la siguiente:

$P(x)Q(x)_{}^{}=$ $\left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=$ $\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}$

Aplicando esta fórmula al exemplu anterior tiense:

$P(x)Q(x)_{}^{}=$ $(2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=$ $(1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=$ $10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3$

Puede comprobase que pa polinomios non nulos satisfaise la siguiente rellación ente'l grau de los polinomios $\scriptstyle P(X)$ y $\scriptstyle Q(X)$ y el polinomiu productu $\scriptstyle P(X)Q(X)$ :

(*) ${\mbox{gr}}(P(x)Q(x))={\mbox{gr}}(P(x))+{\mbox{gr}}(Q(x))\,$

Yá que el productu de cualquier polinomiu pol polinomiu nulu ye'l mesmu polinomiu nulu, defínese convencionalmente que $\scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty$ (xunto cola operación $\forall p:-\infty +p=-\infty$ ) polo que la espresión puede estendese tamién al casu de que dalgún de los polinomios sía nulu.

Funciones polinómiques

Una función polinómica ye una función matemática espresada por aciu un polinomiu. Dau un polinomiu P[x] puede definise una función polinómica asociada al polinomiu dau substituyendo la variable x por un elementu del aniellu:

$f_{P}:A\to A,\qquad \qquad a\in A\mapsto f_{P}(a)=a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}+\dots +a_{1}a+a_{0}\in A$

Les funciones polinómiques reales son funciones nidies, esto ye, son infinitamente diferenciables (tienen derivaes de tolos órdenes). Por cuenta de la so estructura simple, les funciones polinómiques son bien sencielles d'evaluar numbéricamente, y úsense llargamente en analís numbéricu para interpolación polinómica o para integrar numbéricamente funciones más complexes. Una manera bien eficiente pa evaluar polinomios ye l'usu de la regla de Horner.

En álxebra llinial el polinomiu característicu d'una matriz cuadrada codifica munches propiedaes importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomiu cromáticu d'un grafo codifica les distintes maneres de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Col desenvolvimientu del ordenador, los polinomios fueron remplazados por funciones spline en munches árees del analís numbéricu. Les splines definir a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidá que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y nidies. Estes son usaes na interpolación spline y en gráficos por ordenador.

Exemplos de funciones polinómiques

Note que les gráfiques representen a les funciones polinómiques y non a los polinomios en sí, pos un polinomiu solo ye la suma de dellos monomios.

Polinomiu de grau 2: f(x) = x² - x - 2= (x+1)(x-2).	Polinomiu de grau 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2).
Polinomiu de grau 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5.	Polinomiu de grau 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2.

La función

f(x)=13x^{4}-7x^{3}+{\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}x^{2}-5x+3

ye un exemplu de función polinómica de cuartu grau, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.

Factorización de polinomios

Nun aniellu conmutativu $\scriptstyle A$ una condición necesaria por que un monomiu sía un factor d'un polinomiu de grau n > 1, ye que'l términu independiente del polinomiu sía divisible pol raigañu del monomiu^[3]:

P_{n}^{}(x)=

a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}=(x-\alpha )Q_{n-1}(x)

necesariamente $\alpha _{}^{}$ estrema a $a_{0}^{}.$

En casu de que'l polinomiu nun tenga términu independiente va sacase la incógnita como factor común y yá ta factorizado. Tamién se puede factorizar usando les igualdaes notables.

Un polinomiu factoriza dependiendo del aniellu sobre'l cual considérese la factorización, por casu el binomiu $X_{}^{2}-2$ non factoriza sobre $\scriptstyle \mathbb {Q}$ pero sí factoriza sobre $\scriptstyle \mathbb {R}$ :

$x^{2}-2=x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}})$

Per otra parte $X_{}^{2}+2$ non factoriza nin sobre $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , nin tampoco sobre $\scriptstyle \mathbb {R}$ anque factoriza sobre $\scriptstyle \scriptstyle \mathbb {C}$ :

$x^{2}+2=(x+i{\sqrt {2}})(x-i{\sqrt {2}})$

Un cuerpu nel que tou polinomiu non constante factoriza en monomios ye un cuerpu algebraicamente zarráu.

Historia

Volume d'una pirámide truncada.

La resolución d'ecuaciones alxebraiques, o la determinación de los raigaños de polinomios, ta ente los problemes más antiguos de la matemática. Sicasí, la elegante y práutica notación qu'utilizamos anguaño desenvolvióse a partir del sieglu XV.

Nel problema 14º del papiru de Moscú (ca. 1890 e. C.) pídese calcular el volume d'un tueru de pirámide cuadrangular. La escriba espón los pasos: alza al cuadráu 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma les anteriores resultancies y multiplícalo por un terciu de 6 (h); remata diciendo: «ves, ye 56, calcular correutamente». En notación alxebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomiu de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo trés, dexa llograr la cuarta variable.

Dellos polinomios, como P(x) = x² + 1, nun tienen nengún raigañu que sía númberu real. Sicasí, si'l conxuntu de los raigaños posibles estender a los númberos complexos, tou polinomiu (non constante) tien un raigañu: esi ye l'enunciáu del teorema fundamental de la álxebra.

Hai una diferencia ente l'aproximamientu de raigaños y el descubrimientu de fórmules concretes pa elles. Conócense fórmules de polinomios d'hasta cuartu grau dende'l sieglu XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolò Fontana Tartaglia). Pero, les fórmules pa polinomios de quintu grau fueron irresolubles pa los investigadores mientres enforma tiempu. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que nun puede haber fórmules xenerales pa los polinomios de quintu grau o mayores (ver el teorema d'Abel-Ruffini). Esta resultancia marcó l'empiezu de la teoría de Galois que s'ocupa del estudiu detalláu de les rellaciones esistentes ente los raigaños de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage foi diseñada pa crear automáticamente tables de valores de funciones logarítmiques y diferenciales, evaluando aproximamientos polinómiques en munchos puntos, usando'l métodu de les diferencies de Newton.

Proposiciones sobre factores

Sábese que la función g(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n

na cual n ye un númberu enteru positivu denominar polinomiu o función racional entera de x; n ye'l grau del polinomiu; los coeficientes a₀, a_n,..., a_n son nesti casu númberos reales o complexos, la variable independiente x puede tomar tanto valores reales o complexos. El valor de la variable x pal cual la función ye igual 0, llámase raigañu del polinomiu.^[4]

Teorema de Bezout

El restu de la división de g(x) ente x-a ye igual a g(a)

Corolariu Si g(a)=0,

entós a ye un raigañu del polinomiu.

Exemplu: sía g(x) = x⁴ -5x³ + 5x²-1; como g(1) = 0 , 1 ye un raigañu de g.

Teorema fundamental de la álxebra

Toa función racional entera g(x) tien siquier un raigañu real o complexa

Teorema de los factores lliniales

Tou polinomiu de grau n, g(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n, puede espresase como'l productu de n factores lliniales x-r_i y pol coeficiente a₀ pa i=1,2,...,n.^[5]

Ver tamién

Referencies

↑ (CNTRL), etimoloxía.
↑ «Etymology of "polynomial"» Compact Oxford English Dictionary
↑ Nun hai raigañu d'un monomiu. Caso contrariu señalen autor y obra.
↑ Dalgunos llamen al raigañu, cero del polinomiu.
↑ N. Piskunov: Cálculu diferencial ya integral tomu I, Editoial Mir, Moscú (1983)

Enllaces esternos

Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Polinomiu.
Polinomios, en refugues.cnice.mec.es
Calculadora polinómica. Archiváu 2017-08-15 en Wayback Machine

[1] (CNTRL), etimoloxía.

[2] «Etymology of "polynomial"» Compact Oxford English Dictionary

[3] Nun hai raigañu d'un monomiu. Caso contrariu señalen autor y obra.

[4] Dalgunos llamen al raigañu, cero del polinomiu.

[5] N. Piskunov: Cálculu diferencial ya integral tomu I, Editoial Mir, Moscú (1983)

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