Representación de grupu

Nel estudiu de los grupos n'álxebra, una representación de grupu ye una "descripción" d'un grupu como grupu concretu de tresformamientos (o grupu de automorfismos) d'un ciertu oxetu matemáticu. Más formalmente, la "descripción" significa qu'hai un homomorfismo del grupu a un ciertu grupu de automorfismos. Una representación fiel ye una na cual esti homomorfismo ye inyectivo.

Primeros exemplos

Dacuando utilízase realización pa esta noción, acutando'l términu representación pa lo qué más embaxo se llamará representaciones lliniales. La teoría de la representación estremar en subteorías dependiendo de la clase de grupu que ye representáu. Les divisiones más importantes son:

Grupos finitos: les representaciones de grupu son una ferramienta bien importante nel estudiu de grupos finitos. Tamién apaecen en ciertes aplicaciones de la teoría de grupos finitos cristalografía y en xeometría. El casu especial onde la representación ye sobre un cuerpu de carauterística p y p estrema l'orde del grupu, llamada teoría de la representación modular, tien propiedaes bien diverses (vease embaxo).

Grupos topolóxicos compautos o llocalmente compactos: munchos de los resultaos de la teoría de representación de grupos finitos son probaos faciendo un permediu sobre'l grupu. Estes pruebes pueden tresportase a los grupos infinitos si'l permediu ye substituido por una integral, lo que solamente funciona si podemos definir una noción aceptable d'integral. Esto puédese faer pa los grupos llocalmente compautos, usando la midida de Haar. La teoría que resulta ye una parte central del analís harmónicu. La dualidá de Pontryagin describe la teoría pa los grupos conmutativos, como tresformamientu de Fourier xeneralizada.

Grupos de Lie: Munchos grupos de Lie importantes son compactos, asina que los resultaos de la teoría compacta de representación aplicar a ellos. Otres téuniques específiques de los grupos de Lie utilícense tamién. La mayoría de los grupos importantes na física y la química son grupos de Lie, y la teoría de representación ye crucial pal usu de la teoría de grupos nesos campos. Vea Representaciones de grupos de Lie o d'álxebres de Lie.

Grupos topolóxicos non compactos: La clase de grupos non compactos ye demasiáu amplia pa construyir cualquier teoría xeneral de representación, pero estudiáronse casos especiales específicos, dacuando usando téuniques ad hoc. Los grupos de Lie semisimples tien una teoría fonda, basada nel casu compactu. Los grupos de Lie solubles nun pueden ser clasificaos de la mesma manera. La teoría xeneral pa los grupos de Lie ocupar de los productos semidirectos de los dos tipos, per mediu de los resultaos xenerales llamaos teoría de Mackey, que ye una xeneralización de los métodos de clasificación de Wigner.

Dientro d'una clase dada de teoría de representación, los resultaos estrémense dependiendo de la clase de grupu de automorfismos que se busque. Un posible 'blancu' pal homomorfismo de la definición son los grupos de permutaciones. Pero los 'blancos' más importantes son grupos de matrices sobre dalgunos cuerpos, o, más xeneralmente, grupos de transformación lliniales inversibles d'un espaciu vectorial.

El casu más importante ye'l cuerpu de los Númberos complexos (esto ye, les representaciones son homomorfismos a un grupu de matrices complexes o de tresformamientos lliniales inversibles d'un espaciu vectorial complexu). Si l'espaciu vectorial ye finito dimensional, entós les representaciones son tamién finito dimensionales. (les representaciones infinitu dimensionales son tamién posibles; l'espaciu vectorial puede entós ser un espaciu de Hilbert infinitu dimensional, por casu.)

Los otros casos importantes son el cuerpu de los númberos reales, los cuerpos finitos, y los cuerpos de los númberos p-ádicos. Les representaciones nel casu finito del cuerpu llámense modulares. Equí la carauterística del cuerpu ye absolutamente significativa; munchos teoremas dependen de que l'orde del grupu nun estreme la carauterística del cuerpu.

Representación conjuntista / representación por permutaciones

Un conxuntu X dizse que soporta una representación conjuntista o representación por permutación d'un grupu G si hai una función, ρ de G a X^X, el conxuntu de les funciones de X a X tales que pa g₁, g₂ en G, y x en X

\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]]

.

Esta condición y los axomes pa un grupu impliquen que ρ(g) ye una biyección (permutación) pa tou g en G. Asina podemos equivalentemente definir una representación de permutación como un homomorfismo de grupos de G al grupu simétricu S_X de X.

Ver aición de grupu.

Una representación llinial ye un casu especial d'una representación conjuntista con estructura adicional.

Representación llinial

En álxebra astracta, una representación d'un grupu finito G ye un homomorfismo de grupos de G nel grupu xeneral llinial GL(n, C) de les matrices complexes invertibles n-por-n. L'estudiu de tales representaciones llámase teoría de representación.

La teoría de representación ye importante porque dexa l'amenorgamientu de dellos problemes de la teoría de grupos a la álxebra llinial, que tien una teoría perbién entendida. Hai un análogu d'esta teoría pa munches clases importantes de grupos infinitos; vea representaciones de los grupos y de les álxebres de Lie y teorema de Peter-Weyl pa los grupos topolóxicos compactos. Una representación por tresformamientos proyectivas (vease representación proyectiva) puede describise como representación llinial salvu matrices esguilares. Estes representaciones asoceden naturalmente, tamién.

Podríamos tamién tener representaciones allegaes. Por casu, el grupu euclidianu actúa de forma allegada sobre'l espaciu euclidianu.

Exemplu

Considere'l númberu complexu o = exp(2πi/3) que tien la propiedá o³ = 1. El grupu cíclicu C₃ = { 1, o, o² } tien una representación dada por:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&o\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&o^{2}\\\end{bmatrix}}

(los trés matrices son ρ(1), ρ(o) y ρ(o²) respeutivamente).

Esta representación dizse fiel, porque ρ ye inyectiva.

Equivalencia de les representaciones

Dos representaciones ρ₁ y ρ₂ dícense equivalentes si les matrices estrémense solamente por un cambéu de base, ye dicir si esiste A en GL(n, C) tal que pa tol x en G: ρ₁(x) = Aρ₂(x)A^-1. Por casu, la representación de C₃ dau poles matrices:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}o&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}o^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

ye una representación equivalente a l'amosada enriba.

Aiciones de grupu

Cada matriz cuadrada n-por-n describe una función llinial dende un espaciu vectorial n-dimensional V a sigo mesmu (una vegada que s'escoyó una base pa V). Poro, cada representación ρ: G -> GL_n define una aición de grupu en V dada por g.v = (ρ(g))(v) (pa g en G, v en V). Puédese de fechu definir una representación d'un grupu como aición d'esi grupu nun ciertu espaciu vectorial, evitando de tal manera la necesidá d'escoyer una base y la restricción a los espacios vectoriales finito-dimensionales.

Reducibilidad

Si V tien un subespacio propiu non trivial W tal que W ye estable pola representación ρ, entós la representación dizse reducible. Una representación reducible puede espresase como una suma direuta de subrepresentaciones (Teorema de Maschke) (solamente pa los grupos finitos, les representaciones reducibles son necesariamente descomponibles!). Si V nun tien nengún tal subespacio; dizse que ρ ye una representación irreducible.

Para grupos de Lie compautos tiense'l siguiente teorema:

Sía $\scriptstyle K$ un grupu de Lie compactu:

(a) Cualquier representación irreducible de $\scriptstyle K$ ye de dimensión finita y ye equivalente a una representación unitaria.

(b) Toa representación de $\scriptstyle K$ puede descomponese como suma direuta (posiblemente infinita) de sub-representaciones irreducibles (de espacioss vectoriales topolóxiques).

Teoría de calteres

El calter d'una representación $\rho :{\mathcal {G}}\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ye la función $\chi :{\mathcal {G}}\to \mathbb {C}$ qu'asigna a cada $g\in {\mathcal {G}}$ a la traza (suma de los elementos diagonales) de la matriz ρ(g). Por casu, el calter de la representación dada enriba dase cerca: χ(1) = 2, χ(o) = 1 + o, χ(o²) = 1 + o². Si g y h son miembros de G n'igual clase de conxugación, entós χ(g) = χ(h) pa cualquier calter; los valores d'un calter polo tanto tienen que ser especificaos solamente pa les diverses clases de conxugación de G. Entá más, les representaciones equivalentes tienen los mesmos calteres. Si una representación ye la suma direuta de subrepresentaciones, entós el calter correspondiente ye la suma de los calteres de les subrepresentaciones. Los calteres de toles representaciones irreducibles d'un grupu finito formen una tabla de calteres, coles clases de conxugación d'elementos como les columnes, y calteres como les files. Equí ta la tabla de calteres de C₃:

${\begin{matrix}&(1)&(o)&(o^{2})\\1&1&1&1\\x_{1}&1&o&o^{2}\\x_{2}&1&o^{2}&o\end{matrix}}$

La tabla de calteres ye siempres cuadrada, y les files y les columnes son ortogonales con respectu al productu interior en C^m (vease rellación de ortogonalidad), que dexa que se compute les tables de calteres más fácilmente. La primer fila de la tabla de calteres siempres consiste nunos, y correspuende a la representación trivial (la representación de 1 dimensión que consiste nes matrices 1×1 que contienen la entrada 1). Ciertes propiedaes del grupu G pueden deducise de la so tabla de calteres:

L'orde de G vien dau pola suma de (χ(1))² sobre los calteres na tabla.

G ye abeliano si y solamente si χ(1) = 1 pa tolos calteres na tabla.

G tien un subgrupu normal non trivial (ye dicir G nun ye un grupu simple) si y solamente si χ(1) = χ(g) pa dalgún calter χ non trivial na tabla y un ciertu elementu non-identidá g en G.

La tabla de calteres polo xeneral nun determina un grupu salvu isomorfismu: por casu, el grupu cuaterniónico Q y el grupu dihedral de 8 elementos (D₈) tienen la mesma tabla de calteres.

Representación categórica

Xeneralmente, una representación d'un grupu G nuna categoría C ye un funtor de G (como categoría d'un oxetu) en C.

una representación conjuntista ye una representación na categoría de conxuntos, ye dicir una representación de permutación.

una representación k-llinial (pa dalgún cuerpu k) ye una representación na categoría de los espacios vectoriales sobre k.

Referencies

Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, Plantía:MathSciNet, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.