Singularidá gravitacional

Plantía:Cosmoloxía Una singularidá gravitacional o espaciotemporal, de manera informal y dende un puntu de vista físicu, puede definise como una zona del espaciu-tiempu onde nun se puede definir dalguna magnitú física rellacionada colos campos gravitatorios, tales como la combadura, o otres. Numberosos exemplos de singularidaes apaecen en situaciones realistes nel marcu de la relatividá xeneral en soluciones de les ecuaciones d'Einstein,^[1] ente los que cabo citar la descripción de furacos negros (como pue ser la métrica de Schwarzschild) o a la descripción del orixe del universu (métrica de Robertson-Walker).

Dende'l puntu de vista matemáticu, adoptar una definición de singularidá puede ser complicáu,^[2]pos si pensamos en puntos en que'l tensor métricu nun ta definíu o nun ye diferenciable, vamos tar falando de puntos que automáticamente nun pertenecen al espaciu-tiempu. Pa definir una singularidá tendremos de buscar les buelgues qu'estos puntos escluyíos dexen nel texíu del espaciotiempo. Podemos pensar en dellos tipos de comportamientos estraños:^[3]

Xeodésiques temporales (o nules) que tres un tiempu propiu (o parámetru allegáu) nun pueden enllargase (lo que se llama incompletitud de xeodésiques causales).
Valores de combadura que se faen arbitrariamente grandes cerca del puntu escluyíu (lo que se denomina singularidá de combadura).

Tipos de singularidaes

Les singularidaes pueden ser, nos sos aspeutos más xenerales;

De coordenaes. Son la resultancia d'escoyer un mal sistema de coordenaes. Dalgunes d'estes singularidaes de coordenaes indiquen llugares físicos que son especiales, por casu, na métrica de Schwarzschild la singularidá de coordenaes en $r=2GM/c^{2}\,\!$ representa'l horizonte de sucesos.
Físiques. Son singularidaes espaciotemporales de plenu derechu. Estremar de les de coordenaes porque en delles de les contraiciones del tensor de combadura, ésti diverxe ( $R_{\mu \nu \rho \lambda }R^{\mu \nu \rho \lambda }\,\!$ , $R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\,\!$ , etc.)

Geométricamente les singularidaes físiques pueden ser:

Hipersuperficies abiertes: Esti tipu de singularidá podemos atopales en furacos negros que nun caltuvieron el momentu angular como ye'l casu d'un furacu negru de Schwarzschild o un furacu negru de Reissner-Nordstrøm.
Hipersuperficies zarraes: Como la singularidá toroidal o en forma d'aníu, que de normal fai la so apaición en furacos negros que caltuvieron el so momentu angular, como pue ser el casu d'un furacu negru de Kerr o un furacu negru de Kerr-Newman, equí la materia, debíu al xiru, dexa un espaciu al mediu formando una estructura asemeyada a la d'una rosquía.

Según el so calter les singularidaes físiques pueden ser:

Singularidaes temporales, como la que s'atopa nun furacu de Schwarzschild na qu'una partícula dexa d'esistir por cierto intre de tiempu; dependiendo de la so velocidá, les partícules rápides tarden más n'algamar la singularidá ente que les más lentes sumen antes. Esti tipu de singularidá ye inevitable, yá que tarde o aína toles partícules tienen de travesar la hipersuperficie temporal singular.
Singularidaes espaciales, como la que s'atopa en furacos de Reissner-Nordstrom, Kerr y Kerr-Newman. Al ser hipersuperficies espaciales una partícula puede escapar d'elles y por tanto tratar de singularidaes evitables.

Según la visibilidá pa observadores asintóticamente inerciales alloñaos de la rexón de furacu negru (espaciu-tiempu de Minkowski) éstes pueden ser:

Singularidaes desnudes: esisten casos nos furacos negros onde por cuenta d'altes cargues o a velocidaes de xiru, la zona qu'arrodia a la singularidá sume (n'otres pallabres el horizonte de sucesos) dexando a ésta visible nel universu que conocemos. Supónse qu'esti casu ta prohibíu pola hipótesis de censura cósmica, qu'establez que toa singularidá tien de tar dixebrada del espaciu.
Singularidaes dientro de furacos negros. Dichu otra manera, la materia estruyir hasta ocupar una rexón inimaginablemente pequeña o singular, que la so densidá nel so interior resulta infinita. Ye dicir que tou aquello que cai dientro del horizonte de sucesos ye tragáu, taramiáu por un puntu que podríamos denominar "ensin torna", y esto ye tan asina que nin la lluz puede escapar a esti fenómenu celeste, entá viaxando a 300.000 km/s. Y según la teoría de la Relatividá d'Einstein, como nada puede viaxar a una velocidá mayor que la de la lluz, nada puede escapar.

Teoremas de singularidaes

Los teoremas sobre singularidaes, debíos a Stephen Hawking y Roger Penrose, predicen l'escurrimientu de singularidaes so condiciones bien xenerales sobre la forma y carauterístiques del espaciu-tiempu.^[4]

Espansión del universu y Big Bang

El primeru de los teoremas, que s'enuncia de siguío, paez aplicable al nuesu universu; informalmente afirma que si tenemos un espaciu-tiempu globalmente hiperbólicu n'espansión, entós l'universu empezó a esistir a partir d'una singularidá (Big Bang) va un tiempu finito:

Teorema 1. Sía (M,g) un espaciu tiempu globalmente hiperbólicu que cumple $\scriptstyle R_{ab}\xi ^{a}\xi ^{b}\geq 0$ pa tolos vectores temporales $\scriptstyle \xi ^{a}$ (tal como asocedería si les ecuaciones de campu d'Einstein satisfáense, cumpliéndose la condición fuerte de la enerxía pa la materia). Supongamos qu'esiste una hipersuperficie de Cauchy espacial Σ (y de clase siquier C²) pa la cual trazar de la combadura intrínseca satisfai K < C < 0, onde C ye una cierta constante. Entós nenguna curva temporal partiendo de Σ y empobinada escontra'l pasáu puede tener un llargor mayor que $\scriptstyle 3/|C|$ . En particular, toles xeodésiques temporales escontra'l pasáu son incompletes.

El teorema anterior por tanto ye l'enunciáu matemáticu que so les condiciones reparaes nel nuesu universu, nel que ye válida la llei de Hubble, y almitiendo la validez de la teoría de la Relatividá xeneral l'universu tuvo d'empezar en dalgún momentu.

Furacos negros y singularidaes

El siguiente teorema rellaciona l'escurrimientu de "superficies atrapaes" cola presencia de singularidaes. Yá que nun furacu negru de Schwarzschild, y presumible furacos con xeometríes similares, asoceden superficies atrapaes, el siguiente teorema prediz l'escurrimientu de singularidaes nel interior d'una clase bien amplia de furacos negros. Una superficie atrapada una variedá riemanniana de dos dimensiones compacta que tien la propiedá de que tanto la so futuru causal como'l so pasáu causal tien en tou puntu una espansión negativa. Nun ye complicáu probar que cualquier esfera, de fechu cualesquier superficie zarrada contenida nuna esfera, dientro de la rexón de furacu negru d'un espaciu-tiempu de Schwarzschild ye una superficie atrapada, y por tanto en dicha rexón tien d'apaecer una singularidá. L'enunciáu d'esti teorema, por cuenta de Roger Penrose (1965), ye'l siguiente:

Teorema 2. Sía (M,g) un espaciu-tiempu globalmente hiperbólicu nel que $\scriptstyle R_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0$ pa tolos vectores de tipu lluz $\scriptstyle k^{a}$ (tal como asocedería si les ecuaciones de campu d'Einstein satisfáense cumpliéndose la condición fuerte o la condición débil de la enerxía, pa la materia de dichu espaciu-tiempu). Supongamos qu'esiste una hipersuperficie de Cauchy espacial Σ (y de clase siquier C²) y una superficie atrapada y sía θ₀ el valor máximu de la espansión sobre ella, si θ₀ < 0; entós esiste siquier una xeodésica de tipu lluz, inextendible escontra'l futuru, qu'amás va ser ortogonal a la superficie atrapada. Amás el valor de parámetru allegáu hasta'l puntu a partir del cual nun ye estensible ye inferior a $\scriptstyle 2/|\theta _{0}|$ .

La esistencia d'una xeodésica de tipu lluz inextensible, implica que va esistir un fotón que saliendo de dicha superficie tres un tiempu de viaxe proporcional a 2/c|θ₀| va atopar con una singularidá temporal futura. Anque desconocemos la naturaleza física real de les singularidaes por escarecer d'una teoría cuántica de la gravedá el fotón o bien "va sumir" o bien va esperimentar dalgún fenómenu acomuñáu a dicha teoría de la gravedá cuántica que la so naturaleza desconocemos.

Pa la cual, trazar de la combadura intrínseca satisfai K < C < 0, onde C ye una cierta constante. Entós nenguna curva temporal partiendo de Σ y empobinada escontra'l pasáu puede tener un llargor mayor que 3/|C|. En particular, toles xeodésiques temporales escontra'l pasáu son incompletes.

Caltenimientu del área de furacu negru

Anque ensin ser puramente teoremas de singularidaes esisten una coleición de resultancies probaes por Hawking (1971) qu'establecen que, nel marcu de la teoría xeneral de la relatividá:

Un furacu negru conexu nun puede sumir o estremase en dos. Por tanto si dos furacos negros topetaren, tres la so interacción necesariamente quedaríen fundíos.
L'área total de furacos negros del universu ye una función monótona creciente, más concretamente l'área del horizonte de sucesos de dos furacos en choque ye mayor o igual que la suma d'árees orixinales.
La evolución temporal d'una superficie atrapada nuna rexón de furacu negru, quedará por siempres contenida en dichu furacu negru.

Los teoremas anteriores son importantes porque garanticen, qu'entá en situaciones reales onde los cálculos exactos resulten complicaos o imposibles, les propiedaes topolóxiques d'un espaciu-tiempu que contién furacos negros garanticen ciertos fechos, por complicada que sía la xeometría. Naturalmente sabemos que nuna teoría cuántica de la gravedá los dos primeros resultancies, probablemente nun se caltienen. El mesmu Hawking suxirió que la emisión de radiación Hawking ye un procesu mecanu-cuánticu al traviés del cual un furacu negru podría perder área o evaporarse; polo que, los resultaos anteriores son namái les predicciones de la teoría xeneral de la relatividá.

Escurrimientu de singularidaes

La descripción del espaciu-tiempu y de la materia que fai la teoría de la relatividá xeneral d'Einstein nun puede describir afechiscamente les singularidaes. Ello ye que la teoría xeneral de la relatividá namái da una descripción fayadiza de la gravitación y espaciu-tiempu a escales mayores que la llargor de Planck l_P:

l_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\approx 10^{-33}{\mbox{cm}}

Onde: $\hbar$ ye la constante de Planck amenorgada, $G\,$ constante de gravitación universal, $c\,$ ye la velocidá de la lluz.

D'esa llende cuánticu tien d'esperase qu'igualmente la teoría de la relatividá dexe de ser afecha cuando prediz una combadura espacial del orde de l_P^-2 cosa qu'asocede mui cerca de les singularidaes de combadura como les esistentes dientro de los diversos tipos de furacos negros.

Ver tamién

Referencies

↑ «Artículu spacetime singularities en Einstein online». Archiváu dende l'orixinal, el 2010-03-02.
↑ Geroch, R. What is a singulariry in General relativity? Annals of Physics 48, 526-40, 1968.
↑ Wald. R.M. Xeneral Relativity. the University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2. (cap. 9)
↑ Senovilla,J.M. Singularity Theorems and their consecuences. Xeneral Relativity and Gravitation, Vol. 29, Non. 5, 1997. (Ampliu review)

[1] «Artículu spacetime singularities en Einstein online». Archiváu dende l'orixinal, el 2010-03-02.

[2] Geroch, R. What is a singulariry in General relativity? Annals of Physics 48, 526-40, 1968.

[3] Wald. R.M. Xeneral Relativity. the University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2. (cap. 9)

[4] Senovilla,J.M. Singularity Theorems and their consecuences. Xeneral Relativity and Gravitation, Vol. 29, Non. 5, 1997. (Ampliu review)

[1]

[2]

[3]

[4]