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En teoría de númberos, el últimu teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, ye unu de los teoremas más famosos na hestoria de la matemática. Utilizando la notación moderna, puede enunciase de la siguiente manera:

Si n ye un númberu enteru mayor que 2, entós nun esisten númberos enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdá:


El teorema foi conxeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero nun foi demostráu hasta 1995 por Andrew Wiles ayudáu pol matemáticu Richard Taylor. La busca d'una demostración aguiyó'l desenvolvimientu de la teoría alxebraica de númberos nel sieglu XIX y la demostración del teorema de la modularidad nel sieglu XX.

Introducción históricaEditar

 
Arithmetica de Diofanto. La edición de 1670 inclúi los comentarios de Fermat; el que se topa sol problema VIII ye conocíu como'l so "Últimu teorema".

Pierre de Fermat tenía una edición billingüe (griegu y llatín) de la Arithmetica de Diofanto, traducida por Claude Gaspar Bachet. Fermat escribió un comentariu, ello ye que un acertijo, nel marxe de cada problema, y ún por ún fueron resueltos por personalidaes como Leibniz, Newton, etc. Namái quedó ensin resolver el acertijo que propunxo debaxo del problema VIII, que trata sobre escribir un númberu cuadráu como suma de dos cuadraos (esto ye, atopar ternes pitagóriques). Ende, Fermat escribió:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

Ye imposible descomponer un cubu en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y polo xeneral, una potencia cualesquier, aparte del cuadráu, en dos potencies del mesmu esponente. Atopé una demostración realmente almirable, pero'l marxe del llibru ye bien pequeñu pa ponela.

Pierre de Fermat[1]

[2]

Hestoria de la demostración del teoremaEditar

Pierre de FermatEditar

El primer matemáticu que consiguió avanzar sobre esti teorema foi'l mesmu Fermat, que demostró'l casu n=4 usando la técnica del descensu infinitu, una variante del principiu d'inducción.

Leonhard EulerEditar

Leonhard Euler demostró'l casu n = 3. El 4 d'agostu de 1735 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración pal casu n = 3. N'Álxebra (1770) atopóse una falacia na demostración de Euler. Correxila direutamente yera demasiáu difícil, pero otros apurras anteriores de Euler dexaben atopar una solución correcta per medios más simples. Por esto consideróse que Euler demostrara esi casu. Del analís de la demostración fallida de Euler surdió la evidencia de que ciertos conxuntos de númberos complexos nun se portaben d'igual manera que los enteros.

Sophie GermainEditar

El siguiente mayor pasu foi fechu pola matemática Sophie Germain. Un casu especial diz que si p y 2p + 1 son dambos primos, entós la espresión de la conxetura de Fermat pa la potencia p implica qu'unu de los x, y o z ye divisible por p. En consecuencia la conxetura estremar en dos casos:

  • Caso 1: nengún de los x, y, z ye divisible por p;
  • Caso 2: unu y namái unu de x, y, z ye divisible por p.

Sophie Germain probó'l casu 1 pa tou p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre estendió los sos métodos a tolos númberos menores que 197. Equí atopóse que'l casu 2 nun taba demostráu nin siquier pa p = 5, polo que rescampló que yera nel casu 2 nel qu'había que concentrase. Esti casu tamién s'estremaba ente dellos casos posibles.

Ernst Kummer y otrosEditar

Cronoloxía[3]
Añu -----

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1665 Muerre Fermat ensin dexar constancia de la so demostración.
1753 Leonhard Euler demostró'l casu  .
1825 Adrien-Marie Legendre demostró'l casu pa  .
1839 Lamé demostró'l casu n=7.
1843 Ernst Kummer afirma demostrar el teorema pero
Dirichlet atopa un error.
1995 Andrew Wiles publica la demostración del teorema.

Nun foi hasta 1825 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre xeneralizaron pa n=5 la demostración de Euler. Lamé demostró'l casu n=7 en 1839.

Ente 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización non única podía ser salvada por aciu la introducción de númberos complexos ideales. Un añu dempués Kummer afirma que'l númberu 37 nun ye un primu regular (Ver: Númberos de Bernoulli). Depués atópase que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros estienden la investigación a númberos más grandes. En 1915 Jensen demuestra qu'esisten infinitos primos irregulares. La investigación enllancar por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se llogren comprobaciones pa n menor o igual a 4 000 000.

Andrew WilesEditar

Nel añu 1995 el matemáticu Andrew Wiles, nun artículu de 98 páxines publicáu en Annals of mathematics, demostró'l casu semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, enantes una conxetura, que engarza les formes modulares y les curves elíptiques. D'esti trabayu, combináu con idees de Frey y col Teorema de Ribet, esprender la demostración del Postreru Teorema de Fermat.[4] Anque una versión anterior (non publicar) del trabayu de Wiles contenía un error, este pudo ser correxíu na versión publicada, que consta de dos artículos, el segundu en collaboración col matemáticu Richard Taylor. Nestos trabayos per primer vegada establécense resultancies de modularidad a partir de modularidad residual, polo cual les resultancies del tipu de los probaos por Wiles y Taylor son denominaos "Teoremas de Llevantamientu Modular". Na actualidá resultaos d'esti tipu, muncho más xenerales y poderosos, fueron probaos por dellos matemáticos: amás de xeneralizaciones probaes por Wiles en collaboración con C. Skinner y de Taylor en collaboración con M. Harris, los más xenerales na actualidá deber a Mark Kisin. Nel trabayu de 1995 de Wiles abrióse una nueva vía, práuticamente una nueva área: la de la modularidad. Con estes técniques, de les qu'esti trabayu foi pioneru, resolviéronse más apocayá otres importantes conxetures, como la Conxetura de Serre y la de Sato-Tate. Curiosamente, el resolución de los primeros casos de la Conxetura de Serre (trabayos de Khare, Wintenberger y Dieulefait), como reparara'l mesmu Serre al formular la conxetura, dexa una nueva demostración del Postreru Teorema de Fermat.[5]

Los trabayos de Wiles polo tanto tienen una importancia que tesciende llargamente la so aplicación al Postreru Teorema de Fermat: considérense centrales na Xeometría Aritmética moderna y espérase que sigan xugando un rol vital na demostración de resultancies de modularidad que s'enmarquen nel Programa de Langlands.

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. (2000) «I. Matemátiques y matemáticos nel mundu griegu», El legáu de les matemátiques. De Euclides a Newton: los xenios al traviés de los sos llibros, 65-67. ISBN 9788492381821.
  2. "Fermat. El teorema de Fermat. El problema más difícil del mundu". ISBN 978-84-473-7632-2
  3. Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
  4. Wiles, Andrew; Taylor, Richard. «Modular elliptic curves and Fermat last theorem.». Annals of Mathematics 3 (141). p. 443-551. http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf. 
  5. «Nueva demostración del postreru teorema de Fermat.» Revista Matematicalia [1]

BibliografíaEditar

Enllaces esternosEditar