Asociatividá

La asociatividá (o propiedá asociativa)^[1] ye una propiedá na álxebra que significa que reorganizar los parentesís nuna operación binaria nun va camudar la resultancia. Na lóxica proposicional ye una regla de reemplazu válida n'espresiones lóxiques usaes en pruebes lóxiques.

Esto ye, nuna espresión asociativa con dos o más escurrimientos siguíos d'un mesmu operador asociativu, l'orde en que s'executen les operaciones nun alteria la resultancia, siempres y cuando se caltenga intacta la secuencia de los operandos.

Nun se debe confundir la asociatividá cola conmutatividá, que establez que sí se puede camudar l'orde de los operandos ensin afectar la resultancia final.

Les operaciones asociatives son abondosa en matemátiques; ello ye que en munches estructures alxebráiques explicitamente ríquese que les operciones binaries sían asociatives.

Sicasí, munches operaciones importantes son non-asociatives; por exemplu restar, la potenciación o'l productu vectorial.

Un exemplu d'operación asociativa ye la suma o la multiplicación en númberos reales. Considerése les siguientes ecuaciones onde a pesar d'alteriase la disposición de los paréntesis, la resultancia nun se ve alteriáu.

$(2+3)+4=2+(3+4)=9\,$

$2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24.$

Definición formal

Una operación ∗ en un conxuntu S ye asociativa cuando esti diagrama conmuta. Esto ye, cuando los dos caminos de S×S×S a S se componen a la mesma funcción de S×S×S a S.

Sía A un conxuntu nel cual definióse una operación binaria interna $\circledcirc$ tal que:

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Dizse que la operación $\circledcirc$ ye asociativa si:

\forall a,b,c\in A\;:\quad a\circledcirc (b\circledcirc c)=(a\circledcirc b)\circledcirc c

Llei asociativa xeneralizada

N'ausencia de la propiedá asociativa, cinco factores a, b, c, d, y dan como resultáu una rede de Tamari d'orde cuatro, posiblemente productos distintos.

Si una operación binaria ye asociativa, la aplcación repitida de la operación produz el mesmu resultáu ensin importar de cuaántas pareyes de paréntesis válides hai inxertaes na espresión. Esto conozse cómo llei asociativa xeneralizada.^[2] Por exemplu, el productu de cuatro elementos puede escribise, ensin camudar l'orde de los factores, en cinco posibles opciones:

((ab)c)d

(ab)(cd)

(a(bc))d

a((bc)d)

a(b(cd))

Si la operación del productu ye asociativa, la llei asociativa xeneralizada diz que toes estes fórmules van dar el mesmu resultáu. Poro, nun siendo que la fórmula con paréntesis omitíos yá tenga un significáu distintu (ver más embaxo), los paréntesis pueden considerase innecesarios y "el productu puede escribise ensin ambigüedaes como

abcd.

A medida que aumenta el número de elementos, el número de formas posibles de insertar paréntesis crece rápidamente, pero siguen siendo innecesarias para la desambiguación.

Un exemplu onde esto nun funciona ye'l bicondicional lóxicu ↔. Ye asociativu, por tanto A ↔ (B ↔C) ye equivalente a (A ↔ B) ↔ C, pero A ↔ B ↔ C más comúnmente significa (A ↔B y B ↔ C), que nun ye equivalente.

En lóxica proposicional

Regla de reemplazu

Na lóxica proposicional estándar, l'asociación, o asociatividá^[3]^[4]^[5] son dos regles de reemplazu válides. Estes riegles dexen mover los paréntesis n'espresiones lóxiques usaes en pruebes lóxiques. Les riegles son:

$(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)$

$(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),$

onde "⇔" ye un símbolu metalógico que representa "pue ser reemplazáu nuna prueba por."

Conectivas de funciones de verdá

Asociatividá ye una propiedá de delles conectivas lóxiques nes funciones de verdá de la lóxica proposicional. Les siguientes equivalencies lóxiques demuestren que la asociatividá ye una propiedá de conectivas lóxiques particulares. Son coles mesmes tautoloxíes de funciones de verdá.^[6]

Asociatividá de la dixunción:

((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))

(P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

Asociatividá de la conxunción:

((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))

(P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)

Asociatividá de la equivalencia:

((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))

(P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)

Operación non asociativa

Una operación binaria ∗ nun conxuntu S que nun satisfai'l la llei asociativa denótase non asociativa. Simbólicamente,

(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{para dalgun }}x,y,z\in S.

Para tal una operación l'orde d'evaluación sí importa.

Non asociatividá del cálculu de coma flotante

En matemátiques, la suma y multiplicación de númberos reales ye asociativa. Otra manera, na informática, la adición y multiplicación de númberos de coma flotante nun ye asociativa, yá que s'introducen errores d'arredondiadura cuando los valores de distintu tamañu xunense ente sí.^[7]

Esi ye'l casu de esti exemplu con una mantisa de 4 bits.

(1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁰) + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2¹ + 1.000₂×2⁴ = 1.001₂×2⁴

1.000₂×2⁰ + (1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴) = 1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2⁴

Sin embargu, la mayoría d'ordenadores computen ente 24 y 53 bits de mantisa^[8], esto puede siguir siendo un orixe importante d'errores de arrendodio.

Ver tamién

Referencies

↑ Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (1st ed.). Springer. p. 24. ISBN 978-0387905181. "Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G."
↑ Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. p. 321. ISBN 9781259690877.
↑ Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. p. 321. ISBN 9781259690877.
↑ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th edition). Essex: Pearson Education. p. 387. ISBN 9781292024820.
↑ Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (13th edition). Boston: Cengage Learning. p. 427. ISBN 9781305958098.
↑ "Symbolic Logic Proof of Associativity". Math.stackexchange.com. 22 March 2017.
↑ Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2
↑ IEEE Computer Society (29 August 2008). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.

[1] Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (1st ed.). Springer. p. 24. ISBN 978-0387905181. "Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G."

[2] Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. p. 321. ISBN 9781259690877.

[3] Moore, Brooke Noel; Parker, Richard (2017). Critical Thinking (12th edition). New York: McGraw-Hill Education. p. 321. ISBN 9781259690877.

[4] Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th edition). Essex: Pearson Education. p. 387. ISBN 9781292024820.

[5] Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (13th edition). Boston: Cengage Learning. p. 427. ISBN 9781305958098.

[6] "Symbolic Logic Proof of Associativity". Math.stackexchange.com. 22 March 2017.

[7] Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2

[8] IEEE Computer Society (29 August 2008). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.

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