Productu vectorial

En matemátiques, el productu vectorial de Gibbs o producto cruz ye una operación binaria ente dos vectores nun espaciu tridimensional. La resultancia ye un vector perpendicular a los vectores que se multipliquen, y polo tanto normal al planu que los contién. Por cuenta de la so capacidá de llograr un vector perpendicular a otros dos vectores, que'l so sentíu varia d'alcuerdu al ángulu formáu ente estos dos vectores, esta operación ye aplicada con frecuencia pa resolver problemes matemáticos, físicos o d'inxeniería.

Productu vectorial
operación binaria y vector multiplication (en)

Esquema

Definición

Rellaciones ente los vectores.

Sían dos vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ nel espaciu vectorial $\mathbb {R} ^{3}$. El productu vectorial ente $\mathbf {a} \,$ y $\mathbf {b} \,$ da como resultáu un nuevu vector, $\mathbf {c} \,$. El productu vectorial $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ se denota por aciu $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$, por ello llamar tamién producto cruz. Nos testos manuscritos, pa evitar tracamundios cola lletra x (xe), ye frecuente denotar el productu vectorial por aciu:

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ,\qquad \mathbf {a} \times \mathbf {b}$

El productu vectorial puede definise d'una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin {\theta })\ {\hat {\mathbf {n} }}}$

Productu Vectorial según l'ángulu ente vectores

onde ${\hat {\mathbf {n} }}$ ye'l vector unitariu y ortogonal a los vectores a y b y la so direición ta dada pola regla de la mano derecha y θ ye, como antes, l'ángulu ente a y b. A la regla de la mano derecha se la llapada de cutiu tamién regla del sacacorchos.

===Precisiones denominar productu vectorial del vector a pol vector b al vector denotado por $a\times b$ y definíu poles trés esixencies siguientes:

• el módulu de $a\times b$ ye igual al módulu de a por módulu de b por $sen\phi$, onde $\phi$ ye l'ángulu empobináu formáu polos vectores a y b
• el vector $a\times b$ ye perpendicular a cada unu de los vectores a y b
• la direición del vector $a\times b$ al respective de los vectores a y b ye igual que la de la exa coordenada Oz al respective de les exes coordenaes Ox y Oy, como si xirara de Ox a Oy y avanzara na direición positiva de Oz.

Productu vectorial de dos vectores

Productu vectorial.

Sían los vectores concurrentes de $\mathbb {R} ^{3}$, l'espaciu allegáu tridimensional según la base anterior. Defínese'l productu:

$\mathbf {o} =o_{x}\mathbf {i} +o_{y}\mathbf {j} +o_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$

$\mathbf {w} =w_{x}\mathbf {i} +w_{y}\mathbf {j} +w_{z}\mathbf {k}$

Onde w ye'l productu vectorial de o y v, definíu asina:

${\begin{array}{rrcl}\times :&\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\longrightarrow &\mathbb {R} ^{3}\\&(\mathbf {o} ,\mathbf {v} )&\longrightarrow &\mathbf {w} =\mathbf {o} \times \mathbf {v} \end{array}}$

onde la última fórmula interprétase como:

$\mathbf {w} =\mathbf {o} \times \mathbf {v} =(o_{y}v_{z}-o_{z}v_{y})\mathbf {i} +(o_{z}v_{x}-o_{x}v_{z})\mathbf {j} +(o_{x}v_{y}-o_{y}v_{x})\mathbf {k}$

esto ye:

$w_{x}=o_{y}v_{z}-o_{z}v_{y}$

$w_{y}=o_{z}v_{x}-o_{x}v_{z}$

$w_{z}=o_{x}v_{y}-o_{y}v_{x}$

Usando una notación más compacta, por aciu el desenvolvimientu pola primer fila d'un determinante simbólicu d'orde 3 (ye simbólicu porque los términos de la primer fila nun son escalares):

$\mathbf {w} =\mathbf {o} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\o_{x}&o_{y}&o_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}o_{y}&o_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {i} -{\begin{vmatrix}o_{x}&o_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {j} +{\begin{vmatrix}o_{x}&o_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {k}$

Que da orixe a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: xirando'l primer vector escontra'l segundu pol ángulu más pequeñu, la direición de $\mathbf {o} \times \mathbf {v}$ ye'l d'un sacacorchos que xire na mesma direición.

Exemplu

El productu vectorial de los vectores $\mathbf {a} =(2,0,1)$ y $\mathbf {b} =(1,-1,3)$ calcular de la siguiente manera:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&0&1\\1&-1&3\\\end{vmatrix}}$

Espandiendo'l determinante:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} {\begin{vmatrix}0&1\\-1&3\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}2&1\\1&3\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}2&0\\1&-1\\\end{vmatrix}}=\mathbf {i} -5\mathbf {j} -2\mathbf {k}$

Dando como resultáu:

$\mathbf {c} =\mathbf {i} -5\mathbf {j} -2\mathbf {k}$

Puede verificase fácilmente que $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ye ortogonal a los vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ efectuando'l productu escalar y verificando qu'ésti ye nulu (condición de perpendicularidad de vectores)

Propiedaes

Identidaes

Cualesquier que sían los vectores $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ y $\mathbf {c}$:

1. $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} \neq \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$; el productu vectorial nun ye asociativu #

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$; anticonmutatividad

1. $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0$; cancelación por ortogonalidad.
2. Si $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ con $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$ y $\mathbf {b} \neq \mathbf {0}$, $\Rightarrow \mathbf {a} \|\mathbf {b}$; l'anulación del productu vectorial apurre la condición de paralelismu ente dos direiciones.
3. $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c}$; distributividad pela derecha #

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$; conocida como regla de la espulsión.

1. $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {0}$; conocida como identidá de Jacobi.
2. $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\ \sin \theta$, na espresión del términu de la derecha, sería'l módulu de los vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$, siendo $\theta$, l'ángulu menor ente los vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$; esta espresión rellaciona al productu vectorial cola área del paralelogramu que definen dambos vectores.
3. El módulu o norma del productu vectorial puede calculase fácilmente ensin faer el productu vectorial: $\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\left(\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)^{1/2}$
4. El vector unitariu ${\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}$ ye normal al planu que contién a los vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$.
5. $\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0}$
6. $\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )$ ( Asociatividad respectu del factor escalar )

Bases ortonormales y productu vectorial

Sía un sistema de referencia $S=\{O;\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ nel espaciu vectorial $\mathbb {R} ^{3}$. Dizse que $S\,$ ye una base ortonormal derecha si cumple coles siguientes condiciones:

1. $\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} =\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} =0$; esto ye, los trés vectores son ortogonales ente sigo.
2. $|\mathbf {i} |=|\mathbf {j} |=|\mathbf {k} |=1$; esto ye, los vectores son vectores unitarios (y poro, dada la propiedá anterior, son ortonormales).
3. $\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$, $\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$, $\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$; esto ye, cumplen la regla de la mano derecha.

Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitud físiques vectoriales, el so productu vectorial ye otra mangitud física aparentemente vectorial que tien un estrañu comportamientu al respective de los cambeos de sistema de referencia. Los vectores que presenten eses anomalíes llámense pseudovectores o vectores axiales. Eses anomalíes deber a que non tou ente formáu de trés componentes ye un vector físicu.

Dual de Hodge

Artículu principal: Dual de Hodge

Nel formalismu de la xeometría diferencial de les variedaes riemannianas la noción de productu vectorial puede amenorgase a una operación de dual de Hodge del productu de dos formes diferenciales naturalmente acomuñaes a dos vectores. Asina'l productu vectorial ye a cencielles:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =*(\phi _{\mathbf {a} }\wedge \phi _{\mathbf {b} })$

Onde $\phi _{\mathbf {a} },\phi _{\mathbf {b} }$ denotan les 1-formas naturalmente acomuñaes a los dos vectores, y $*\,$ denota l'operador estrella de Hodge.

Xeneralización a n dimensiones

Anque'l productu vectorial ta definíu solamente en tres dimensiones, ésti puede xeneralizase a $n$ dimensiones, con $n\neq {0,1}$ y namái va tener sentíu si úsense $n-1$ vectores, dependiendo de la dimensión na que se tea. Asina, por casu, en dos dimensiones el productu vectorial xeneralizáu namái tien sentíu si úsase un vector, y la resultancia ye un vector ortogonal.

Dende un puntu de vista tensorial el productu xeneralizáu de n vectores va venir dau por:

$V^{a}=\epsilon ^{aa_{1}\dots a_{n-1}}V_{1}^{a_{1}}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}$

Otros productos vectoriales

Daos dos vectores, defínense trés operaciones matemátiques de tipu productu ente ellos:

• Productu escalar (la resultancia de la operación ye un escalar)
• Productu vectorial (la resultancia ye un vector)
• Productu tensorial

El productu escalar de vectores dexa determinar ángulos y distancies (vease operador norma) d'una forma fácil y direuto. El productu vectorial apurre una manera pa determinar ángulos y árees de paralelogramos definíos por dos vectores d'una forma tal que va dexar espresar volumes fácilmente por aciu el llamáu productu mistu de tres vectores.

Nel espaciu allegáu bidimensional, $\mathbb {R} ^{2}$, el productu vectorial ye una operación esterna, yá que da como resultáu un vector que nun pertenez al mesmu espaciu vectorial, esto ye al planu definíu polos dos vectores que s'operen, por ser un vector perpendicular a dichu planu. Nel espaciu allegáu tridimensional, $\mathbb {R} ^{3}$, el productu vectorial ye una operación interna.

Ver tamién

• Base (álxebra)
• Base ortogonal
• Base ortonormal
• Combinación llinial
• Doble productu vectorial
• Espaciu vectorial
• Independencia llinial
• Productu escalar
• Productu mistu
• Productu tensorial
• Sistema xenerador

Notes y referencies

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). leición de física (4 volumes) (en castellanu). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (n'inglés). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.
• Spiegel, M. & Abellanas, L. (1988). Fórmules y tables de matemática aplicada (en castellanu). McGraw-Hill. ISBN 84-7615-197-7.

Enllaces esternos

• Plantía:IMMP
• Weisstein, Eric W. «Cross Product» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.