Conxuntu de Mandelbrot

El conxuntu de Mandelbrot ye'l más conocíu de los conxuntos fractales y el más estudiáu. Conozse asina n'honor al matemáticu Benoît Mandelbrot (1924-2010), qu'investigó sobre él nos años setenta.

Representación del conxuntu de Mandelbrot por aciu l'algoritmu de tiempu d'escape.

Esti conxuntu defínese asina, nel planu complexu:

Sía c un númberu complexu cualesquier. A partir de c, constrúyese una socesión por recursión:

\left\{{\begin{matrix}z_{0}&=&0\qquad \ &{\mbox{(términu inicial)}}\qquad \\z_{n+1}&=&z_{n}^{2}+c&{\mbox{(rellación d'inducción)}}\end{matrix}}\right.

Si esta socesión queda acutada, entós dizse que c pertenez al conxuntu de Mandelbrot, y si non, queda escluyíu del mesmu.

Por casu, si c = 1 llogramos la socesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverxe. Como nun ta acutada, 1 nun ye un elementu del conxuntu de Mandelbrot.

Sicasí, si c = –1 llogramos la socesión 0, –1, 0, –1,… que sí ye acutada, y por tanto, –1 sí pertenez al conxuntu de Mandelbrot.

De cutiu represéntase'l conxuntu por aciu el algoritmu de tiempu d'escape. Nesi casu, los colores de los puntos que nun pertenecen al conxuntu indiquen la velocidá cola que diverxe (tiende al infinitu, en módulu) la socesión correspondiente a dichu puntu. Na imaxe d'exemplu, reparamos que'l colloráu escuru indica que al cabu de pocos cálculos sábese que'l puntu nun ta nel conxuntu ente que'l blancu informa de que se tardó muncho más en comprobalo. Como nun puede calculase un cientu de valores, ye precisu poner una llende y decidir que si los p primeros términos de la socesión tán acutaos entós considérase que'l puntu pertenez al conxuntu. Al aumentar el valor de p ameyórase la precisión de la imaxe.

Per otra parte, sábese que los puntos que la so alloña al orixe ye cimeru a 2, esto ye, $x^{2}+y^{2}\geq 4$ nun pertenecen al conxuntu. Polo tanto basta atopar un solu términu de la socesión que verifique |z_n| > 2 pa tar seguru de que c nun ta nel conxuntu.

Introducción: esplorando la autosimilitud

Planu sobre'l que vamos esplorar la autosimilitud.

Una propiedá fundamental de los fractales ye la autosimilitud o autosemejanza, que se refier a una cierta invariabilidá con rellación a la escala, o dichu otra manera, al averase a ciertes partes de la imaxe remanez en miniatura la imaxe total. Un mesmu motivu apaez a distintes escales, a un númberu infinitu d'escales.
Veámoslo más en detalle, a partir del planu siguiente (derecha):

Cuadru verde ampliáu.

Al engrandar el cuadru verde, llógrase la imaxe de la izquierda, onde:

Salta a la vista que la bola negra a ye un amenorgamientu exactu de la bola A. El bárabu a la izquierda de a tamién ye un amenorgamientu exactu de a, y el procesu sigue indefinidamente.

Tamién puede reparase que la bola b ye un amenorgamientu de A (un amenorgamientu combináu con una rotación, ye dicir que b llograr de A por aciu una semeyanza). Mirando meyor, nótase un cientu de protuberencias asemeyaos a A.

Cuadru azul escuru ampliáu.

Volviendo al planu, escoyamos esta vegada'l cuadru azul escuru asitiáu nel estremu esquierdu del planu. Al engrandalo, llogramos la imaxe de la derecha:

La so paecencia a la imaxe inicial ye obviu. El procesu puede repitise un cientu de vegaes, empezar per engrandar la pequeña mancha negra a la izquierda del cuadru.

Cuadrín violeta ampliáu.

Agora, ampliemos el cuadrín violeta del planu, y vamos llograr la imaxe de la izquierda:

Nesta imaxe apaez una mancha enriba a la izquierda que tien la mesma forma que la imaxe inicial. Al mirar más de cerca, llógrase la imaxe de baxo a la derecha. Y una vegada más, la paecencia salta a la vista.

Ampliación de la mancha qu'apaez nel cuadrín violeta.

Cuadru azul claro ampliáu.

Agora, engrandemos el cuadru azul claro de la derecha del planu (imaxe de la derecha):

Ampliación del detalle del cuadru blancu.

Acerquémonos al cuadru blancu de la última imaxe (a la izquierda):

Equí nótase una llixera deformación de la figura inicial. Sicasí, esta imaxe sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alredor de cada clon de la forma inicial esisten otros clones minúsculos, nes mesmes posiciones relatives que na figura global. El procesu nun tien fin.

Otra representación

Otra representación del conxuntu de Mandelbrot.

Nesta imaxe, el conxuntu ye, naturalmente, el mesmu, pero les llinies de nivel (que dixebren los colores, fora del conxuntu) nun son idéntiques. Esto debe a que nun s'emplegó'l mesmu criteriu de diverxencia: nesta imaxe ye realmente |z_n| > 2, ente que nes anteriores yera |z_n| > 10, por razones estétiques, yá que asina se llogra una imaxe inicial menos escura.

Historia

La teoría básica sobre la iteración de funciones complexes foi desenvuelta por Gaston Julia y Pierre Fatou nos años 1910. La forma extraordinariamente entrevesgada de conxuntos rellacionaos con estes iteraciones revelóse nel momentu que los gráficos por ordenador fueron lo suficientemente avanzaos. Les primeres imáxenes del conxuntu, daqué burdas, de Robert Brooks y Peter Matelski, daten de 1978.^[1]

Benoit Mandelbrot estudió l'espaciu de parámetros de polinomios cuadráticos nun artículu apaecíu en 1980 y espertó l'interés global pol mesmu.^[2]

L'estudiu matemáticu rigorosu d'esti conxuntu realmente empezó col trabayu de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard,^[3]^[4] quien demostraron munches de les sos propiedaes fundamentales y nomaron el conxuntu n'honor de Mandelbrot. Ente otres propiedaes, probaron que ye un conxuntu conexu y formularon la conxetura MLC, que formula la creencia de que'l conxuntu de Mandelbrot ye llocalmente conexu.

Rellación colos conxuntos de Gaston Julia

Esiste otra manera de definir esti conxuntu: ye'l conxuntu de los complexos c pa los que'l conxuntu de Julia acomuñáu a f_c(z) = z² + c ye conexu.

Imáxenes calculaes con ordenador dixital

Hasta que nun apaecieron los primeros ordenadores dixitales non pudo visualizase esti fractal Z = Z² + C con tola so complexidá.

Na serie que se detalla debaxo podemos ver cómo va ameyorando la definición del fractal, a midida que amontamos el númberu de iteraciones. Los puntos que converxen a un valor determináu apaecen de color mariellu maciu, y pertenecen puramente al conxuntu de Mandelbrot. Los puntos que presenten diverxencia al infinitu hanse coloriáu con una gama cromática que va dende'l gris al negru, en función del númberu de iteraciones necesaries (algoritmu de la velocidá d'escape). Cuantes menos iteraciones son necesaries pa divergir al infinitu, aplícase un color más escuru.

10 iteraciones por pixel
12 iteraciones por pixel
15 iteraciones por pixel
20 iteraciones por pixel
50 iteraciones por pixel
500 iteraciones por pixel

Propiedaes

Propiedaes topolóxiques

El conxuntu de Mandelbrot ye compactu, conexu y el so complementu tamién ye conexu. El so interior d'un conxuntu interior, al igual que cualquier interior d'un subconxuntu de $\mathbb {C}$ non vacíu, resulta ser de la cardinalidad de $\mathbb {R}$ , esto ye una consecuencia direuta de que la topoloxía avezada en $\mathbb {C}$ tien una base d'abiertos de cardinalidad non numerable = $2^{\aleph _{0}}$ .

El so frontera tien dimensión topolóxica 1 pero dimensión de Hausdorff 2, la máxima posible al ser subconxuntu del planu.

Referencies

↑ Brooks, Robert; y Matelski, Peter: «The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C)», en Kra, Irwin; y Maskit, Bernard (eds.): Riemann surfaces and related topics: proceedings of the 1978 Stony Brook conference. Princeton (New Jersey): Princeton University Press, 1981.
↑ Mandelbrot, Benoît: «Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto \lambda z(1-z)\,$ for complex $\lambda ,z\,$ », artículu na revista Annals of the New York Academy of Sciences, 357, páxs. 249-259.
↑ Douady, Adrien; y Hubbard, John H. (1985): «Etude dynamique des polynômes complexes», artículu na revista Prépublications mathémathiques d'Orsay, 2/4; 1984-1985.
↑ John H. Hubbard, biografía del matemáticu John H. Hubbard na Wikipedia n'inglés.

Ver tamién

Enllaces esternos

Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Conxuntu de Mandelbrot.

El conteníu d'esti artículu incorpora material d'una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, espublizada en castellán baxo la llicencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

[1] Brooks, Robert; y Matelski, Peter: «The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C)», en Kra, Irwin; y Maskit, Bernard (eds.): Riemann surfaces and related topics: proceedings of the 1978 Stony Brook conference. Princeton (New Jersey): Princeton University Press, 1981.

[2] Mandelbrot, Benoît: «Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto \lambda z(1-z)\,$ for complex $\lambda ,z\,$ », artículu na revista Annals of the New York Academy of Sciences, 357, páxs. 249-259.

[3] Douady, Adrien; y Hubbard, John H. (1985): «Etude dynamique des polynômes complexes», artículu na revista Prépublications mathémathiques d'Orsay, 2/4; 1984-1985.

[4] John H. Hubbard, biografía del matemáticu John H. Hubbard na Wikipedia n'inglés.

[1]

[2]

[3]

[4]