Ecuación de segundu grau

Una ecuación de segundu grau[1][2] o ecuación cuadrática d'una variable ye una ecuación que tien la forma d'una suma alxebraica de términos que'l so grau máximu ye dos, esto ye, una ecuación cuadrática pue ser representada por un polinomiu de segundu grau o polinomiu cuadrático. La espresión canónica xeneral d'una ecuación cuadrática d'una variable ye:

Ecuación cuadrática.svg

onde x ye la variable, y a, b y c constantes; a ye'l coeficiente cuadrático (distintu de 0), b el coeficiente llinial y c ye'l términu independiente. Esti polinomiu puede interpretase por aciu la Gráfica d'una función gráfica d'una función cuadrática, esto ye, por una parábola. Esta representación gráfica ye útil, porque les interseiciones o puntu tanxencial d'esta gráfica, nel casu d'esistir, col exa X coinciden coles soluciones reales de la ecuación.

HistoriaEditar

Les ecuaciones de segundu grau y el so solución de les ecuaciones conocer dende l'antigüedá. En Babilonia conociéronse algoritmos pa resolvela. Foi atopáu independientemente n'otros llugares del mundu. En Grecia, el matemáticu Diofanto d'Alexandría apurrió un procedimientu pa resolver esti tipu d'ecuaciones (anque'l so métodu namái apurría una de les soluciones, inclusive nel casu de que los dos soluciones sían positives). La primer solución completa desenvolver el matemáticu Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otres grafíes), nel sieglu IX nel so trabayu Compendiu de cálculu por reintegración y comparanza, cerrando con ello un problema que s'escorriera mientres sieglos. Basándose nel trabayu d'A el-Juarismi, el matemáticu xudeoespañol Abraham chigre Hiyya, nel so Liber embadorum, alderica la solución d'estes ecuaciones.[ensin referencies] Hai qu'esperar a Évariste Galois pa consiguir resolver polo xeneral les ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que vien ser una xeneralización de los métodos de resolución de les ecuaciones de segundu grau.

La primera gran dificultá pudo surdir na solución d'ecuaciones cuadráticas dar cola ecuación   na dómina de los pitagóricos, al calcular el llargor de la diagonal d'un cuadráu de llau 1 una y bones non podía espresase la raíz cuadrada de dos como razón de dos númberos enteros.[3]

Na Renacencia al resolver   que rique topar un númberu real que'l so cuadráu seya -1, superar cola adopción de númberos imaxinarios y la definición de la unidá imaxinaria i que cumple  .[4][5]

Ecuación completa de segundu grauEditar

Pa una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complexos esisten siempres dos soluciones, non necesariamente distintes, llamaes raices, que pueden ser reales o complexes (si los coeficientes son reales y esisten dos soluciones non reales, entós tienen de ser complexes conxugaes). Fórmula xeneral pal llogru de raigaños:


 

Usar pa indicar los dos soluciones:

  y  
Deducción de la solución
La deducción de la fórmula cuadrática provien de la fórmula de completar el cuadráu:

La ecuación canónica de segundu grau puede simplificase estremando pol coeficiente principal, de forma

que


 

Pa simplificar la demostración, asumir que   y  :

Dende la ecuación

 

Pasando'l términu   a la derecha:

 

Sumando   a entrambos llaos de la ecuación pa completar cuadraos:

 

Simplificamos el primer miembru a un binomiu cuadráu ::  

Estrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

 

Aisllando   y simplificando la fracción de la raíz ::  

Simplificando a común denominador

 

si desfaemos el cambéu de variables, llogramos la resultancia ::  

La demostración ensin cambéu de variables puede vese equí:

  • Partimos de la nuesa ecuación simplificada:
 
  • Pasamos al otru términu  :
 
  • Sumamos   pa llograr un binomiu desenvueltu:
 
  • El trinomiu a la izquierda ye un cuadráu perfectu; simplificando a común denominador el segundu miembru:
 

Estrayyendo les 2 posibles raigaños cuadraos, llogramos:

 

Moviendo   y aplicando la raíz al denominador:

 

Simplificando a común denominador:

 

DiscriminanteEditar

Exemplu del signu del discriminante:
 : dos raices complexes conxugaes.
 : una raíz real, pero de (multiplicidá 2).
 : dos raices reales distintes. Na fórmula anterior, la espresión dientro de la raíz cuadrada recibe'l nome de discriminante de la ecuación cuadrática. Suel representase cola lletra D o bien cola lletra griega Δ (delta) en mayúscula:

 

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tien o bien dos soluciones reales distintes o una sola solución real de multiplicidá 2, o bien dos raíz complexes. El discriminante determina la índole y la cantidá de raigaños.

  • Si   hai dos soluciones reales y distintos (la parábola crucia dos veces la exa de les ascises: X):
 .
  • Si   hai una solución real doble (la parábola solo toca nun puntu a la exa de les ascises: X):
 
  • Si   hai dos soluciones complexes conxugaes (la parábola nun corta a la exa de les ascises: X):
 
onde i ye la unidá imaxinaria.

Forma amenorgada de la ecuación completaEditar

Cuando'l términu principal ye 1 la espresión queda como   que les sos raigaños son:

 

Ecuaciones incompletesEditar

Ensin términu independienteEditar

Son de la forma:

 , que les sos raigaños son  

Ensin términu llinialEditar

Son de la forma  , que les sos raigaños son reales opuestos o imaxinarios puros opuestos.

Si   los raigaños son reales:   o  

Si   los raigaños son imaxinaries pures:   o  

Solo'l términu de segundu grauEditar

  que la so raíz doble ye igual a 0

Completa con coeficiente llinial parEditar

Nesti casu apaez como coeficiente del términu de primer grau un númberu par 2m y l'ecuación ye

 

, siendo los raigaños

 

Completa amenorgada con coeficiente llinial parEditar

Nesti casu'l coeficiente principal ye 1; el coeficiente llinial ye par y asume formar

 

que les sos raigaños son

 

Ecuación bicuadradaEditar

Éstes son un casu particular de la ecuación de cuartu grau. Fálten-yos los términos a la tercera y a la primer potencia. La so forma polinómica ye:

 

Pa resolver estes ecuaciones tan solo hai que faer el cambéu de variable  
Colo que nos queda:   La resultancia resulta ser una ecuación de segundu grau que podemos resolver usando la fórmula:

 

Al desfaer el cambéu de variable apaecen los cuatro soluciones:

 
 
 
 

Ecuación bicuadrada simétricaEditar

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:[6]

 

Teorema de Cardano-VietaEditar

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raigaños  , podemos construyir el binomiu a partir d'estes con:

 
 
 
 

De lo que se deduz:

Suma de raigaños

 
Demostración a partir de Cardano Vieta
  • Partiendo d'igualar los términos del mesmu grau :

 

  • Esténase la suma y estrémase por x
 

Productu de raigaños

 
Demostración a partir de Cardano Vieta
  • Partiendo d'igualar los términos del mesmu grau :

 

  • Esténase'l productu de raigaños:
 

Observación:

 
Desenvolviendo los binomios:
 
  • Onde finalmente queda:
 

 

Rellación ente la fórmula xeneral y la proporción áureaEditar

solo na solución positiva si na fórmula xeneral el valor de les variables ye'l siguiente o se presenta'l siguiente casu en que

 

entós la fórmula xeneral va dar como resultáu'l númberu áureo

 

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. Plantía:Springer
  2. Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  3. Hoffmann. Historia de la matemática
  4. Birkhoff- Mac Lane. Álxebra moderna
  5. Otto Bekken. Una curtia hestoria de la álxebra
  6. Tsipkin, A.G. (1985). Manual de matemátiques pa la enseñanza media. Mir.

Enllaces esternosEditar