Impedancia

La impedancia (Z) ye una midida d'oposición que presenta un circuitu a una corriente cuando s'aplica una tensión. La impedancia estiende'l conceutu de resistencia a los circuitos de corriente alterna (CA), y tien tanto magnitú como fase, a diferencia de la resistencia, que namái tien magnitú. Cuando un circuitu ye alimentáu con corriente continua (CC), la so impedancia ye igual a la resistencia, lo que puede ser interpretáu como la impedancia con ángulu de fase cero.

Por definición, la impedancia ye la rellación (cociente) ente'l fasor tensión y el fasor intensidá de corriente:

$Z={\frac {V}{I}}$

Onde $Z$ ye la impedancia, $V$ ye'l fasor tensión y $I$ correspuende al fasor intensidá.

El conceutu de impedancia tien especial importancia si la corriente varia nel tiempu, y nesi casu les magnitúes describir con númberos complexos o funciones del analís harmónicu. El so módulu (dacuando inadecuadamente llamáu impedancia) establez la rellación ente los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia ye la resistencia y la so parte imaxinaria ye la reactancia.

El conceutu de impedancia dexa xeneralizar la llei d'Ohm nel estudiu de circuitos en corriente alterna (CA), dando llugar a la llamada llei d'Ohm de corriente alterna qu'indica:

$I={\frac {V}{Z}}$

El términu foi acuñáu por Oliver Heaviside en 1886. Polo xeneral, la solución pa les corrientes y les tensiones d'un circuitu formáu por resistencies, condensadores y inductancies y ensin nengún componente de comportamientu non llinial, son soluciones d'ecuaciones diferenciales. Pero, cuando tolos xeneradores de tensión y de corriente tienen la mesma frecuencia constante y les sos amplitúes son constantes, les soluciones en estáu estacionariu (cuando tolos fenómenos transitorios sumieron) son sinusoidales y toles tensiones y corrientes tienen la mesma frecuencia que los xeneradores y amplitú constante. La fase, sicasí, va vese afeutada pela parte imaxinaria (reactancia) de la impedancia.

Formalismu matemáticu

Definición

Sía un componente llétricu o electrónicu o un circuitu alimentáu por una corriente sinusoidal $\scriptstyle {I_{\circ }\cos(\omega t)}\,\!$ . Si la tensión ente los sos estremos ye $\scriptstyle {V_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )}\,\!$ , la impedancia del circuitu o del componente defínese como un númberu complexu $\scriptstyle {Z}\,\!$ ; qu'espresáu en forma polar tien un módulu igual al cociente $\scriptstyle {V_{\circ } \over I_{\circ }}\,\!$ y un argumentu que ye $\scriptstyle {\varphi }\,\!$ :

{\begin{aligned}|Z|&={V_{\circ } \over I_{\circ }}\\\arg(Z)&=\varphi \end{aligned}}\,\,\!

esto ye

Z=\textstyle {V_{\circ } \over I_{\circ }}y^{j\varphi }=\textstyle {V_{\circ } \over I_{\circ }}\left(\cos \varphi +j\sin \varphi \right)\,\!

.

Como s'indicó enantes, la impedancia tamién se define pol cociente ente los fasores de tensión y corriente, representando la oposición total (Resistencia, Reactancia inductiva, Reactancia capacitiva) sobre la corriente.

Como la tensión y les corrientes son sinusoidales, pueden utilizase los valores pico (amplitúes), los valores eficaces, los valores pico a picu o los valores medios. Pero hai que curiar de tratalos uniformemente y nun entemecer los tipos. La resultancia de los cálculos va ser del mesmu tipu que l'utilizáu pa los xeneradores de tensión o de corriente.

Representación binómica

La impedancia puede representase en forma binómica como la suma d'una parte real y una parte imaxinaria:

Z=R+jX\,

$\scriptstyle {R}$ ye la parte resistiva o real de la impedancia y $\scriptstyle {X}$ ye la parte reactiva o imaxinaria de la impedancia. Básicamente hai dos clases o tipos de reactancias:

Reactancia inductiva o $X_{L}$ : Debida a la esistencia d'inductores.
Reactancia capacitiva o $X_{C}$ : Debida a la esistencia de capacitores.

Admitancia

La admitancia ye la inversa de la impedancia:

Y=\textstyle {1 \over Z}=y_{c}+jy_{s}

La conductancia $\scriptstyle {y_{c}}$ ye la parte real de la admitancia y la susceptancia $\scriptstyle {y_{s}}$ la parte imaxinaria de la admitancia.

La unidá de la admitancia, la conductancia y la susceptancia ye'l siemens (símbolu S). Un siemens ye'l recíprocu d'un ohmiu.

Representación gráfica

Exemplu de fasores.

Pueden representase les tensiones de los xeneradores de tensión y les tensiones ente los estremos de los componentes como vectores xiratorios nun planu complexu. La magnitú (llargor) de los vectores ye'l módulu de la tensión y l'ángulu que faen con n'exa real ye igual al ángulu de desfase con respectu al xenerador de referencia. Esti tipu de diagrama tamién se llama diagrama de Fresnel.

Con un pocu de costume y un mínimu de conocencies de xeometría, eses representaciones son muncho más esplícites que los valores o les fórmules. De xacíu, esos dibuxos nun son, na nuesa dómina, un métodu gráficu de cálculu de circuitos. Son una manera de "ver" como les tensiones sumir. Esos dibuxos pueden facilitar la escritura de les fórmules finales, utilizando les propiedaes xeométriques. Van Atopar exemplos de la representación gráfica nos exemplos de baxo.

Cálculu de circuitos coles impedancias

El formalismu de les impedancias consiste nunes poques regles que dexen calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al cálculu de circuitos resistivos en corriente continua. Eses regles namái son válides nos casos siguientes:

En réxime permanente con corriente alterna sinusoidal. Esto ye, que tolos xeneradores de tensión y de corriente son sinusoidales y de la mesma frecuencia, y que tolos fenómenos transitorios (conexones y desconexones sópites, falles de aislación repentines, etc.) s'atenuaron y sumieron dafechu.
Si tolos componentes son lliniales. Esto ye, componentes o circuitos nos cualos l'amplitú (o'l valor eficaz) de la corriente ye puramente proporcional a la tensión aplicao. Esclúyense los componentes non lliniales como los diodos, bobines con nucleos de fierro y otros. Por ello, si'l circuitu contién inductancias o tresformadores con nucleu ferromagnético (que nun son lliniales), los resultaos de los cálculos namái van poder ser averaos y eso, a condición de respetar la zona de trabayu de les inductancias.

Xeneradores de tensión o de corriente desfasaes

Si nun circuitu atopen dellos xeneradores de tensión o de corriente, escuéyese unu d'ellos como xenerador de referencia de fase. Si la verdadera tensión del xenerador de referencia ye $\scriptstyle {V_{\circ }\cos(\omega t)}$ , pal cálculu coles impedancias vamos escribir la so tensión como $\scriptstyle {V_{\circ }}$ . Si la tensión d'otru xenerador tien una meyora de fase de $\scriptstyle {\alpha }$ con respectu al xenerador de referencia y la so corriente ye $\scriptstyle {I_{1}\cos(\omega t+\alpha )}$ , pal cálculu coles impedancias vamos escribir la so corriente como $\scriptstyle {I_{1}y^{j\alpha }}$ . L'argumentu de les tensiones y corrientes calculaes va ser el desfase d'eses tensiones o corrientes con respectu al xenerador tomáu como referencia.

Lleis de Kirchhoff

Les lleis de Kirchhoff aplicar de la mesma manera: "la suma de les corrientes que lleguen a un nodo ye cero" y "la suma de toles tensiones alredor d'una malla ye cero". Esta vegada, tantu les corrientes como les tensiones, son, polo xeneral, complexes.

Xeneralización de la llei d'Ohm

La tensión ente les estremidaes d'una impedancia ye igual al productu de la corriente pola impedancia:

V_{z}=ZI_{z}\,

Tanto la impedancia, como la corriente y la tensión son, polo xeneral, complexes.

Impedancias en serie o en paralelu

Les impedancias trátense como les resistencies cola llei d'Ohm. La impedancia de delles impedancias coneutaes en serie ye igual a la so suma:

Serie

Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}

La impedancia de delles impedancias coneutaes en paralelu ye igual al recíprocu de la suma de los sos recíprocos:

Paralelu

\textstyle {Z}=\textstyle {1 \over \scriptstyle {{1 \over Z_{1}}+{1 \over Z_{2}}+\cdots +{1 \over Z_{n}}}}

Interpretación de los resultaos

La resultancia de corriente ye, xeneralmente, un númberu complexu. Esi númberu complexu interpretar de manera siguiente:

El módulu indica'l valor de la tensión o de la corriente calculada. Si los valores utilizaos pa los xeneradores yeren los valores pico, la resultancia tamién va ser un valor pico. Si los valores yeren valores eficaces, la resultancia tamién va ser un valor eficaz.
L'argumentu d'esi númberu complexu da'l desfase con respectu al xenerador utilizáu como referencia de fase. Si l'argumentu ye positivu la tensión o la corriente calculaes van tar en meyora de fase.

Xeneralización

Cuando tolos xeneradores nun tienen la mesma frecuencia o si les señales nun son sinusoidales, el formalismu de les impedancias nun puede aplicase direutamente. Tiense que descomponer el cálculu en delles etapes en caúna de les cuales puede utilizase el formalismu de impedancias.

Nel casu de tenese elementos lliniales, puede utilizase el teorema de superposición: faise un cálculu separáu pa caúna de les frecuencies (remplazando en cada unu de los cálculos tolos xeneradores de tensión de frecuencia distinta por un cortucircuitu y tolos xeneradores de corriente de frecuencia distinta por un circuitu abiertu). Caúna de les tensiones y corrientes totales del circuitu va ser la suma de caúna de les tensiones o corrientes llograes à caúna de les frecuencies. De xacíu, pa faer estes postreres sumes hai qu'escribir caúna de les tensiones na forma real, cola dependencia del tiempu y el desfase: $\scriptstyle {V_{i}\cos(\omega _{i}t+\varphi _{i})}$ pa les tensiones y les fórmules similares pa les corrientes.

Si les señales nun son sinusoidales, pero son periódiques y continues, pueden descomponese les señales en serie de Fourier y utilizar el teorema de superposición pa dixebrar el cálculu nun cálculu pa caúna de les frecuencies. La resultancia final va ser la suma de los resultaos pa caúna de les frecuencies de la descomposición en serie.

Orixe de les impedancias

Vamos tratar d'ilustrar el sentíu físicu de la parte imaxinaria j (onde s'utiliza esta lletra en cuenta de i pa evitar tracamundios cola intensidá) de les impedancias calculando, ensin utilizar estes, la corriente que circula por un circuitu formáu por una resistencia, un inductor y un condensador en serie.

El circuitu ta alimentáu con una tensión sinusoidal y esperemos abondo por que tolos fenómenos transitorios sumieren. Tenemos un réxime permanente. Como'l sistema ye llinial, la corriente del réxime permanente va ser tamién sinusoidal y va tener la mesma frecuencia que la de la fonte orixinal. Lo único que nun sabemos sobre la corriente ye la so amplitú y el desfase que puede tener con al respective de la tensión d'alimentación. Asina, si la tensión d'alimentación ye $\scriptstyle {V=V_{\circ }\cos(\omega t)}$ la corriente va ser de la forma $\scriptstyle {I=I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )}$ , onde $\scriptstyle {\varphi }$ ye'l desfase que nun conocemos. La ecuación a resolver va ser:

V_{\circ }\cos(\omega t)=V_{R}+V_{L}+V_{C}

onde $\scriptstyle {V_{R}}$ , $\scriptstyle {V_{L}}$ y $\scriptstyle {V_{C}}:$ son les tensiones ente les estremidaes de la resistencia, la inductancia y el condensador.

Aplicando la llei d'Ohm a la resistencia. resulta:

V_{R}\,

=

RI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )

La definición de inductancia diznos que:

V_{L}={d\Phi c \over dt}={dLI \over dt}

Si L ye constante, queda:

V_{L}=L\textstyle {di \over dt}=L\textstyle {d\left(I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )\right) \over dt}=-\omega LI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )

.

La definición de condensador diznos que:

I={{dq} \over {dt}}={{d(CV_{C})} \over {dt}}

Si C ye constante:

I=C\cdot {\frac {dV}{dt}}

Faciendo la derivada, puede comprobase que:

V_{C}=\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )

.

Asina, la ecuación qu'hai que resolver ye:

V_{\circ }\cos(\omega t)=RI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )-\omega LI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )+\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )

Tenemos qu'atopar los valores de $\scriptstyle {I_{\circ }}$ y de $\scriptstyle {\varphi }$ que faigan qu'esta ecuación seya satisfecha pa tolos valores de $\scriptstyle {t}$ .

P'atopalos, imaxinemos qu'alimentamos otru circuitu idénticu con otra fonte de tensión sinusoidal que la so única diferencia ye qu'empieza con un cuartu de periodu de retrasu. Esto ye, que la tensión va ser $\scriptstyle {V=V_{\circ }\cos(\omega t-{\pi \over 2})=V_{\circ }\sin(\omega t)}$ . De la mesma manera, la solución tamién va tener el mesmu retrasu y la corriente va ser: $\scriptstyle {I=I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi -{\pi \over 2})=I_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )}$ . La ecuación d'esti segundu circuitu tardiegu va ser:

V_{\circ }\sin(\omega t)=RI_{\circ }\sin(\omega t+\varphi )+\omega LI_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )-\textstyle {1 \over \omega C}I_{\circ }\cos(\omega t+\varphi )

Hai signos que camudaron porque'l cosenu tardiegu tresformar en senu, pero'l senu tardiegu tresformar en $\textstyle {\mathbf {-} }$ cosenu. Agora vamos sumar los dos ecuaciones dempués de multiplicar la segunda por j. La idea ye de poder tresformar les espresiones de la forma $\scriptstyle {\cos x+j\sin x}$ en $\scriptstyle {y^{jx}}$ , utilizando les fórmules d'Euler. La resultancia ye:

V_{\circ }y^{j\omega t}=RI_{\circ }y^{j\left(\omega t+\varphi \right)}+j\omega LI_{\circ }y^{j\left(\omega t+\varphi \right)}+\textstyle {1 \over j\omega C}I_{\circ }y^{j\left(\omega t+\varphi \right)}

Como $\scriptstyle {y^{j\omega t}}$ ye distintu de cero, puede estremase tola ecuación por esi factor:

V_{\circ }=RI_{\circ }y^{j\varphi }+j\omega LI_{\circ }y^{j\varphi }+\textstyle {1 \over j\omega C}I_{\circ }y^{j\varphi }

deduzse:

I_{\circ }y^{j\varphi }=\textstyle {V_{\circ } \over R+j\omega L+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}

A la izquierda tenemos los dos cuesas que queríamos calcular: l'amplitú de la corriente y el so desfase. L'amplitú va ser igual al módulu del númberu complexu de la derecha y el desfase va ser igual al argumentu del númberu complexu de la derecha.
Y el términu de la derecha ye la resultancia del cálculu habitual utilizando'l formalismu de impedancias nel cual trátense les impedancias de les resistencies, condensadores y inductancias de la mesma manera que les resistencies cola llei d'Ohm.
Vale la pena repitir que cuando escribimos:

I=\textstyle {V_{\circ } \over R+j\omega L+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}

almitimos que la persona que llee esa fórmula sabe interpretala y nun va creer que la corriente pueda ser complexa o imaxinaria. El mesmu camientu esiste cuando atopamos espresiones como "alimentamos con una tensión $\scriptstyle {Ve^{j\omega t}}$ " o "la corriente ye complexa".

Como les señales son sinusoidales, los factores ente los valores eficaces, máximos, picu a picu o medios son fixos. Asina que, nel formalismu de impedancias, si los valores d'entrada son picu, los resultaos tamién van venir en picu. Igual pa eficaz o otros. Pero nun hai qu'entemecelos.

Exemplos

Impedancia n'elementos básicos

La impedancia d'una resistencia ideal, solo contién una componente real:

\ Z_{R}=R

Nesti casu, la tensión y la corriente son proporcionales y tán en fase.

La impedancia nun inductor ideal o nun condensador ideal tien una componente puramente imaxinaria:

La impedancia nun inductor amontar cola frecuencia;

\ Z_{L}=j\omega L

La impedancia d'un condensador escai cuando la frecuencia crez;

\ Z_{C}={\frac {-j}{\omega C}}

Un xenerador únicu

Una inductancia y una resistencia en serie alimentaes por un xenerador sinusoidal.

Na diagrama de la derecha tenemos un xenerador sinusoidal $\scriptstyle {V=10\cos(\omega t)}$ de 10 voltios d'amplitú y de una frecuencia de 10 kHz. En serie hai una inductancia de 10 mH y una resistencia de 1,2 k $\scriptstyle {\Omega }$ .

Calculemos la corriente $\scriptstyle {I}$ que circula nel circuitu:

I=\textstyle {{V \over Z_{L}+Z_{R}}={V \over j\omega L+R}={10 \over j2\pi 10^{4}0,01+1200}}

\textstyle {={10 \over 1200+j628,3}}=0{,}00654-j0{,}003424\,\mathrm {A}

Ye necesaria l'aplicación del cálculu con númberos complexos si utiliza esta notación.

El módulu de la corriente ye:

I=\left|\textstyle {10 \over 1200+j628,3}\right|=7,38\,\mathrm {mA}

Como'l valor de la tensión del xenerador que tomamos foi un valor pico (amplitú), el valor de la corriente llográu tamién ye un valor pico. La corriente eficaz ye: $\scriptstyle {I_{\mathrm {ef} }={7,38 \over {\sqrt {2}}}}=5,22\,\mathrm {mA}$

La fase de la corriente ye'l argumentu del númberu complexu

$\scriptstyle {10 \over 1200+j628,3}$ :

\mathrm {arg} \left(\textstyle {10 \over 1200+j628,3}\right)=-0{,}4823\,\,\mathrm {rad} =-27{,}63^{\circ }

.

La corriente ta en retardo de fase con al respective de la fase del xenerador. Eso ye lóxicu, una y bones el circuitu ye inductivu.

Diagrama de Fresnel (o fasor) d'una inductancia y una resistencia en serie. El círculu gris solo sirve d'ayuda al dibuxu del ángulu rectu ente la tensión de la resistencia y la tensión de la inductancia.

Solo la resistencia estena potencia:

P_{R}=\textstyle {1 \over 2}R\left|I\right|^{2}=\textstyle {1 \over 2}1200\cdot \left(7{,}38\,10^{-3}\right)^{2}=32{,}7\,\,\mathrm {mW}

La fracción $\scriptstyle {1 \over 2}$ apaez porque'l valor de la corriente ye'l valor pico.

La tensión ente los estremos de la resistencia ye $\scriptstyle {V_{R}=I\,R=(0{,}00654-j0{,}003424)\,1200=7{,}84-j4{,}109\,\,V_{\mathrm {picu} }}$

La tensión eficaz que se lleería con un voltímetru sería'l módulu d'esta tensión estremo por $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ : $\scriptstyle {6{,}26\,V_{\mathrm {ef} }}$

La tensión ente les estremidaes de la inductancia ye
$\scriptstyle {V_{L}=j\omega L\,I\,=j628{,}3\,(0{,}00654-j0{,}003424)=2{,}15+j4{,}109\,V_{\mathrm {picu} }}$

La tensión eficaz lleida col voltímetru sería, igualmente: $\scriptstyle {3,28\,V_{\mathrm {ef} }}$

Constatamos que la suma de los dos tensiones "complexes" da (teniendo en cuenta los redondeos) la tensión del xenerador. Sicasí, la suma de los dos tensiones lleíes con un voltímetru ye más grande que la del xenerador ( $\scriptstyle {7,07V_{\mathrm {ef} }}$ ). Esa resultancia ye típicu de les midíes feches con un voltímetru en circuitos nos cualos les tensiones nun tán en fase. Un voltímetru mídenos módulos en valor eficaz, que nun podemos sumar direutamente yá que tamos tratando con fasores coles sos distintes orientaciones.

Dos xeneradores desfasaos

Condensador y resistencia en serie ente dos xeneradores senoidales desfasaos.

Nel circuitu de la derecha, un condensador de $\scriptstyle {1\,\mu F}$ y una resistencia de $\scriptstyle {3\,k\Omega }$ en serie, tán coneutaos ente dos xeneradores sinusoidales. Tomamos como xeneradores dos fases del suministru trifásicu. El xenerador d'esquierda va ser el nuesu xenerador de referencia $\scriptstyle {V_{1}=230{\sqrt {2}}\cos(314\,t)}$ . El xenerador de derecha ta en meyora de fase de $\scriptstyle {2\pi /3}$ . Esto ye, $\scriptstyle {V_{2}=230{\sqrt {2}}\cos(314\,t+{2\pi \over 3})}$ . Col formalismu de impedancias, el xenerador d'esquierda va ser $\scriptstyle {V_{1}=230\,V_{\mathrm {ef} }}$ y el de derecha $\scriptstyle {V_{2}=230\,y^{j{2\pi \over 3}}\,V_{\mathrm {ef} }}$ . Empecemos calculando la diferencia de tensión ente los dos xeneradores:

V_{12}=230\,\left(1-y^{j{2\pi  \over 3}}\right)=230\,\left(1-\cos \left(\textstyle {2\pi  \over 3}\right)-j\sin \left(\textstyle {2\pi  \over 3}\right)\right)

=230\,(1{,}5-j0{,}866)=345-j199{,}19\,V_{\mathrm {ef} }=398{,}37y^{-j0{,}5774}

El módulu d'esta tensión ye $\scriptstyle {398{,}37V_{\mathrm {ef} }}$ y ta retardada de 0,5774 radianes (30°) con al respective de la tensión de referencia.

Diagrama de Fresnel correspondiente al segundu exemplu. El primer círculu sirve de guía a les tensiones de los dos xeneradores. El segundu pal ángulu rectu ente la tensión del condensador y la de la resistencia.

La corriente que circula ye:

I=\textstyle {{V_{12} \over R+\scriptstyle {1 \over j\omega C}}={398{,}37\,y^{-j0{,}5236} \over {3000-j3185}}={398{,}37\,y^{-j0{,}5236} \over 4375{,}41\,y^{-j0{,}8153}}=0{,}0910\,y^{j0{,}2917}}

Como los valores de tensión utilizaos pa los xeneradores yeren valores eficaces, la corriente calculada tamién vien como valor eficaz: 91 mA en meyora de fase 16,71° con al respective de la tensión de referencia.

La tensión ente los estremos de la resistencia ye $\scriptstyle {V_{R}=R\,I=3000\cdot 0{,}0910\,y^{j0{,}2917}=273\,y^{j0{,}2917}V_{\mathrm {ef} }}$

La tensión ente los estremos del condensador ye:
$\scriptstyle {V_{C}=Z_{C}\,I=-j3185\cdot 0{,}0910\,y^{j0{,}2917}=3185\,y^{-j{\pi \over 2}}0{,}0910\,y^{j0{,}2917}=289{,}83\,y^{-j1{,}2791}V_{\mathrm {ef} }}$ .

La tensión ente les estremidaes del condensador ta en retardo de 73,3° con al respective de la tensión de referencia. Como nel exemplu precedente, la suma de los módulos de les tensiones (les que se midiríen con un voltímetru) de la resistencia y del condensador (563 V) ye más grande que la tensión total aplicada (398 V). La tensión nel puntu A del circuitu va ser:

V_{A}=V_{1}-V_{C}=230-289{,}83\,y^{-j1{,}2791}=230-(83,35-j277{,}6)

=146.65+j277{,}6=314\,y^{j1{,}085}\,V_{\mathrm {ef} }

La tensión del puntu A ye más grande que la de cada xenerador.

Ver tamién

Bibliografía

(1987) «Volume 5», GRUPU EDITORIAL OCÉANU: Gran Enciclopedia de la Ciencia y la Téunica. Barcelona:Ediciones Océano-Ésitu S.A.. ISBN 84-7069-452-9.