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Dos cuerpos orbitando alredor del so centru de mases n'órbites elíptiques.
Dos cuerpos con una pequeña diferencia de masa orbitando alredor del so centru de masa, los tamaños dibuxaos son similares a los del sistema Plutón-Caronte.

En mecánica, el problema de los dos cuerpos consiste en determinar el movimientu de dos partícules puntuales que solo interactúan ente sigo. Los exemplos comunes inclúin la Lluna orbitando la Tierra y n'ausencia del Sol, ye dicir aisllaos, un planeta orbitando una estrella, dos estrelles que xiren en redol al centru de masas (estrella binaria), y un electrón orbitando en redol a un nucleu atómicu.

Como s'esplica más palantre, les lleis de Newton déxanos amenorgar el problema de dos-cuerpos a un problema d'un cuerpu equivalente, esto ye, a resolver el movimientu d'una partícula sometida a un campu gravitatorio conservativo y que por tantu deriva d'un potencial esternu. Cuidao que el problema puede resolvese esactamente, el problema del dos-cuerpos correspondiente tamién puede resolvese con exactitú. Otra manera, el problema de los trés cuerpos (y, más xeneralmente, el problema de cuerpos con ) nun puede resolvese, sacante en casos especiales.

Descripción del problemaEditar

Sean   y   les posiciones de dos cuerpos, y   y   les sos mases. La segunda llei de Newton determina que


 
 

onde   ye la fuercia na masa 1 por cuenta de la so interaición cola masa 2, y   ye la fuercia en masa 2 al respective de la masa 1.

El nuesu oxetivu ye determinar les trayectories   y   en tou intre  , daes les posiciones iniciales   y   y les velocidaes iniciales   y   (12 constantes en total). Un trucu importante pa resolver el problema de dos-cuerpos ye sumar y restar estos dos ecuaciones que descompon el problema en dos problemes. La suma produz una ecuación que describe'l movimientu del centru de mases, y restar da una ecuación que describe cómo varia col tiempu'l vector de posición ente los dos mases. Al combinar les soluciones a estos dos problemes d'un cuerpu llógrense les soluciones de les trayectories   y  .

Movimientu del centru de mases (primer problema d'un cuerpu)Editar

La suma de los dos ecuaciones


 

onde usemos tercer llei de Newton   y onde


 

ye la posición del centru de mases (baricentru) del sistema. La ecuación resultante

 

amuesa que la velocidá   del centru de masa ye constante, de lo que se deduz que la cantidá de movimientu total   tamién ye constante (caltenimientu de la cantidá de movimientu). De cuenta que, pueden determinase la posición y velocidá del centru de masa en cualquier intre daes les posiciones y velocidaes iniciales.

Movimientu del vector de desplazamientu (segundu problema d'un cuerpu)Editar

Restando los dos ecuaciones de fuercia y reestructurando la ecuación

 

onde usemos de nuevu la tercer llei de Newton  .

Nós introducimos un nuevu vector  


 

eso ye'l vector de posición de la masa 1 respectu de la masa 2. La fuercia ente los dos oxetos namái ye una función d'esti vector de posición   y non de les sos posiciones absolutes   y  : si nun fuera asina, violaríase la simetría de traslación, esto ye, les lleis de la física camudaríen d'un llugar a otru. Poro, la ecuación puede escribise : 

onde   ye la masa amenorgada

 

Una vegada que resolvimos les ecuaciones   y  , les trayectories orixinales pueden llograse de les ecuaciones

 
 

como puede verificase por sustitución nes ecuaciones de definición de   y  .

Propiedaes del movimientuEditar

El movimientu de dos cuerpos ye planuEditar

El movimientu de dos cuerpos siempres ta nun planu. Definamos la cantidá de movimientu   y el momentu angular


 

La variación col tiempu del momentu angular o cinéticu ye igual al momentu de fuercia  

 

Como la fuercia ente los dos partícules ta na llinia que les xune y por tantu ye paralela al radio vector  , el productu vectorial ente'l vector de posición y la fuercia ye nulu  . Asina que el momentu ye nulu y el momentu angular o cinéticu ye constante. Si'l vector momentu angular   ye constante, entós, el vector de posición   y la so velocidá   tán siempres nel mesmu planu, normal a  .

Llei de les áreesEditar

Ye útil de cutiu camudar a les coordenaes polares, desque'l movimientu ta nun planu y, pa munchos problemes físicos, la fuercia   solo ye una función del radiu   (ye una fuercia central).

Al movese mientres un intre de tiempu'l vector de posición   describe una área elemental   que vale:  , asina que la velocidá areolar o área barrida pol vector de posición na unidá de tiempu ye:  .

El módulu del momentu angular   onde  . Asina que puede espresase la velocidá areolar en función del momentu angular   con   "constante de les árees".

Esta llei de les árees foi enunciada empíricamente per primer vegada en 1609 por Johannes Kepler y esplica el movimientu de los planetes alredor del Sol constituyendo la segunda llei de Kepler. Convien aprofiar qu'esti fechu ye una propiedá xeneral del movimientu de les fuercies centrales y ye por tantu más xeneral que les fuercies de la gravitación inversamente proporcionales al cuadráu de la distancia.

El movimientu d'un planeta nel planu de la so órbita, componer de dos movimientos, unu l'ángulu que xira'l radiu vector y l'otru el so acercamientu o alloñamientu del primariu, ye dicir la variación del módulu del radio vector col tiempu. La llei de les árees determina que, un cuerpu xira más rápidu cuando ta cerca y lentu cuando ta llueñe y facer cuantitativamente, como pa poder establecer l'ángulu de xiru, anque resulta difícil. Pa llograr l'ángulu de xiru Y con el tiempu hai qu'espresar ta fórmula d'otra manera:

 

Esta fórmula denominar ecuación de Kepler, onde M ye la anomalía media, y ye la escentricidá y Y la anomalía excéntrica.

Solo queda saber como varia   col tiempu y esaniciando t ente los dos euaciones llograr la órbita.

La órbitaEditar

Newton dixo que "tou oxetu nel universu atrai a otru oxetu a lo llargo de la llinia que xune'l centru de los oxetos, (fuercia central) proporcional a les mases de cada oxetu, ya inversamente proporcional al cuadráu de la distancia ente ellos."

Pola segunda llei de Newton l'aceleración a ye de formar


 

En coordenaes polares la velocidá, asumiendo que la órbita ta nel planu OXY vale:


 

y l'aceleración:


 

L'aceleración en componentes y cuidao que namái tien componente radial:

 
 

Sustituyendo   y  , la segunda ecuación queda:

 

Dixebrando variables:

 

La integración resulta:

  onde añedimos la constante d'integración.

Sabemos que momentu angular específicu (por unidá de masa) vale:

 ,

Tomando llogaritmos:

 

Trescientos años d'esperiencia respuenden por el cambéu de variable:

 

Derivando:

 

Volviendo derivar y teniendo presente que  

 

La ecuación de movimientu en  

  queda:
 

La llei de Newton de la gravitación indica que la fuercia por unidá de masa ye:

 

onde G ye la constante de gravitación universal y M ye la masa de la estrella.

Resulta,

 

Esta ecuación diferencial tien la solución xeneral:

 

onde y and θ0 son constantes arbitraries d'integración.

Reemplazando o por 1/r y faciendo θ0 = 0:

 

Esta ye la ecuación d'una cónica con escentricidá y y orixe nun focu. Poro, la primer llei de Kepler ye un resultáu direuta de la llei de la gravitación de Newton y de la segunda llei de Newton del movimientu.

θ recibe'l nome de anomalía verdadera de normal represéntase por V ye l'ángulu que forma'l radiu vector col periastro y rellaciónase fácilmente cola anomalía excéntrica Y.

Estensiones relativistes y cuánticaEditar

Mecánica relativistaEditar

En mecánica relativista'l problema de los dos cuerpos ye más complicáu por cuenta de que nun ye posible postular una aición a distancia y por tantu l'efectu d'un cuerpu sobre otru depende non de la so posición actual sinón de la so posición nun intre llixeramente anterior. Amás el problema gravitatoriu de los dos cuerpos nin siquier almite una formulación esacta na teoría de la relatividá especial y rique del usu del formalismu de la teoría de la relatividá xeneral, onde la xeometría del espaciu-tiempu ye variable.

Amás dos cuerpos qu'actúen unu sobre otru por aciu interaiciones electromagnétiques o gravitatories tienen d'emitir ondes electromagnétiques y gravitatories, polo que dichu problema siempres va implicar la esistencia d'un campu continuo que radia enerxía dende'l centru de masa escontra fuera. Esto torga un el tratamientu del problema de los dos cuerpos como un sistema zarráu que caltién la enerxía total.

Mecánica cuánticaEditar

El problema de los dos cuerpos atraíos por fuercies electromagnétiques almite una solución en mecánica cuántica. De fechu el átomu hidrogenoide ye un casu particular del problema de los dos cuerpos na so versión cuántica. Ye vultable que nesti casu'l movimientu nun ye puramente planu. Por casu los electrones estabilizaos alredor d'un nucleu atómicu tienen una probabilidá non nula d'atopase en cualquier planu que contenga al nucleu a diferencia de lo que pasa col problema de los dos cuerpos clásicos onde les partícules tán siempres conteníes nun planu.

Ver tamiénEditar