Serie matemática

En matemátiques, una serie ye la xeneralización de la noción de suma aplicada a los términos d'una socesión matemática. Informalmente, ye la resultancia de sumar los términos:

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+\dots$

lo que suel escribise en forma más compacta col símbolu de sumatorio:

$S=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

L'estudiu de les series consiste na evaluación de la suma d'un númberu finito n de términos socesivos, y por aciu un pasu a la llende identificar el comportamientu de la serie a midida que n crez indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tien un primera y últimu términu bien definíos; sicasí nuna serie infinita, cada unu de los términos suel llograse a partir d'una determinada regla o fórmula, o por dalgún algoritmu. Al tener infinitos términos, esta noción suel espresase como serie infinita, pero a diferencia de les sumes finitas, les series infinites riquen de ferramientes del analís matemáticu pa ser debidamente entendíes y manipoliaes. Esiste una gran cantidá de métodos pa determinar la naturaleza de converxencia o non-converxencia de les series matemátiques, ensin realizar explícitamente los cálculos.

Tipos de series Sumes parciales =

Pa cualesquier socesión matemática $\{a_{n}\}$ de númberos racionales, reales, complexos, funciones, etc., la serie acomuñada defínese como la suma formal ordenada:

$S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

La socesión de sumes parciales $\{S_{k}\}\$ acomuñada a una socesión $\{a_{n}\}\$ ta definida pa cada $k\$ como la suma de la socesión $\{a_{n}\}\$ dende $a_{1}\$ hasta $a_{k}\$:

$S_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}$

Munches de les propiedaes xenerales de les series suelen enunciase en términos de les sumes parciales acomuñaes.

Converxencia

Per definición, la serie $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ converxe a la llende $L\$ si y namái si la socesión de sumes parciales acomuñada $S_{k}$ converxe a $L\$. Esta definición suel escribise como : $L=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\quad \Leftrightarrow \quad L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}$

Exemplos

• Una serie xeométrica ye aquella na que cada términu llógrase multiplicando l'anterior por una constante, llamada razón r. Nesti exemplu, la razón r = 1/2:

$S=1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}$

Polo xeneral, una serie xeométrica ye converxente, namái si |z| < 1, a:

$S=\sum _{n=0}^{\infty }az^{n}={a \over 1-z}$

• La serie harmónica ye la serie ::

$S=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}$

La serie harmónica ye diverxente.

• Una serie alternada ye una serie onde los términos camuden de signu:

$S=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}$

• Una serie telescópica ye la suma $\textstyle \sum a_{n}$, onde a_n = b_n − b_n+1:

$S=\sum _{n=0}^{N}(b_{n}-b_{n+1})$

La converxencia de dicha serie y la so suma pueden calculase fácilmente, yá que:

$S_{N}=(b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+\cdots +(b_{N-1}-b_{N})+(b_{N}-b_{N+1})=b_{0}-b_{N+1}$

• Una serie hipergeométrica ye una serie de la forma:

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\quad {\text{con}}\quad {\cfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\cfrac {\alpha n+\beta }{\alpha n+\gamma }}$

Converxencia de series

Ver tamién: Serie converxente y Serie diverxente

Una serie  $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ dizse que ye converxente (o que converxe) si la socesión S_N de sumes parciales tien una llende finito. Si la llende de S_N ye infinitu o nun esiste, dizse que la serie diverxe. Cuando esta llende esiste, llámase-y suma de la serie.

$S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}a_{i}$

Si tolos a_n son cero pa n abondo grande, la serie puede identificase con una suma finita. L'estudiu de la converxencia de series, centrar nes propiedaes de les series infinites qu'inclúin infinitos términos non nulos. Por casu, el númberu periódicu

Sn = 0.111111...

tien como representación decimal, la serie : $S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}$

Yá que estes series siempres converxen nos númberos reales (ver: espaciu completu), nun hai diferencia ente esti tipu de series y los númberos decimales que representen. Por casu, 0.111… y ¹/₉; o bien 1=0,9999...

Ver tamién

• Serie de Taylor
• Serie de Laurent
• 1 - 2 + 3 - 4 + . . .
• Series trigonométriques
• Fórmula de Faulhaber
• Serie converxente
• Llende d'una socesión
• Series matemátiques

Referencies

• Plantía:Springer.
• Weisstein, Eric W. «Series» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• A history of the calculus (n'inglés).

Enllaces esternos

• Apuntes_UPM