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Serie matemática

secuencia matemática

En matemátiques, una serie ye la xeneralización de la noción de suma aplicada a los términos d'una socesión matemática. Informalmente, ye la resultancia de sumar los términos:

lo que suel escribise en forma más compacta col símbolu de sumatorio:

L'estudiu de les series consiste na evaluación de la suma d'un númberu finito n de términos socesivos, y por aciu un pasu a la llende identificar el comportamientu de la serie a midida que n crez indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tien un primera y últimu términu bien definíos; sicasí nuna serie infinita, cada unu de los términos suel llograse a partir d'una determinada regla o fórmula, o por dalgún algoritmu. Al tener infinitos términos, esta noción suel espresase como serie infinita, pero a diferencia de les sumes finitas, les series infinites riquen de ferramientes del analís matemáticu pa ser debidamente entendíes y manipoliaes. Esiste una gran cantidá de métodos pa determinar la naturaleza de converxencia o non-converxencia de les series matemátiques, ensin realizar explícitamente los cálculos.

Tipos de series Sumes parciales =Editar

Pa cualesquier socesión matemática   de númberos racionales, reales, complexos, funciones, etc., la serie acomuñada defínese como la suma formal ordenada:

 

La socesión de sumes parciales   acomuñada a una socesión   ta definida pa cada   como la suma de la socesión   dende   hasta  :

 

Munches de les propiedaes xenerales de les series suelen enunciase en términos de les sumes parciales acomuñaes.

ConverxenciaEditar

Per definición, la serie   converxe a la llende   si y namái si la socesión de sumes parciales acomuñada   converxe a  . Esta definición suel escribise como :  

ExemplosEditar

  • Una serie xeométrica ye aquella na que cada términu llógrase multiplicando l'anterior por una constante, llamada razón r. Nesti exemplu, la razón r = 1/2:
 

Polo xeneral, una serie xeométrica ye converxente, namái si |z| < 1, a:

 

 

La serie harmónica ye diverxente.

 
  • Una serie telescópica ye la suma  , onde an = bnbn+1:
 

La converxencia de dicha serie y la so suma pueden calculase fácilmente, yá que:

 
 


Converxencia de seriesEditar

Una serie    dizse que ye converxente (o que converxe) si la socesión SN de sumes parciales tien una llende finito. Si la llende de SN ye infinitu o nun esiste, dizse que la serie diverxe. Cuando esta llende esiste, llámase-y suma de la serie.

 

Si tolos an son cero pa n abondo grande, la serie puede identificase con una suma finita. L'estudiu de la converxencia de series, centrar nes propiedaes de les series infinites qu'inclúin infinitos términos non nulos. Por casu, el númberu periódicu

Sn = 0.111111...

tien como representación decimal, la serie :  

Cuidao que estes series siempres converxen nos númberos reales (ver: espaciu completu), nun hai diferencia ente esti tipu de series y los númberos decimales que representen. Por casu, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

Enllaces esternosEditar