Llende matemática

En analís real y complexu, el conceutu de llende ye la piedra de toque que formaliza la noción intuitiva d'aproximamientu escontra un puntu concretu d'una socesión o una función, a midida que los parámetros d'esa socesión o función averar a un determináu valor. Nel analís los conceutos de series converxentes, derivada ya integral definida encontar por aciu el conceutu de llende.

En cálculu (especialmente en analís real y matemáticu) esti conceutu utilízase para definir los conceutos fundamentales de converxencia, continuidá, derivación, integración, ente otros. Magar, el conceutu de llende paez intuitivamente rellacionáu col conceutu de distancia, nun espaciu euclideu, ye la clase de conxuntos abiertos inducíos por felicidá métrica, lo que dexa definir rigorosamente la noción de llende.

El conceutu puede xeneralizase a otros espacios topolóxicos, como pueden ser les redes topolóxiques; de la mesma manera, ye definíu y utilizáu n'otres cañes de la matemática, como pue ser la teoría de categoríes.

Pa fórmules, el llende utilízase usualmente de forma embrivida por aciu lim como en lim(a_n) = a o se representa por aciu la flecha (→) como en a_n → a.

Llende d'una socesión

La socesión

a_{n}=2^{(4-n)}

pa

\scriptstyle n\in \mathbb {N} _{0}

converxe al valor 0, como puede reparase na ilustración.

La definición de llende matemática pal casu d'una socesión indícanos intuitivamente que los términos de la socesión avérense arbitrariamente a un únicu númberu o puntu $L$ , si esiste, pa valores grandes de $n$ . Esta definición ye bien paecida a la definición del cuando tiende a $\infty$ ..

Formalmente, dizse que la socesión $a_{n}$ tiende hasta la so llende $L$ , o que converxe o ye converxente (a $L$ ), y se denota como:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

si y solu si pa tou valor real ε>0 puede atopase un númberu natural $N$ tal que tolos términos de la socesión, a partir d'un ciertu valor natural $n$ mayor que $N$ , averar a $L$ cuando $n$ creza ilimitadamente. Escritu nun llinguaxe formal, y de manera compacta:

$a_{n}\to L\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0,\exists N>0:\forall n>N,|a_{n}-L|<\varepsilon$

Esta llende, si esiste, puede demostrase que ye únicu. Si los términos de la socesión nun converxen a nengún puntu específicu, entós dizse que la socesión ye diverxente.

Llende d'una función

Visualización nun sistema de coordenaes cartesianes de los parámetros utilizaos na definición de llende.

En analís real para funciones d'una variable, puede faese una definición de llende similar a la de llende d'una socesión, na cual, los valores que toma la función dientro d'un intervalu o radio de converxencia van averándose a un puntu fitu c — puntu d'acumuladura —, independientemente de qu'ésti perteneza al dominiu de la función.^[1] Esto puédese xeneralizar entá más a funciones de delles variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, dizse que la llende de la función f(x) ye L cuando x tiende a c, y escríbese:

$\lim _{x\to c}\,\,f(x)=L$

si puede atopase pa cada ocasión un x abondo cerca de c tal que'l valor de f(x) sía tan próximu a L como se deseye.

Pa un mayor rigor matemático utilízase la definición épsilon-delta de llende, que ye más estricta y convierte a la llende nuna gran ferramienta del analís real. La so definición ye la siguiente:

"La llende de f(x) cuando x tiende a c ye igual a L si y namái si pa tou númberu real ε mayor que cero esiste un númberu real δ mayor que cero tal que si la distancia ente x y c ye menor que δ, entós la distancia ente la imaxe de x y L ye menor que ε unidaes".

Esta definición, puede escribise utilizando términos lóxicu-matemáticos y de manera compacta:

{\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}

Esta definición ye equivalente a la llende d'una socesión, una función ye continua si:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)$

Llende d'una socesión de conxuntos

En teoría de conxuntos tamién s'utiliza'l conceutu de llende, que puede calculase sobre una socesión de conxuntos. Pa ello, los conxuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como pue ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más xeneral, y utilizando la definición de llende cimera y llende inferior pa una socesión de conxuntos cualesquier $A_{n}$ , dizse que la llende d'esta socesión esiste si la llende cimera y llende inferior esisten y son iguales. Polo xeneral tiense:

$\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)\leq \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$

Si la llende primer términu y el penúltimu son iguales entós verifíquense toles igualdaes. Estos conceutos son bien útiles en disciplines de les matemátiques como la teoría de la midida, especialmente n'espacio de probabilidá. Nun ye difícil construyir socesiones non converxentes onde se verifica que:

$\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}<\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

Llende n'espacios topolóxicos

Redes

Toles nociones anteriores de llende pueden ser unificaes y xeneralizaes a espacios topolóxicos arbitrarios por aciu la introducción de redes topolóxiques y la definición de les sos llendes.

Sía $(X,T)$ un espaciu topolóxicu y $(x_{d})_{d\in D}$ una rede en $X$ . Dizse que $x\in X$ ye un punto llende de la rede $(x\in \lim _{d\in D}x_{d})$ si la rede ta eventualmente en cada redolada de $x$ , esto ye, si sía'l que quier la redolada $V$ de $x$ (esto ye, sía'l que quier el conxuntu $V$ de forma qu'esista un abiertu $G$ tal que $x\in G\subset V$ ) esiste un $d_{0}\in D$ de tala forma que pa cada $d\in D$ con $d_{0}\sim d$ cumplir que $x_{d}\in V$ .

Filtros

Nel casu de filtros, por ser oxetos matemáticos similares a redes topolóxiques, tamién ye posible la definición de llende. N'efeutu, sía X un espaciu topolóxicu y x un puntu de X. Dizse qu'un filtru base B converxe a x, denotado como B → x o $\lim {\mathcal {B}}=x$ , si pa tou redolada O de x, esiste un B₀ ∈ B tal que B₀ ⊆ O. Nesti casu, x llámase llende de B y B denominar filtru base converxente.^[2]^[3]

Otramiente, puede aplicase a funciones, estendiendo la definición de continuidá a estes. Si X, Y son dos espacios topolóxicos y f: X → Y ye una función, siendo B un filtru entorno en X d'un puntu a perteneciente a X, entós la llende con respectu al filtru B de f ye y, denotado como

\lim _{\mathcal {B}}f=y

si B converxe a a, depués f converxe a y; dichu d'otra forma, y ye la llende de f nel puntu a.^[2]

Llende de Banach

En analís funcional, una llende de Banach ye un funcional llinial continuu $\phi :\ell _{\infty }\to \mathbb {R}$ definíu sobre'l espaciu de Banach $\ell _{\infty }$ pa toa socesión acutada de númberos complexos, onde se cumplen una serie de condiciones ente les que s'atopa que si $x_{n}$ ye una socesión converxente, entós $\phi (x)=\lim _{n}x_{n}$ , xeneralizando'l conceutu de llende. Poro, $\phi$ ye una estensión del funcional continuu $\lim :c\mapsto \mathbb {C} .$ ^[4]

En particular, la esistencia de la llende de Banach nun ye única.^[4]

Llendes en teoría de categoríes

En teoría de categoríes, una caña de la matemática, defínese'l conceutu astractu de llende, que usa propiedaes esenciales de construcciones universales tales como productos y llendes inverses.

Llendes infinites

La evaluación de $\lim _{x\to c}f(x)=L$ rique mentalmente de la evaluación de la función nun dominiu que se fai cada vez mas pequeñu alredor de c, quien de la mesma crea un dominiu que se fai más pequeñu alredor de L. El calculo d'una llende onde $x\to \infty$ , significa predicir un resultáu mientres una alloñar del orixe de coordenaes nun gráficu. Lo primero qu'unu tien de saber ye la llende de la función $f(x)={\frac {1}{x}}$ cuando $x\to \pm \infty$ , al graficarse esta función puede notase como mientres más grande ye x, más pequeñu ye f y deduzse

$\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0$

Al evaluase una llende que tiende a infinitu nel cuál hai una fracción, usualmente estrémense dambos el numberador como'l denominador pol termino col esponente más altu, los terminos baxos quedaren como llende paecíu al anterior y vamos poder desfacer d'ellos (ver exemplu)

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+2x-4}{6x^{2}-x}}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+2x-4}{6x^{2}-x}}\cdot {\frac {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}}\\&={\frac {3+2\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}-4\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}{\frac {1}{x}}}{6-\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}}}\\&={\frac {3+2\cdot 0-4\cdot 0\cdot 0}{6-0}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Ver tamién

Referencies

↑ Barbolla y otros: Introducción al analís real
↑ ^2,0 ^2,1 Bourbaki, Nicolas (1998). Xeneral Topology: Chapters 1-4, reimpresa (n'inglés), Springer, páx. 68-73. ISBN 3540642412.
↑ Sharma, J. N. (2010). Krishna's Topology: (For Honours and Post Graduate Students of All Indian Universities), 37 (n'inglés), Krishna Prakashan Media, páx. 449.
↑ ^4,0 ^4,1 Plantía:PlanetMath

Bibliografía

Apostol, Tom M. (1960). Analís matemáticu: Introducción moderna al cálculu cimeru. Reverté. ISBN 84-291-5000-5.
Rei Pastor, Julio (1985). Analís matemáticu: Teoría d'ecuaciones; cálculu infinitesimal d'una variable. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9.
Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al analís matemáticu. Limusa. ISBN 968-18-0997-1.

Enllaces esternos

Plantía:Mathwords
Weisstein, Eric W. «Llende matemática» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Llendes de funciones. Introducción
Introducción al Cálculu de Llendes (videu)

[1] Barbolla y otros: Introducción al analís real

[xen_atopo-2] 2,0 ^2,1 Bourbaki, Nicolas (1998). Xeneral Topology: Chapters 1-4, reimpresa (n'inglés), Springer, páx. 68-73. ISBN 3540642412.

[3] Sharma, J. N. (2010). Krishna's Topology: (For Honours and Post Graduate Students of All Indian Universities), 37 (n'inglés), Krishna Prakashan Media, páx. 449.

[banach-4] 4,0 ^4,1 Plantía:PlanetMath

[1]

[2]

[3]

[4]