Llende d'una socesión

Sucesión 001.svg

El llende d'una socesión ye unu de los conceutos más antiguos del analís matemáticu. Ye'l valor al que tienden los términos de la socesión cuando toma valores bien grandes.[1] Representar por aciu , y lléese llende cuando tiende a más infinitu de sub .[1]

Esti conceutu ta estrechamente amestáu al de converxencia, una socesión d'elementos d'un conxuntu ye converxente si y solu si nel mesmu conxuntu esiste un elementu (al que se-y conoz como llende) al cual la socesión avérase tantu como se deseye a partir d'un momentu dau. Si una socesión tien llende, dizse que ye una socesión #Tipos de converxencia converxente, y que la socesión converxe o tiende a la llende. En casu contrariu, la socesión ye diverxente.[ensin referencies]

La definición significa que eventualmente tolos elementos de la socesión avérense tantu como queramos al valor llende. La condición qu'impon que los elementos atópense arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes non implica, polo xeneral, que la socesión tenga una llende (vease socesión de Cauchy).

Qué s'entiende por próximu da llugar a distintes definiciones de llende dependiendo del conxuntu onde se definió la socesión (vease distancia).

Llende d'una socesión de númberos realesEditar

Definición formalEditar

El términu xeneral d'una socesión   tien llende  , cuando   tiende a  , si pa tou valor   por pequeñu que sía, esiste un valor   a partir del cual si   tenemos que la distancia de   a   ye menor que  , esto ye:

 . x=a

NotaciónEditar

  o bien  

o tamién

 

o a cencielles

 

ExemplosEditar

  • La socesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe a la llende 0.
  • La socesión 1, -1, 1, -1, 1, ... ye trémbole.
  • La socesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe a la llende 1.
  • Si a ye un númberu real con valor absolutu |a| < 1, entós la socesión an tien llende 0. Si 0 < a ≤ 1, entós la socesión a1/n tien llende 1.
  •  
  •  
  •  

PropiedaesEditar

  • Si una socesión   tien llende positiva, esiste un términu a partir del cual tolos términos de la socesión son positivos.
  • Si una socesión   tien llende negativa, esiste un términu a partir del cual los términos de la socesión son negativos.
  • Si una socesión   converxe a cero, non puede asegurase nada avera del signu de cada unu de los términos de la socesión.
  • Si una socesión   tiende a menos infinitu y   entós   tiende a 0.

Llende d'una socesión complexaEditar

Dizse que la socesión converxe escontra un complexu   si y solu si :  Nótese que ye la mesma definición que pa  , con módulu en llugar del valor absolutu.

Puede escribise

  o más a cencielles, si nun hai ambigüedá  

Les socesiones complexes converxentes tienen les mesmes propiedaes que les socesiones reales, sacante les de rellación d'orde: la llende ye únicu, una socesión converxente tien módulu acutáu, toa socesión de Cauchy converxe (n'efeutu,   ye tamién completu).

EjemploEditar

  • Socesiones en   ó  
  • Socesiones en  
  • Socesiones nel espaciu  
  • Socesiones nel espaciu  
  • Socesiones nel espaciu de les funciones continues  

Tipos de converxenciaEditar

Converxencia puntualEditar

El conceutu de converxencia puntual ye unu de los varios sentíos nos cualos una socesión de funciones puede converxer a una función particular.

Una socesión de funciones   definíes nun conxuntu non vacíu   con valores nun espaciu métricu   converxe puntualmente a una función   si

 

pa cada   fixu. Esto significa que

(5)  

La socesión de funciones   con   converxe puntualmente a la función   cuidao que

 

pa cada   fixu.

Converxencia uniformeEditar

Una socesión de funciones   definíes nun conxuntu non vacíu   con valores nun espaciu métricu   converxe uniformemente a una función   si pa tou   esiste un enteru   (que depende de  ) tal que

 

pa tou   y tou  . Esto ye,

(6)  

El conceutu de converxencia uniforme ye un conceutu más fuerte qu'el de converxencia puntual. En (5),   puede depender de   y de   ente qu'en (6),   namái puede depender de  . Asina, toa socesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. L'enunciáu recíprocu ye falsu, y un contraejemplo clásicu constituyir les socesión de funciones   definíes por  . Esta socesión converxe puntualmente a la función

 

yá que

 

ente que   Sicasí esta socesión nun converxe uniformemente, pos para   nun esiste un   que satisfaiga (6).

D'especial interés ye l'espaciu de les funciones continues   definíes sobre un compactu   Nesti casu, una socesión de funciones   converxe uniformemente a una función   si, y namái si, converxe na norma del sup, i.y.,

 

Socesiones n'otros espacios matemáticosEditar

Una socesión d'elementos   d'un espaciu métricu   converxe a un elementu   si pa tou númberu   esiste un enteru positivu   (que depende de  ) tal que

(1)  

Intuitivamente, esto significa que los elementos   de la socesión pueden faese arbitrariamente cercanos a   si   ye abondo grande, yá que   determina la distancia ente   y  . A partir de la definición ye posible demostrar que si una socesión converxe, facer escontra una única llende.

La definición aplicar en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con productu internu. Nel casu d'un espaciu normado   la norma   induz la métrica   pa cada  ; nel casu d'un espaciu con productu internu   el productu internu   induz la norma   pa cada  

Converxencia uniforme sobre compactosEditar

Converxencia débilEditar

Una socesión dizse que converxe sele a   o en sentíu débil si pa toa funcional llinial  ,   converxe a  .

Por casu la serie   dende   hasta infinitu converxe sele a cero. Pos:[ensin referencies]
 
Tou esto, pos   ye llinial.

Llende nun espaciu topolóxicuEditar

Artículu principal: rede (matemática)

Una xeneralización d'esta rellación, pa una socesión de puntos   nun espaciu topolóxicu T:

Si   dizse que L ye una llende d'esta socesión y escríbese
 
si y solu si pa tou redolada S de L esiste un númberu natural N tal que   pa tou  

De forma intuitiva, suponiendo que se tien una socesión de puntos (por casu un conxuntu infinitu de puntos numberaos utilizando los númberos naturales) en dalgún tipu d'oxetu matemáticu (por casu los númberos reales o un espaciu vectorial) qu'almite'l conceutu de redolada (nel sentíu de "tolos puntos dientro d'una cierta distancia d'un dau puntu fixu"). Un puntu L ye la llende de la socesión si pa toa redolada que se defina, tolos puntos de la socesión (cola posible esceición d'un númberu finito de puntos) tán próximos a L. Esto pue ser interpretáu como si hubiera un conxuntu d'esferes de tamaños decrecientes hasta cero, toes centraes en L, y pa cualesquier d'estes esferes, solo esistiera un númberu finito de númberos fora d'ella.

Ye posible tamién qu'una socesión nun espaciu topolóxicu xeneral, pueda tener delles llendes distintes,[ensin referencies] pero una socesión converxente tien un únicu llende si T ye un espaciu de Hausdorff, por casu la recta real (estendida), el planu complexu, los sos subconxuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).

Teoría de la probabilidáEditar

En teoría de la probabilidá esisten distintes nociones de converxencia: converxencia de funciones medibles, converxencia en distribución y llendes de variables aleatories.

Ver tamiénEditar

ReferenciesEditar

  1. 1,0 1,1 Arias Cabezas, José María (2008). «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Cirgüeyu, Sociedá Llindada, 19. ISBN 9788421659854.

Enllaces esternosEditar