Llende d'una socesión

El llende d'una socesión ye unu de los conceutos más antiguos del analís matemáticu. Ye'l valor al que tienden los términos de la socesión cuando $n$ toma valores bien grandes.^[1] Representar por aciu $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ , y lléese llende cuando $n$ tiende a más infinitu de $a$ sub $n$ .^[1]


$a_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{si }}n=0\\{\cfrac {a_{n-1}}{2}}&{\mbox{si }}n>0\end{cases}}$
$a_{n}=16\cdot 2^{-n}$

Esti conceutu ta estrechamente amestáu al de converxencia, una socesión d'elementos d'un conxuntu ye converxente si y solu si nel mesmu conxuntu esiste un elementu (al que se-y conoz como llende) al cual la socesión avérase tanto como se deseye a partir d'un momentu dau. Si una socesión tien llende, dizse que ye una socesión #Tipos de converxencia converxente, y que la socesión converxe o tiende a la llende. En casu contrariu, la socesión ye diverxente.^{[ensin referencies]}

La definición significa que eventualmente tolos elementos de la socesión avérense tanto como queramos al valor llende. La condición qu'impon que los elementos atópense arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes non implica, polo xeneral, que la socesión tenga una llende (vease socesión de Cauchy).

Qué s'entiende por próximu da llugar a distintes definiciones de llende dependiendo del conxuntu onde se definió la socesión (vease distancia).

Llende d'una socesión de númberos reales

Definición formal

El términu xeneral d'una socesión $\{\,x_{n}\}_{n\geq 1}$ tien llende $\,l$ , cuando $\,n$ tiende a $\infty$ , si pa tou valor $\,\varepsilon >0$ por pequeñu que sía, esiste un valor $\,n_{0}$ a partir del cual si $\,n>n_{0}$ tenemos que la distancia de $\,l$ a $\,x_{n}$ ye menor que $\,\varepsilon$ , esto ye:

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}>0:\forall n>n_{0},d(x_{n},l)<\varepsilon$ . x=a

Notación

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=l$ o bien $x_{n}{\xrightarrow[{\;\;n\to \infty \;\;}]{}}l$

o tamién

$x_{n}\ {\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ x\quad {\mbox{cuando}}\quad n\to \infty$

o a cencielles

$x_{n}\to x.$

Exemplos

La socesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe a la llende 0.
La socesión 1, -1, 1, -1, 1, ... ye trémbole.
La socesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe a la llende 1.
Si a ye un númberu real con valor absolutu |a| < 1, entós la socesión aⁿ tien llende 0. Si 0 < a ≤ 1, entós la socesión a^1/n tien llende 1.
$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ si }}p>0$
$\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1$
$\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ si }}a>0$

Propiedaes

Si una socesión $\,\{a_{n}\}$ tien llende positiva, esiste un términu a partir del cual tolos términos de la socesión son positivos.
Si una socesión $\,\{a_{n}\}$ tien llende negativa, esiste un términu a partir del cual los términos de la socesión son negativos.
Si una socesión $\,\{a_{n}\}$ converxe a cero, nun puede asegurase nada avera del signu de cada unu de los términos de la socesión.
Si una socesión $\,\{a_{n}\}$ tiende a menos infinitu y $\,\{a_{n}\}<0$ entós ${\frac {1}{a_{n}}}$ tiende a 0.

Llende d'una socesión complexa

Dizse que la socesión converxe escontra un complexu $\ell$ si y solu si : $(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*})(\exists N\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )(n\geq N\Rightarrow |o_{n}-\ell |<\varepsilon )$ Nótese que ye la mesma definición que pa $\mathbb {R}$ , con módulu en llugar del valor absolutu.

Puede escribise

\lim _{n\to +\infty }o_{n}=\ell

o más a cencielles, si nun hai ambigüedá

\lim o=\ell

Les socesiones complexes converxentes tienen les mesmes propiedaes que les socesiones reales, sacante les de rellación d'orde: la llende ye únicu, una socesión converxente tien módulu acutáu, toa socesión de Cauchy converxe (n'efeutu, $\mathbb {C}$ ye tamién completu).

Exemplos

Socesiones en $\mathbb {R}$ ó $\mathbb {C}$
Socesiones en $\mathbb {R} ^{n}$
Socesiones nel espaciu $\ell ^{p}$
Socesiones nel espaciu $L^{2}({\mathbb {R} }^{n})$
Socesiones nel espaciu de les funciones continues $C[a,b]\,$

Tipos de converxencia

Converxencia puntual

El conceutu de converxencia puntual ye unu de los varios sentíos nos cualos una socesión de funciones puede converxer a una función particular.

Una socesión de funciones $f_{n}:S\to M$ definíes nun conxuntu non vacíu $S\,$ con valores nun espaciu métricu $(M,d\,)$ converxe puntualmente a una función $f:S\to M$ si

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$

pa cada $x\in S$ fixu. Esto significa que

(5) $\forall x\in S\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \,N\in \mathbb {N} \quad |\quad n\geq N\ \Longrightarrow \ d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon .$

La socesión de funciones $f_{n}(x):=x/n\,$ con $x\in [0,1]$ converxe puntualmente a la función $f(x):=0\,$ yá que

$\left\vert {\frac {x}{n}}\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\to 0$

pa cada $x\in [0,1]$ fixu.

Converxencia uniforme

Una socesión de funciones $f_{n}:S\to M$ definíes nun conxuntu non vacíu $S\,$ con valores nun espaciu métricu $(M,d\,)$ converxe uniformemente a una función $f:S\to M$ si pa tou $\varepsilon >0$ esiste un enteru $N\,$ (que depende de $\varepsilon$ ) tal que

$d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$

pa tou $x\in S$ y tou $n\geq N$ . Esto ye,

(6) $\forall \varepsilon >0\quad \exists \,N\in \mathbb {N} \quad |\quad d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon \quad \forall x\in S\quad \forall n\geq N.$

El conceutu de converxencia uniforme ye un conceutu más fuerte que'l de converxencia puntual. En (5), $N\,$ puede depender de $\varepsilon$ y de $x\,$ ente qu'en (6), $N\,$ namái puede depender de $\varepsilon$ . Asina, toa socesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. L'enunciáu recíprocu ye falsu, y un contraejemplo clásicu constituyir les socesión de funciones $f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R}$ definíes por $f_{n}(x)=x^{n}\,$ . Esta socesión converxe puntualmente a la función

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si}}\quad 0\leq x<1\\1,&{\mbox{si}}\quad x=1\end{cases}}$

yá que

$|f_{n}(x)-f(x)|=|x^{n}|\to 0\quad {\mbox{si}}\quad 0\leq x<1$

ente que $\vert f_{n}(1)-f(1)\vert =0.$ Sicasí esta socesión nun converxe uniformemente, pos para $\varepsilon =1/4,$ nun esiste un $N\,$ que satisfaiga (6).

D'especial interés ye l'espaciu de les funciones continues $C(\Omega )\,$ definíes sobre un compactu $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.$ Nesti casu, una socesión de funciones $f_{n}\in C(\Omega ),\,$ converxe uniformemente a una función $f\in C(\Omega ),\,$ si, y namái si, converxe na norma del sup, i.e.,

$f_{n}{\stackrel {o}{\longrightarrow }}\ f\quad \Longleftrightarrow \quad f_{n}{\stackrel {\Vert \cdot \Vert }{\longrightarrow }}\ f$

Socesiones n'otros espacios matemáticos

Una socesión d'elementos $\{x_{n}\}\,$ d'un espaciu métricu $(M,d\,)$ converxe a un elementu $x\in M$ si pa tou númberu $\varepsilon >0,$ esiste un enteru positivu $N\,$ (que depende de $\varepsilon$ ) tal que

(1) $n\geq N\quad \Longrightarrow \quad d(x_{n},x)<\varepsilon .$

Intuitivamente, esto significa que los elementos $x_{n}\,$ de la socesión pueden faese arbitrariamente cercanos a $x\,$ si $n\,$ ye abondo grande, yá que $d(x_{n},x\,)$ determina la distancia ente $x_{n}\,$ y $x\,$ . A partir de la definición ye posible demostrar que si una socesión converxe, facer escontra una única llende.

La definición aplicar en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con productu internu. Nel casu d'un espaciu normado $(Y,\Vert \cdot \Vert ),$ la norma $\Vert \cdot \Vert$ induz la métrica $d(x,y):=\Vert y-x\Vert$ pa cada $x,y\in Y$ ; nel casu d'un espaciu con productu internu $(Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle ),$ el productu internu $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ induz la norma $\Vert x\Vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ pa cada $x\in Y.$

Converxencia uniforme sobre compactos

Converxencia débil

Una socesión dizse que converxe sele a $x$ o en sentíu débil si pa toa funcional llinial $f$ , $f(x_{n})$ converxe a $f(x)$ .

Por casu la serie $1/n$ dende $n=1$ hasta infinitu converxe sele a cero. Pos:^{[ensin referencies]}
$\lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n}}\cdot f\left({\frac {1}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {f\left({\frac {n}{n}}\right)}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(1)}{n}}=0$
Tou esto, pos $f$ ye llinial.

Llende nun espaciu topolóxicu

Una xeneralización d'esta rellación, pa una socesión de puntos $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ nun espaciu topolóxicu T:

Si

L\in T\;

dizse que L ye una llende d'esta socesión y escríbese

L=\lim _{n\to \infty }x_{n}

si y solu si pa tou redolada S de L esiste un númberu natural N tal que

x_{n}\in S\;

pa tou

n>N.\;

De forma intuitiva, suponiendo que se tien una socesión de puntos (por casu un conxuntu infinitu de puntos numberaos utilizando los númberos naturales) en dalgún tipu d'oxetu matemáticu (por casu los númberos reales o un espaciu vectorial) qu'almite'l conceutu de redolada (nel sentíu de "tolos puntos dientro d'una cierta distancia d'un dau puntu fixu"). Un puntu L ye la llende de la socesión si pa toa redolada que se defina, tolos puntos de la socesión (cola posible esceición d'un númberu finito de puntos) tán próximos a L. Esto pue ser interpretáu como si hubiera un conxuntu d'esferes de tamaños decrecientes hasta cero, toes centraes en L, y pa cualesquier d'estes esferes, solo esistiera un númberu finito de númberos fora d'ella.

Ye posible tamién qu'una socesión nun espaciu topolóxicu xeneral, pueda tener delles llendes distintes,^{[ensin referencies]} pero una socesión converxente tien un únicu llende si T ye un espaciu de Hausdorff, por casu la recta real (estendida), el planu complexu, los sos subconxuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rⁿ...).

Teoría de la probabilidá

En teoría de la probabilidá esisten distintes nociones de converxencia: converxencia de funciones medibles, converxencia en distribución y llendes de variables aleatories.

Ver tamién

Referencies

↑ ^1,0 ^1,1 Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada, páx. 19. ISBN 9788421659854.

Enllaces esternos

Weisstein, Eric W. «Convergent Sequence» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Exemplos de socesiones

[ls-1] 1,0 ^1,1 Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada, páx. 19. ISBN 9788421659854.

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