Potencia de dos

Una potencia de dos ye un númberu de la forma $2^{n}$ onde n ye un númberu enteru, esto ye, la resultancia de la potenciación col númberu dos como base y el númberu enteru n como esponente.

Nun contestu nel que sólo consideranse a los númberos enteros, n queda acutáu a los númberos non-negativos.^[1] Así, quedannos los númberos 1, 2 y 2 multiplicáu por si mesmu un númberu concretu de vegaes.^[2]

Nun sistema binariu, al ser 2 la base del mesmu, les potencies de dos son comúnes nel campu de la informática. Escritu en binariu, les potencies de dos siempre tien la forma de 100...000 o 0,000...001, lo mesmu q'ocurre coles potencies de diez nun sistema decimal.

Informática

Dos eleváu a n, escritu como $2^{n}$ , ye'l númberu de formes en que puen organizáse los bits d'una pallabra binaria de llargor n. Una pallabra, interpretada como un enteru ensin signu, puede representar valores de 0 (000 ... 0002) a 2n - 1 (111 ... 1112) inclusive. Los valores enteros con signu correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero. Comoquier, unu menos qu'una potencia de dos ye de cutiu la llende cimera d'un númberu enteru nos ordenadores binarios. De resultes, los númberos d'esta forma apaecen con frecuencia nos programes informáticos. Por exemplu, un videoxuegu que s'executa nun sistema de 8 bits puede llindar la puntuación o la cantidá d'elementos que'l xugador puede retener a 255, la resultancia d'usar un byte, que tien 8 bits de llargor, para almacenar el númberu, dando un valor máximu de 28 - 1 = 255. Por exemplu, nel Legend of Zelda orixinal, el personaxe principal taba llindáu a llevar 255 rupies (la moneda del xuegu) nun momentu dáu, y el videoxuegu Pac-Man ye famosu por terminar nel nivel 256.

Les potencies de dos utilícense de cutiu para midir la memoria del ordenador. Un byte agora considérase ocho bits (un octeto, lo que da como resultáu la posibilidá de 256 valores (2⁸). (El términu byte una vegada significó (y en dellos casos, inda significa) una colección de bits, típicamente de 5 a 32 bits, en llugar de que solo una unidá de 8 bits). El prefixu quilu, xunto col byte, pue ser, y utilizóse tradicionalmente, para significar 1024 (2¹⁰). Sicasí, polo xeneral, el términu quilu utilizóse nel Sistema Internacional d'Unidaes para significar 1000 (10³). Los prefixos binarios hanse estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1024. Casi tolos rexistros de procesador tienen tamaños que son potencies de dos, siendo bien común 32 o 64.

Los númberos que nun son potencies de dos asoceden en delles situaciones, como les resoluciones de video, pero de cutiu son la suma o'l productu de solu dos o trés potencies de dos, o potencies de dos menos unu. Por casu, 640 = 32 × 20 y 480 = 32 × 15. Dicho otra manera, tienen patrones de bits abondo regulares.

Primos de Mersenne y Fermat

Un númberu primu que ye unu menos qu'una potencia de dos ye un primu de Mersenne. Esti ye'l casu del númberu 31, que ye 2⁵ - 1 (32-1).

Si el númberu primu ye una unidá superior a una potencia de dos, dizse que ye un primu de Fermat.

Tabla de valores

$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$
0	1	16	65,536	32	4,294,967,296	48	281,474,976,710,656
1	2	17	131,072	33	8,589,934,592	49	562,949,953,421,312
2	4	18	262,144	34	17,179,869,184	50	1,125,899,906,842,624
3	8	19	524,288	35	34,359,738,368	51	2,251,799,813,685,248
4	16	20	1,048,576	36	68,719,476,736	52	4,503,599,627,370,496
5	32	21	2,097,152	37	137,438,953,472	53	9,007,199,254,740,992
6	64	22	4,194,304	38	274,877,906,944	54	18,014,398,509,481,984
7	128	23	8,388,608	39	549,755,813,888	55	36,028,797,018,963,968
8	256	24	16,777,216	40	1,099,511,627,776	56	72,057,594,037,927,936
9	512	25	33,554,432	41	2,199,023,255,552	57	144,115,188,075,855,872
10	1,024	26	67,108,864	42	4,398,046,511,104	58	288,230,376,151,711,744
11	2,048	27	134,217,728	43	8,796,093,022,208	59	576,460,752,303,423,488
12	4,096	28	268,435,456	44	17,592,186,044,416	60	1,152,921,504,606,846,976
13	8,192	29	536,870,912	45	35,184,372,088,832	61	2,305,843,009,213,693,952
14	16,384	30	1,073,741,824	46	70,368,744,177,664	62	4,611,686,018,427,387,904
15	32,768	31	2,147,483,648	47	140,737,488,355,328	63	9,223,372,036,854,775,808

Potencies de 1024

Les primeres potencies de 2¹⁰ (1024) son un pocu más grandes que les mismes potencies de 1000 (10³):

2⁰	=	1	= 1000⁰	(0% esviación)
2¹⁰	=	1 024	≈ 1000¹	(2.4% esviación)
2²⁰	=	1 048 576	≈ 1000²	(4.9% esviación)
2³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000³	(7.4% esviación)
2⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000⁴	(10.0% esviación)
2⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000⁵	(12.6% esviación)
2⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000⁶	(15.3% esviación)
2⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000⁷	(18.1% esviación)
2⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000⁸	(20.9% esviación)
2⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000⁹	(23.8% esviación)
2¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000¹⁰	(26.8% esviación)
2¹¹⁰	=	1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024	≈ 1000¹¹	(29.8% esviación)
2¹²⁰	=	1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576	≈ 1000¹²	(32.9% esviación)
2¹³⁰	=	1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824	≈ 1000¹³	(36.1% esviación)
2¹⁴⁰	=	1 393 796 574 908 163 946 345 982 392 040 522 594 123 776	≈ 1000¹⁴	(39.4% esviación)
2¹⁵⁰	=	1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624	≈ 1000¹⁵	(42.7% esviación)

Potencies de dos cuyo esponente ye una potencia de dos

Debíu a que los datos (en particula, les enteros) y les direiciones de esos datos tan almacenaos nel mesmu hardware y dellos datos son almacenaos en octetos, les potencies de dos cuyo esponente ye una potencia son mui comúnes.

A veces, estos númberos son referíos cómo potencies de dos de Fermat.

Los númberos de la forma $2^{2^{n}}$ formen una secuencia irracional, esto ye, una serie converxente a un númberu irracional. Para cada secuencia $x_{i}$ de númberos enteros positivos, la serie:

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots$

converxe a un númberu irracional.^[3] Amás, ye la serie irracional que más lento converxe de les que son conocíes.

Referencies

↑ Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4.
↑ Sewell, Michael J. (1997). Mathematics Masterclasses. Oxford: Oxford University Press. p. 78. ISBN 0-19-851494-8.
↑ Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001

Enllaces esternos

[1] Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Sewell, Michael J. (1997). Mathematics Masterclasses. Oxford: Oxford University Press. p. 78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001

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[2]

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