Productu escalar

En matemátiques, el productu escalar, tamién conocíu como productu internu, productu interior o productu puntu, ye una operación alxebraica que toma dos secuencies de númberos d'igual llargor (usualmente na forma de vectores) y retorna un únicu númberu.

Productu escalar
operación binaria, vector multiplication (en) y inner product (en)

Alxebraicamente, el productu escalar ye la suma de los productos de les correspondientes entraes en dos secuencies de númberu. Xeométricamente, ye'l productu de les magnitud euclidianes de los dos vectores y el cosenu del ángulu ente ellos. El nome del productu puntu vien del símbolu que s'utiliza pa denotar esta operación " · ". El nome alternativu de productu escalar enfatiza el fechu del que la resultancia ye un escalar en llugar d'un vector (nel casu d'espacios de tres dimensiones).

Definición xeneral

El productu interior o productu escalar de dos vectores nun espaciu vectorial ye una forma bilineal, hermítica y definida positiva, polo que puede considerase una forma cuadrática definida positiva.

Más específicamente, ye una aplicación que'l so dominiu ye $V^{2}$ y el so codominio ye $K$, onde $V$ ye un espaciu vectorial y $K$ el cuerpu d'escalares respeutivu. Esta aplicación amplía la oportunidá d'emplegar los conceutos de la xeometría euclídea tradicional: llargores, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El productu escalar puede definise tamién nos espacios euclídeos de dimensión mayor a trés, y polo xeneral nos espacios vectoriales reales y complexos. Los espacios vectoriales dotaos de productu escalar reciben el nome d'espacios prehilbertianos.

Un productu escalar puede espresase como:

${\begin{array}{rrcl}\langle \cdot ,\cdot \rangle :&\;V\times V&\longrightarrow &\mathbb {K} \\&(x,y)&\longrightarrow &a=\langle x,y\rangle \end{array}}$

onde $V\;$ ye un espaciu vectorial y $\mathbb {K}$ ye'l cuerpu sobre'l que ta definíu $V\;$. La función $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (que toma como argumentos dos elementos de $V\;$, y devuelve un elementu del cuerpu $\mathbb {K}$) tien de satisfaer les siguientes condiciones:

1. Linealidá pela esquierda: $\langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle$, y linealidá conxugada pela derecha: $\langle x,ai+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle$
2. Hermiticidá: $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$,
3. Definida positiva: $\langle x,x\rangle \geq 0\,$, y $\langle x,x\rangle =0\,$ si y namái si x = 0,

onde $x,y,z\in V$ son vectores de $V$, $a,b\in \mathbb {K}$ representen escalares del cuerpu $\mathbb {K}$ y ${\overline {c}}$ ye'l conxugáu del complexu $c$.

Si'l cuerpu tien parte imaxinaria nula (v.g., $\mathbb {R}$), la propiedá de ser sesquilineal conviértese en ser bilineal y el ser hermítica conviértese en ser simétrica.

Tamién suel representase por:

${\begin{array}{rrcl}\bullet :&\;V\times V&\longrightarrow &\mathbb {K} \\&(x,y)&\longrightarrow &a=x\bullet y\end{array}}$

Un espaciu vectorial sobre'l cuerpu $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ dotáu d'un productu escalar denomínase espaciu prehilbert o espaciu prehilbertiano. Si amás ye completu, dizse que ye un espaciu de Hilbert. Si la dimensión ye finita y el cuerpu ye'l de los númberos reales, va dicise que ye un espaciu euclideu; si'l cuerpu ye'l de los númberos complexos (y la dimensión ye finita) va dicise que ye un espaciu unitariu.

Tou productu escalar induz una norma sobre l'espaciu nel que ta definíu, de la siguiente manera:

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

En tal casu, esta ye una de les infinites normes que pueden ser xeneraes a partir d'un productu interior.

Definición xeométrica del productu escalar nun espaciu euclideu real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) ye la proyeición escalar de A en B.

El productu escalar de dos vectores nun espaciu euclideu defínese como'l productu de los sos módulos pol cosenu del ángulu $\theta$ que formen.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta$

Nos espacios euclídeos, la notación avezada de productu escalar ye $\mathbf {o} \cdot \mathbf {v}$

Esta definición de calter xeométricu ye independiente del sistema de coordenaes escoyíu y polo tanto de la base del espaciu vectorial escoyida.

Proyeición d'un vector sobre otru

Yá que |A| cos θ representa'l módulu de la proyeición del vector A sobre la direición del vector B, esto ye |A| cos θ = proy A_B, va ser

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|B|\left({\text{proy}}A_{B}\right)$

de cuenta que'l productu escalar de dos vectores tamién puede definise como'l productu del módulu d'unu d'ellos pola proyeición del otru sobre él.

Ángulos ente dos vectores

La espresión xeométrica del productu escalar dexa calcular el cosenu del ángulu esistente ente los vectores, por aciu la siguiente definición formal: que nos diz que la multiplicación d'un escalar denomináu K tien que ser distintu de cero.

$\cos \theta ={\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over {\big \|}\mathbf {A} {\big \|}\,{\big \|}\mathbf {B} {\big \|}}\,$

.

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando formen ángulu rectu ente sigo. Si'l productu escalar de dos vectores ye cero, dambos vectores son ortogonales

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B}$

una y bones el $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$.

Vectores paralelos o nuna mesma direición

Dos vectores son paralelos o lleven la mesma direición si l'ángulu que formen ye de 0 radienes (0 graos) o de π radianes (180 graos).

Cuando dos vectores formen un ángulu cero, el valor del cosenu ye la unidá, polo tanto'l productu de los módulos val lo mesmo que'l productu escalar.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A\,B\,\cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |=1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |=|A|\,|B|$

Propiedaes del productu escalar

Sían A, B y C vectores nel planu o nel espaciu y sía m un escalar:

1. Conmutativa:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$

2. Distributiva al respeutive de la suma vectorial:

$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C}$

3. Asociativa respectu al productu por un escalar m:

$m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )$

Espresión analítica del productu escalar

Si los vectores A y B espresar en función de les sos componentes cartesianes rectangulares, tomando la base canónica en $\mathbb {R} ^{3}$ formada polos vectores unitarios i , j , k tenemos:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$\mathbf {B} =B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \,$

.

El productu escalar realízase como un productu matricial de la siguiente forma:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,$

.

Asina, xeneralizando pa un espaciu de n dimensiones

si A y B son vectores o puntos nun espaciu $\mathbb {R} ^{n}$ entós:

el productu escalar realizaríase como un productu matricial de la siguiente forma:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&...&A_{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\.\\.\\.\\B_{n}\\\end{bmatrix}}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+...+A_{n}B_{n}\,$

.

Norma o Módulu d'un vector

Defínese como la llargor del segmentu empobináu (vector) nel espaciu métricu consideráu.

Calcúlase al traviés del productu internu del vector consigo mesmu.

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \quad \rightarrow \quad {\big \|}\mathbf {A} {\big \|}={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}$

Efectuáu'l productu escalar, tenemos:

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =(A_{1},A_{2},...,A_{n})^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}=\sum A_{i}^{2}$

de cuenta que

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}={\sqrt {\sum A_{i}^{2}}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}}}$

Por componentes, tomando la base canónica en $\mathbb {R} ^{3}$ formada polos vectores unitarios {i, j, k}

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

.

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\,$

.

de cuenta que

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\,$

.

Productos interiores definíos n'espacios vectoriales avezaos

Citamos de siguío dellos productos estudiaos xeneralmente en Teoría d'Espacios Normados. Toos estos productos llamaos canónicos- son namái dalgunos de los infinitos productos interiores que pueden definise nos sos respeutivos espacios.

• Nel espaciu vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ suelse definir el productu interior (llamáu, nesti casu en concretu, productu puntu) por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}=\sum a_{i}\cdot b_{i}$

• Nel espaciu vectorial $\mathbb {C} ^{n}$ suelse definir el productu interior por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}=\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}$

Siendo ${\overline {b_{n}}}$ el númberu complexu conxugáu de $b_{n}$

• Nel espaciu vectorial de les matrices de m x n , con elementos reales

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)$

onde tr(A) ye la traza de la matriz A y $A^{T}$ ye la matriz trespuesta d'A.

• Nel espaciu vectorial de les matrices de m x n , con elementos complexos

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{*}\cdot B)$

onde tr(A) ye la traza de la matriz A y $A^{*}$ ye la matriz trespuesta conxugada d'A.

• Nel espaciu vectorial de les funciones continues sobre l'intervalu C[a, b], acutáu por a y b:

$\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x$

• Nel espaciu vectorial de los polinomios de grau menor o igual a n:

Dau $\textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R}$ tal que $\textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n+1}\,$ :

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n+1})q(x_{n+1})=\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})$

Xeneralizaciones

Formes cuadráticas

Dada una forma bilineal simétrica $\scriptstyle B(\cdot ,\cdot )$ definida sobre un espaciu vectorial $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$ puede definise un productu escalar distintu del productu escalar euclídeo por aciu la fórmula:

$(\mathbf {o} ,\mathbf {v} )_{B}={\begin{bmatrix}o_{1}&\dots &o_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{11}&\dots &B_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B_{n1}&\dots &B_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\dots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}B_{ij}o_{i}v_{j}$

Onde:

$B_{ij}:=B(\mathbf {y} _{i},\mathbf {y} _{j})$

$\{\mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{n}\}$ ye una base del espaciu vectorial $\scriptstyle V$

Puede comprobase que la operación anterior $\scriptstyle (\cdot ,\cdot )_{B}:V\times V\to \mathbb {R}$ satisfai toles propiedaes que tien de satisfaer un productu escalar.

Tensores métricos

Pueden definise y remanar espaciu non-euclídeos o más esautamente variedaes de Riemann, esto ye, espacios non-planos con un tensor de combadura distinta de cero, nos que tamién podemos definir llargores, ángulos y volúmenes. Nestos espacios más xenerales adóptase'l conceutu de xeodésica en llugar del de segmentu pa definir les distancies más curties n'ente puntos y, tamién, modifícase llixeramente la definición operativa del productu escalar habitual introduciendo un tensor métricu $\scriptstyle g:{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$, tal que la restricción del tensor a un puntu de la variedá de Riemann ye una forma bilineal $\scriptstyle g_{x}(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )$.

Asina, daos dos vectores campos vectoriales $\mathbf {o}$ y $\mathbf {v}$ del espaciu tanxente a la variedá de Riemann defínese'l so productu internu o escalar como:

$\langle \mathbf {o} ,\mathbf {v} \rangle =g_{x}(\mathbf {o} ,\mathbf {v} )=\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}(x)o_{i}v_{j}$

El llargor d'una curva rectificable C ente dos puntos A y B puede definise a partir de la so vector tangente $\scriptstyle \mathbf {T}$ de la siguiente manera:

$L_{C}=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x} ,\mathbf {T} ,\mathbf {T} )}}\ ds=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds$

Ver tamién

• Espaciu vectorial
• Norma vectorial
• Combinación llinial
• Sistema xenerador
• Independencia llinial
• Matriz de Gram
• Base (álxebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenaes cartesianes
• Productu vectorial
• Productu mistu
• Productu tensorial

Referencies

Bibliografía

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Enllaces esternos

• Datos: Q181365
• Multimedia: Scalar product