Teoría de la relatividá especial

Teoría de la relatividá especial
	Teoría científica y llei física

La Teoría de la relatividá especial, tamién llamada Teoría de la relatividá acutada, ye una teoría de la física publicada en 1905 por Albert Einstein. Surde de la observación de que la velocidá de la lluz nel vacíu ye igual en tolos sistemes de referencia inerciales y de llograr toles consecuencies del principiu de relatividá de Galileo, según el cual cualquier esperimentu realizáu, nun sistema de referencia inercial, va desenvolver de manera idéntica en cualesquier otru sistema inercial.

La Teoría de la relatividá especial estableció nueves ecuaciones que faciliten pasar d'un sistema de referencia inercial a otru. Les ecuaciones correspondientes conducen a fenómenos que topeten col sentíu común, siendo unu de los más estelantes y más famosos la llamada paradoxa de los ximielgos.

La relatividá especial tuvo tamién un impautu na filosofía, esaniciando toa posibilidá d'esistencia d'un tiempu y de un espaciu absolutu nel conxuntu del universu.

Historia

A finales del sieglu XIX los físicos pensaben que la mecánica clásica de Newton, basada na llamada relatividá de Galileo (orixe de les ecuaciones matemátiques conocíes como tresformamientos de Galileo), describía los conceutos de velocidá y fuercia pa tolos observadores (o sistemes de referencia). Sicasí, Hendrik Lorentz y un pocu enantes Woldemar Voigt comprobaren que les ecuaciones de Maxwell, que gobiernen l'electromagnetismu, nun se portaben de baxu tresformamientos de Galileo cuando'l sistema de referencia inercial varia (por casu, cuando se considera'l mesmu problema físicu dende'l puntu de vista de dos observadores que se mueven unu respectu del otru). En particular les ecuaciones de Maxwell paecíen riquir que la velocidá de la lluz yera constante (razón pola que s'interpretó qu'esa velocidá referir a la velocidá de la lluz respectu al éter). Sicasí, l'esperimentu de Michelson y Morley sirvió pa confirmar que la velocidá de la lluz permanecía constante, independientemente del sistema de referencia nel cual midíase, contrariamente a lo esperao d'aplicar los tresformamientos de Galileo. Por tanto la hipótesis del éter quedaba refugada y abríase un problema teóricu grave acomuñáu a los tresformamientos de Galileo. Hendrik Lorentz yá atopara que los tresformamientos correutos que garantizaben la invariancia nun yeren les de tresformamientos de Galileo, sinón les qu'anguaño se conocen como tresformamientos de Lorentz.

Mientres años los tresformamientos de Lorentz y los trabayos de Poincaré sobre la tema, quedaron inexplicaos hasta que Albert Einstein, un físicu desconocíu hasta 1905, sería capaz de da-yos una interpretación considerando'l calter relativu del tiempu y l'espaciu. Einstein tamién fuera influyíu pol físicu y filósofu Ernst Mach.^[1] Einstein lleó a Ernst Mach cuando yera estudiante y yá yera siguidor so en 1902, cuando vivía en Zurich y axuntábase regularmente colos sos amigos Conrad Habicht y Maurice Solovine. Einstein aportunó por que'l grupu lleera los dos llibros que Mach publicara hasta esa fecha: El desenvolvimientu de la mecánica (títulu orixinal, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Leipzig, 1883) y L'analís de les sensaciones (Die Analyse der Empfindungen und das Verhältnis des Physischen zum Psychischen, Jena, 1886).^[1] Einstein siempres creyó que Mach tuviera nel camín correutu p'afayar la relatividá en parte de los sos trabayos de mocedá, y que la única razón pola que nun lo fixo foi porque la dómina nun foi l'aparente.^[2] L'artículu de 1905 d'Einstein, tituláu Zur Elektrodynamik bewegter Körper^[3], camudó radicalmente la perceición del espaciu y el tiempu que se tenía nesi entós. Nesi artículu Einstein introducía lo qu'agora conocemos como Teoría de la Relatividá Especial. Esta teoría basar nel principiu de relatividá y na constancia de la velocidá de la lluz en cualquier sistema de referencia inercial. D'ello Einstein dedució les ecuaciones de Lorentz. Tamién reescribió les rellaciones del momentu y de la enerxía cinética por que éstes tamién se caltuvieren invariantes.

La teoría dexó establecer la equivalencia ente masa y enerxía y una nueva definición del espaciu-tiempu. D'ella deriváronse predicciones y surdieron intereses. Como exemplos, un observador atribúi a un cuerpu en movimientu un llargor más curtiu que la que tien el cuerpu en reposu y la duración de los eventos qu'afecten al cuerpu en movimientu son más llargos con respectu al mesmu eventu midíu por un observador nel sistema de referencia del cuerpu en reposu.

En 1912, Wilhelm Wien, premiu Nobel de Física de 1911, propunxo a Lorentz y a Einstein pa esti gallardón pola teoría de la relatividá, espresando

Anque Lorentz ten de ser consideráu como'l primeru n'atopar la espresión matemática del principiu de la relatividá, Einstein consiguió amenorgalo dende un principiu simple. Debemos pos considerar el méritu de los dos investigadores como comparable.

Wilhelm Wien^[4]

Einstein nun recibió'l premiu Nobel pola relatividá especial pos el comité, en principiu, nun otorgaba'l premiu a teoríes pures. El Nobel nun llegó hasta 1921, y foi pol so trabayu sobre'l efeutu fotoeléctricu.

Postulaos

Velocidá de la lluz dende la Tierra a la Lluna, asitiada a más de 380.000 km.

Primer postuláu. Principiu especial de relatividá: Les lleis de la física son les mesmes en tolos sistemes de referencia inerciales. N'otres pallabres, nun esiste un sistema inercial de referencia privilexáu, que pueda considerase como absolutu.
Segundu postuláu. Invariancia de c: La velocidá de la lluz nel vacíu ye una constante universal, c, que ye independiente del movimientu de la fonte de lluz.^[5]

La fuercia del argumentu d'Einstein ta na forma en que se deducen d'ella resultancies sorprendentes y plausibles a partir de dos simples hipótesis y cómo estes predicciones confirmar les observaciones esperimentales. Matemáticamente l'ambos postulaos tomaos en xunto implicaben que cualquier llei física tenía de ser invariante al respeutive de un tresformamientu de Lorentz, esto ye, en tolos sistemes inerciales la forma matemática de les ecuaciones tenía de ser forminvariante de Lorentz.

Cuando s'apliquen estos dos principios a les ecuaciones de Maxwell vese qu'estes namái son invariantes so les tresformamientos de Lorentz, eso implica que l'intervalu de tiempu ente dos sucesos o la distancia ente dos puntos tienen de ser relativos al observador. Esto ye, non tolos observadores van midir el mesmu intervalu de tiempu ente dos sucesos o'l mesmu llargor pa un mesmu oxetu. Esi calter non absolutu, sinón relativu del espaciu y el tiempu, que ye una consecuencia de riquir que les midíes tomaes por distintos observadores dexen invariantes les ecuaciones de Maxwell ye la fonte de tolos resultaos sorprendentes de la teoría de la relatividá. Cuando s'esaminen les lleis de Newton y otres lleis del movimientu de la mecánica clásica apréciase qu'estes tienen de ser modificaes pa ser tamién invariantes según los mesmos tresformamientos que les ecuaciones de Maxwell.

Principiu de Relatividá

Henri Poincaré, matemáticu francés, suxirió a finales del sieglu XIX que'l principiu de relatividá establecíu dende Galileo (la invariancia galileana) caltener pa toles lleis de la naturaleza. Joseph Larmor y Hendrik Lorentz afayaron que les ecuaciones de Maxwell, la piedra angular del electromagnetismu, yeren invariantes solo por una variación nel tiempu y una cierta unidá llonxitudinal, lo que produció muncho tracamundiu nos físicos, que naquel tiempu taben tratando d'argumentar les bases de la teoría del éter, la hipotética sustancia sutil qu'enllenaba'l vacíu y na que se tresmitía la lluz. El problema ye qu'esti éter yera incompatible col principiu de relatividá.

Na so publicación de 1905 en electrodinámica, Henri Poincaré y Albert Einstein esplicaron que, colos tresformamientos fechos por Lorentz, esti principiu calteníase perfectamente invariable. La contribución d'Einstein foi l'alzar esti axoma a principiu y proponer les tresformaes de Lorentz como primer principiu. Amás refugó la noción de tiempu absolutu y riquió que la velocidá de la lluz nel vacíu seya la mesma pa tolos observadores, ensin importar si éstos movíense o non. Esto yera fundamental pa les ecuaciones de Maxwell, una y bones éstes precisen d'una invarianza xeneral de la velocidá de la lluz nel vacíu.

Covariancia de Lorentz

La teoría de la relatividá especial amás busca formular toles lleis físiques de forma que tengan validez pa tolos observadores inerciales. Polo que cualquier llei física tendría de tener una forma matemática invariante so unes tresformamientos de Lorentz.

Tresformamientos de Lorentz

Distintos sistemes de referencia pa un mesmu fenómenu.

Como se mentó, los físicos de la dómina atoparen una inconsistencia ente la completa descripción del electromagnetismu realizada por Maxwell y la mecánica clásica. Pa ellos, la lluz yera una onda electromagnética tresversal que se movía por un sistema de referencia privilexáu, al cual denominar éter.

Hendrik Antoon Lorentz trabayó en resolver esti problema y foi desenvolviendo unos tresformamientos pa les cualos les ecuaciones de Maxwell quedaben invariantes y ensin necesidá d'utilizar esi hipotéticu éter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teoría electrónica de Lorentz, nun escluyía —sicasí— al éter. Na mesma, Lorentz proponía que la interacción llétrica ente dos cuerpos cargaos realizar por mediu d'unos corpúsculos a los que llamaba electrones y que s'atopaben xuntaos a la masa en cada unu de los cuerpos. Estos electrones interactuaben ente sigo por aciu l'éter, que yera contraíu polos electrones acorde a tresformamientos específicos, mientres estos atopábense en movimientu relativu al mesmu. Estos tresformamientos conocer agora como tresformamientos de Lorentz. La formulación actual foi trabayu de Poincaré, que presentar d'una manera más consistente en 1905.

Tiense un sistema S de coordenaes $(x,y,z,t)\,$ y un sistema S' de coordenaes $(x',y',z',t')\,$ , d'equí les ecuaciones que describen el tresformamientu d'un sistema a otru son:

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad y'=y,\qquad z'=z\,$

onde : $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ye'l llamáu factor de Lorentz y $c\,$ ye la velocidá de la lluz nel vacíu.

Contrariu a la nuesa conocencia actual, naquel momentu esto yera una completa revolución, por cuenta de que plantegábase una ecuación pa tresformar al tiempu, cosa que pa la dómina yera imposible. Na mecánica clásica, el tiempu yera un invariante. Y por que les mesmes lleis puedan aplicase en cualquier sistema de referencia llógrase otru tipu de invariante a grandes velocidaes (agora llamaes relativistes), la velocidá de la lluz.

Simultaneidá

Direutamente de los postulaos espuestos enriba, y de xacíu de los tresformamientos de Lorentz, deduzse'l fechu de que nun se puede dicir con sentíu absolutu que dos acontecimientos asocedieren al mesmu tiempu en distintos lugar. Si dos sucesos asoceden simultáneamente en llugares separaos espacialmente dende'l puntu de vista d'un observador, cualesquier otru observador inercial que se mueva respectu al primeru les presencia n'intres distintos.^[6]

Matemáticamente, esto puede comprobase na primer ecuación de les tresformamientos de Lorentz:

$\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\Delta x}{c^{2}}}\right)$

Dos eventos simultáneos verifiquen $\displaystyle \Delta t=0$ , pero si asocedieron en llugares distintos (con $\Delta x\neq 0$ ), otru observador con movimientu relativu llogra $\Delta t'\neq 0$ . Namái nel casu $\displaystyle \Delta t=0$ y $\displaystyle \Delta x=0$ (sucesos simultáneos nel mesmu puntu) nun asocede esto.

El conceutu de simultaneidá puede definise como sigue. Daos dos eventos puntuales Y₁ y Y₂, qu'asocede respeutivamente n'intres de tiempu t₁ y t₂, y en puntos del espaciu P₁ = (x₁, y₁, z₁) y P₂ = (x₂, y₂, z₂), toles teoríes físiques almiten qu'estos namái pueden dase una, de tres posibilidaes mutuamente escluyentes:^[7]

Ye posible pa un observador tar presente nel eventu Y₁ y depués tar nel eventu Y₂, y nesi casu afírmase que Y₁ ye un eventu anterior a Y₂. Amás si eso asocede nun puede esistir otru observador que verifique 2.
Ye posible pa un observador tar presente nel eventu Y₂ y depués tar nel eventu Y₁, y nesi casu afírmase que Y₁ ye un eventu posterior a Y₂. Amás si eso asocede nun puede esistir otru observador que verifique 1.
Ye imposible pa dalgún observador puntual, tar presente simultáneamente nos eventos Y₁ y Y₂.

Dau un eventu cualesquier, el conxuntu d'eventos puede estremase según esos trés categoríes anteriores. Esto ye, toles teoríes físiques dexen afitáu un eventu, clasificar a los demás eventos: en (1) pasáu, (2) futuru y (3) restu d'eventos (nin pasaos nin futuros). En mecánica clásica esta última categoría ta formada polos socesu llamaos simultáneos, y en mecánica relativista eventos ensin rellacionar causalmente col primer eventu. Sicasí, la mecánica clásica y la mecánica relativista difieren na manera concreta en qu'esa división ente pasáu, futuru y otros puede faese y en si dichu calter ye absolutu o relativu de dicha partición.

Dilatación del tiempu y contraición del llargor

Como se dixo primeramente, el tiempu nesta teoría dexa de ser absolutu como se proponía na mecánica clásica. Esto ye, el tiempu pa tolos observadores del fenómenu dexa de ser el mesmu. Si tenemos un observador inmóvil faciendo una midida del tiempu d'un acontecimientu y otru que se mueva a velocidaes relativistes, los dos relós nun van tener la mesma midida de tiempu.

Por aciu la tresformamientu de Lorentz nuevamente llegamos a comprobar esto. Asítiase un reló amestáu al sistema S y otru al S', lo que nos indica que $x=0$ . Tiense los tresformamientos y les sos inverses en términos de la diferencia de coordenaes:

$\Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\Delta x}{c^{2}}}\right)$

$\Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)\,$

y

$\Delta t=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)$

$\Delta x=\gamma (\Delta x'+v\Delta t')\,$

Gráficu qu'esplica la contraición de Lorentz.

Si estenamos les primeres ecuaciones llogramos

\Delta t'=\gamma \Delta t\qquad (\,

pa sucesos que satisfaigan

\Delta x=0)\,

De lo que llogramos que los eventos que se realicen nel sistema en movimientu S' van ser más llargos que los del S. La rellación ente dambos ye esa $\gamma$ . Esti fenómenu conocer como dilatación del tiempu.

Si dizse que'l tiempu varia a velocidaes relativistes, la llargor tamién lo fai. Un exemplu sería si tenemos a dos observadores primeramente inmóviles, éstos miden un vehículu nel cual solo unu d'ellos "va viaxar" a grandes velocidaes, dambos van llograr el mesmu resultáu. Unu d'ellos entra al vehículu y cuando adquiera l'abonda velocidá mide'l vehículu llogrando la resultancia esperada, pero si'l qu'esta inmóvil vuelve midir, va llograr un valor menor. Esto debe a que'l llargor tamién se contrái.

Volviendo a les ecuaciones de Lorentz, estenando agora a x y condicionando a $\ \Delta t'=0$ llógrase:

$\Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}\qquad \,$

de lo cual podemos ver que va esistir un amenorgamientu debíu al cociente. Estos efeutos solo pueden trate a grandes velocidaes, polo qu'en la nuesa vida cotidiana les conclusiones llograes a partir d'estos cálculos nun tienen enforma sentíu.

Un bon exemplu d'estes contraiciones y dilataciones foi propuestu por Einstein na so paradoxa de los ximielgos.

Cantidaes relativistes

El páxaru mover con velocidá v respectu al sistema S. Sicasí, dende'l puntu de vista del pilotu del avión, el páxaru alloñar d'él a una velocidá v′ mayor, dada poles fórmules del testu.

Composición de velocidaes

La composición de velocidaes ye'l cambéu na velocidá d'un cuerpu al ser midida en distintos sistemes de referencia inerciales. Na física pre-relativista calcular por aciu

$v'=v+o$ ,

onde v′ ye la velocidá del cuerpu con respectu al sistema S′, o la velocidá cola qu'esti sistema alloñar del sistema "en reposu" S, y v ye la velocidá del cuerpu midida en S.

Sicasí, por cuenta de los cambeos del espaciu y el tiempu, esta rellación nun ye válida en Relatividá Especial. Por aciu les tresformaes de Lorentz puede llograse la fórmula correuta:

$v'={\frac {v+o}{1+{\frac {o\cdot v}{c^{2}}}}}$

Al reparar con curiáu esta fórmula nótase que si tomamos pal cuerpu una velocidá nel sistema S igual a la de la lluz (el casu d'un fotón, por casu), la so velocidá en S′ sigue siendo v′=c, como s'espera debíu al segundu postuláu. Amás, si les velocidaes son bien pequeñes en comparanza cola lluz, llógrase qu'esta fórmula averar a l'anterior dada por Galileo.

Masa, momentu y enerxía relativista

El conceutu de masa na teoría de la relatividá especial tien dos bifurcaciones: la masa invariante y la masa relativista aparente. La masa relativista aparente ye la masa aparente que va depender del observador y puede amontase dependiendo de la so velocidá, ente que la invariante ye independiente del observador y invariante.

Matemáticamente tenemos que: $\ M=\gamma m$ onde $\ M$ ye la masa relativista aparente, $\ m$ ye la invariante y $\ \gamma$ ye'l factor de Lorentz. Notemos que si la velocidá relativa del factor de Lorentz ye bien baxa, la masa relativo tien el mesmu valor que la masa invariante pero si ésta ye comparable cola velocidá de la lluz esiste una variación ente dambes. Conforme la velocidá se vaya averando a la velocidá de la lluz, la masa relativista va tender a infinitu.

Cantidá de movimientu

Al esistir una variación na masa relativista aparente, la cantidá de movimientu d'un cuerpu tamién tien de ser redefinida. Según Newton, la cantidá de movimientu ta definida por $\ p=mv$ onde $\ m$ yera la masa del cuerpu. Como esta masa yá nun ye invariante, la nuesa nueva "cantidá de movimientu relativista" tien el factor de Lorentz incluyíu asina:

$\ p=\gamma mv=Mv$

Les sos consecuencies vamos ver con más detenimiento na seición posterior de fuercia.

Equivalencia de masa y enerxía

Equivalencia ente masa y enerxía.

La relatividá especial postula una ecuación pa la enerxía, que inexplicablemente aportó a la ecuación más famosa del planeta, Y = mc². A esta ecuación tamién la conoz como la equivalencia ente masa y enerxía. Na relatividá, la enerxía y el momentu d'una partícula tán rellacionaos por aciu la ecuación:

$Y^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$

Esta rellación d'energía-momento formulada na relatividá déxanos reparar la independencia del observador tantu de la enerxía como de la cantidá pel momento. Pa velocidaes non relativistes, la enerxía puede ser averada por aciu una espansión d'una serie de Taylor asina

$Y={\cfrac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

atopando asina la enerxía cinética de la mecánica de Newton. Lo que nos indica qu'esa mecánica nun yera más qu'un casu particular de l'actual relatividá. El primer términu d'esti aproximamientu ye lo que se conoz como la enerxía en reposu (enerxía potencial), ésta ye la cantidá d'enerxía que puede midir un observador en reposu acordies con postular por Einstein. Esta enerxía en reposu nun causaba conflictu con establecer enantes por Newton, porque ésta ye constante y amás persiste la enerxía en movimientu. Einstein describir d'esta manera:

So esta teoría, la masa yá nun ye una magnitú inalterable pero sí una magnitú dependiente de (y coles mesmes, idéntica con) la cantidá d'enerxía.^[8]

Albert Einstein

Fuercia

En mecánica newtoniana la fuercia non relativista puede llograse a cencielles como la derivada temporal del momentu llinial:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$ ,

Pero contrariamente postula la mecánica newtoniana, equí'l momentu nun ye a cencielles la masa en reposu pola velocidá. Polo que la ecuación $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ yá nun ye válida en relatividá. Si introducimos la definición correuta del momentu llinial, usando la masa aparente relativista entós llogramos la espresión relativista correuta:

$\mathbf {F} ={\frac {d(M\mathbf {v} )}{dt}}={\frac {dM}{dt}}\mathbf {v} +M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d\gamma }{dt}}\mathbf {v} +\gamma m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

onde $\ M=\gamma m$ ye la masa relativista aparente. Calculando la fuercia anterior reparar el fechu que la fuercia podría nun tener necesariamente la direición de l'aceleración, como se deduz desenvolviendo la ecuación anterior:

$\mathbf {F} =\gamma m\mathbf {a} +\gamma ^{3}m{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\mathbf {v}$

Introduciendo les aceleraciones normal y tanxencial:

$\mathbf {F} =\gamma ^{3}ma_{t}\mathbf {{\hat {y}}_{t}} +\gamma ma_{n}\mathbf {{\hat {y}}_{n}} \quad \Rightarrow \quad {\begin{bmatrix}F_{t}\\F_{n}\end{bmatrix}}=m{\begin{bmatrix}\gamma ^{3}&0\\0&\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{t}\\a_{n}\end{bmatrix}}$

Esisten dos casos particulares de movimientu d'una partícula onde la fuercia ye siempres paralela a l'aceleración, que son el movimientu rectilliniu uniformemente aceleráu y el movimientu circular uniforme; nel primer casu'l factor de proporcionalidad ye $\gamma ^{3}m\,$ y el en segundu $\gamma m\,$

La xeometría del espaciu tiempu

La relatividá especial usa tensores y cuadrivectores pa representar un espaciu pseudo-euclídeo. Esti espaciu, sicasí, ye similar al espaciu euclideu tridimensional en munchos aspeutos y ye relativamente fácil trabayar nél. El tensor métricu que da la distancia elemental (ds) nun espaciu euclideu defínese como:

${\text{d}}s^{2}={\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}+{\text{d}}x_{3}^{2}$

onde $(dx_{1},dx_{2},dx_{3})\,$ son diferenciales de los trés coordenaes cartesianes espaciales. Na xeometría de la relatividá especial, añader una cuarta dimensión imaxinaria dada pol productu ict, onde t ye'l tiempu, c la velocidá de la lluz y i la unidá imaxinaria: quedando l'intervalu relativista, en forma diferencial, como:

${\text{d}}s^{2}={\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}+{\text{d}}x_{3}^{2}+(ic{\text{d}}t)^{2}$

El factor imaxinariu introducir p'amosar el calter pseudoeuclídeo de la xeometría espaciu-tiemporal. Si amenorguen les dimensiones espaciales a 2, puede faese una representación física nun espaciu tridimensional,

${\text{d}}s^{2}={\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}-c^{2}{\text{d}}t^{2}$

Conu dual.

Puede vese que les xeodésiques con midida cero formen un conu dual definíu pola ecuación

${\text{d}}s^{2}=0={\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}-c^{2}{\text{d}}t^{2}$

${\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}$

La ecuación anterior ye la de círculu con $\ r=c{\text{d}}t$ . Si estiéndese lo anterior a los trés dimensiones espaciales, les xeodésiques nules son esferes concéntriques, con radiu = alloña = c por tiempu.

Esferes concéntriques.

${\text{d}}s^{2}=0={\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}+{\text{d}}x_{3}^{2}-c^{2}{\text{d}}t^{2}$

${\text{d}}x_{1}^{2}+{\text{d}}x_{2}^{2}+{\text{d}}x_{3}^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}$

Esti doble conu de distancies nules representa'l horizonte de visión d'un puntu nel espaciu. Esto ye, cuando se mira a les estrelles y dizse: La estrella de la que toi recibiendo lluz tien X años, ta viéndose al traviés d'esa llinia de visión: una xeodésica de distancia nula. Ta viéndose un socesu a $d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$ metros, y $\ d/c$ segundos nel pasáu. Por esta razón, el doble conu ye tamién conocíu como conu de lluz (El puntu inferior de la esquierda de la diagrama inferior representa la estrella, l'orixe representa l'observador y la llinia representa la xeodésica nula, el "horizonte de visión" o conu de lluz). Ye importante notar que namái los puntos interiores al conu de lluz d'un eventu pueden tar en rellación causal con esi eventu.

Causalidá física

Un eventu nun conu de lluz temporal.

Previu a esta teoría, el conceutu de causalidá taba determináu: pa una causa esiste un efeutu. Enantes, gracies a los postulaos de Laplace, creíase que pa tou acontecimientu tenía de llograse un resultáu que podía predicise. La revolución nesti conceutu ye que se "crea" un conu de lluz de posibilidaes (Vease gráficu axuntu).

Reparar esti conu de lluz y agora un acontecimientu nel conu de lluz del pasáu non necesariamente conduznos a un solu efeutu nel conu de lluz futuru. Desligando asina la causa y l'efeutu. L'observador que s'asitia nel vértiz del conu yá nun puede indicar qué causa del conu del pasáu va provocar l'efeutu nel conu del futuru.

Imposibilidá de movimientos más rápidos que la lluz

Asumiendo'l principiu de causalidá y ingnorando ciertes posibilidaes rellacionaes col movimientu superlumínico, llogramos que nenguna partícula de masa positivo en reposu puede viaxar más rápidu que la lluz. En particular, la enerxía Y necesaria p'acelerar rectilíneamente una partícula dende'l reposu a una cierta velocidá v vienen rellacionaes pola ecuación:

$v=c{\sqrt {1-{\frac {m_{0}c^{2}}{Y}}}}$

Equí puede trate claramente que pa cualquier valor finito de Y va cumplise que v < c. Otra manera de ver esta imposibilidá ye usar el principiu de causalidá, y aplicalo al movimientu más rápidu que'l de la lluz. Imaxínese un cuerpu qu'esperimenta una fuercia mientres una cantidá infinita de tiempu. Tenemos entós que pa un moviento rectilliniu:

$F={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}(\gamma mV)}{{\text{d}}t}}={\frac {ma}{[1-(v^{2}/c^{2})]^{3/2}}}$

Esto ye, la "inercia efeutiva", entendida como resistencia qu'esperimenta opón el cuerpu a ser aceleráu, taría aumentando indefinidamente a midida que V averar a c.

Per otra parte, esta conclusión depende críticamente de l'asunción de causalidá. Asina en mecánica cuántica esta asunción nun se considera, polo que delles partícules virtuales nun tán suxetes a esa restricción. Amás esisten propuestes teóriques que postulen la esistencia de partícules hipotétiques que podríen viaxar más rápidu que la lluz, los taquiones, naturalmente neses teoríes nun s'asume'l principiu de causalidá na forma plantegada equí.

Formulación matemática de la Relatividá Especial

La relatividá especial a pesar de poder ser descrita con facilidá per mediu de la mecánica clásica y ser de bon entendimientu, tien una complexa matemática pel mediu. Equí descríbese a la relatividá especial na forma de la covariancia de Lorentz. La posición d'un eventu nel espaciu-tiempu ta dau por un vector contravariante cuatridimensional, los sos componentes son:

$x^{\nu }=\left(t,x,y,z\right)$

esto ye que $x^{0}=t$ , $x^{1}=x$ , $x^{2}=y$ y $x^{3}=z$ . Los superíndices d'esta seición describen contravarianza y non esponente nun siendo que seya un cuadráu o se diga lo contrario. Los superíndices son índices covariantes que tienen un rangu de cero a trés como un gradiente del espaciu tiempu del campu φ:

$\partial _{0}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}},\quad \partial _{1}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}},\quad \partial _{2}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial y}},\quad \partial _{3}\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial z}}.$

Métrica y tresformamientu de coordenaes

Reconociendo la naturaleza cuatridimensional del espaciu-tiempu, puede empezar a emplegar la métrica de Minkowski, η, dada nos componentes (válidos pa cualquier sistema de referencia) asina:

$\eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ , la so inversa ye:

$\eta ^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Depués reconozse que los tresformamientos co-ordenaes ente los sistemes de referencia inerciales tán daes pol tensor de tresformamientu de Lorentz Λ. Pal casu especial de movimientu al traviés de la exa x, tiense:

$\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma /c&0&0\\-\beta \gamma c&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

que ye a cencielles la matriz d'un boost (como una rotación) ente les coordenaes x y t. Onde μ' indica la fila y ν la columna. Tamién β y γ tán definíos como:

$\beta ={\frac {v}{c}},\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Más xeneralmente, un tresformamientu d'un sistema inercial (inorando la tresllación pa simplificalo) a otru tien de satisfaer:

$\eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }\!$

onde hai un sumatorio implícita de $\mu '\!$ y $\nu '\!$ de cero a trés nel llau derechu, acordies col Conveniu de sumación d'Einstein. El grupu de Poincaré ye'l grupu más xeneral de tresformamientos que caltienen la métrica de Minkowski y ésta ye la simetría física subxacente a la relatividá especial.

Toles propiedaes físiques cuantitatives son daes por tensores. Asina pa tresformar d'un sistema a otru, úsase la bien conocida llei de tresformamientu tensorial

$T_{\left[j_{1}',j_{2}',\dots j_{q}'\right]}^{\left[i_{1}',i_{2}',\dots i_{p}'\right]}=\Lambda ^{i_{1}'}{}_{i_{1}}\Lambda ^{i_{2}'}{}_{i_{2}}\dots \Lambda ^{i_{p}'}{}_{i_{p}}\Lambda _{j_{1}'}{}^{j_{1}}\Lambda _{j_{2}'}{}^{j_{2}}\dots \Lambda _{j_{q}'}{}^{j_{q}}T_{\left[j_{1},j_{2},\dots j_{q}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},\dots i_{p}\right]}$

onde $\Lambda _{j_{k}'}{}^{j_{k}}\!$ ye la matriz inversa de $\Lambda ^{j_{k}'}{}_{j_{k}}\!$ . Pa reparar como esto ye útil, tresformamos la posición d'un eventu d'un sistema de coordenaes S a unu S', calcúlase

${\begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }x^{\nu }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma /c&0&0\\-\beta \gamma c&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma t-\gamma \beta x/c\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}$

que son los tresformamientos de Lorentz daes enantes. Tolos tresformamientos de tensores siguen la mesma regla. El cuadráu de la diferencia del llargor de la posición del vector $dx^{\mu }\!$ construyíu usando

$\mathbf {{\text{d}}x} ^{2}=\eta _{\mu \nu }{\text{d}}x^{\mu }{\text{d}}x^{\nu }=-(c\cdot {\text{d}}t)^{2}+({\text{d}}x)^{2}+({\text{d}}y)^{2}+({\text{d}}z)^{2}\,$

ye un invariante. Ser invariante significa que toma'l mesmu valor en tolos sistemes inerciales porque ye un esguilar (tensor de rangu 0), y asina Λ nun apaez nesti tresformamientu trivial. Nótase que cuando l'elementu llinia $\mathbf {dx} ^{2}$ ye negativu ${\text{d}}\tau ={\sqrt {-\mathbf {{\text{d}}x} ^{2}}}/c$ ye'l diferencial del tiempu propiu, ente que cuando $\mathbf {{\text{d}}x} ^{2}$ ye positivu, ${\sqrt {\mathbf {{\text{d}}x} ^{2}}}$ ye'l diferencial de la distancia propia.

El principal valor d'espresar les ecuaciones de la física en forma tensorial ye qu'éstes son depués manifestaciones invariantes so los grupos de Poincaré, asina que nun tenemos que faer cálculos aburribles o especiales pa confirmar esi fechu. Tamién al construyir tales ecuaciones atopamos usualmente qu'ecuaciones previes que nun tienen rellación, ello ye que tán coneutaes cercanamente al ser parte de la mesma ecuación tensorial.

Cuadrivelocidad y cuadriaceleración

Agora podemos definir igualmente la velocidá y l'aceleración por aciu simples lleis de tresformamientu. La velocidá nel espaciu-tiempu O^μ ta dada por ecuación|

O^{\mu }={\frac {{\text{d}}x^{\mu }}{{\text{d}}\tau }}={\begin{pmatrix}\gamma \\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}

||left}} Reconociendo esto, podemos convertir buscando una llei sobre les composiciones de velocidaes nun simple tao alrodiu de tresformamientos de velocidaes de cuatro dimensiones d'una partícula d'un sistema a otru. O^μ tamién tien una forma invariante:

${\mathbf {O} }^{2}=\eta _{\nu \mu }O^{\nu }O^{\mu }=-c^{2}.$

Asina la cuadrivelocidad tien una magnitú de c. Esta ye una espresión del fechu que nun hai tal cosa como la coordenada en reposu en relatividá: siquier, si tase siempres moviéndose al traviés del tiempu. Pa la cuadriaceleración, ésta vien dada por $A^{\mu }={\text{d}}{\mathbf {O} ^{\mu }}/{\text{d}}\tau$ . Dau esto, estremando la ecuación pa τ produz

$2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }O^{\nu }=0.\!$

asina en relatividá, l'aceleración y la velocidá nel espaciu-tiempu son ortogonales.

Cuadrimomento

El momentu llinial y la enerxía combinar nun cuadrivector covariante:

$P_{\nu }=m\ \eta _{\nu \mu }O^{\mu }={\begin{pmatrix}-Y/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}$

onde m ye la masa invariante.

La magnitú invariante del cuadrimomento ye:

$\mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }P_{\mu }P_{\nu }=-(Y/c)^{2}+\mathbf {p} ^{2}.$

Podemos trabayar con qu'esti ye un invariante pol argumentu de qu'ésti ye primero un esguilar, nun interesa qué sistema de referencia calcúlese y si tresformar a un sistema onde'l momentu total seya cero.

$\mathbf {P} ^{2}=-(Y_{\text{reposu}}/c)^{2}=-(mc)^{2}.$

Reparar que la enerxía en reposu ye un invariante independiente. Una enerxía en reposu puede calculase pa partícules y sistemes en movimientu, por traslación d'un sistema en que'l momentu ye cero. La enerxía en reposu ta rellacionada cola masa acordies cola ecuación enantes aldericada:

$Y_{\text{reposu}}=mc^{2}\ ,$

Nótese que la masa d'un sistema de midida nel so sistema de centru pel momento (onde'l momentu total ye cero) ta dau pola enerxía total del sistema nesi marcu de referencia. Nun tendría de ser igual a la suma de mases individuales del sistema midíu n'otros sistemes.

Cuadrifuerza

Al usar la tercera llei de Newton, dambes fuercies tienen de tar definíes como la tasa de cambéu del momentum respectu coles mesmes coordenáu. Esto ye, riquir de les fuercies definíes enantes. Desafortunadamente, nun hai un tensor en cuatro dimensiones que contenga les componentes d'un vector de fuercia en tres dimensiones ente los sos componentes.

Si una partícula nun ta viaxando a c, puede tresformase nuna fuercia de tres dimensiones del sistema de referencia de la partícula en movimientu ente los observadores d'esti sistema. A éstos soler llamar fuercia de cuatro dimensiones. Ye la tasa de cambéu del anterior vector de cuatro dimensiones d'energía momento con respectu al tiempu propiu. La versión covariante d'esta fuercia ye:

$F_{\nu }={\frac {{\text{d}}p_{\nu }}{{\text{d}}\tau }}={\begin{pmatrix}-{{\text{d}}Y}/{{\text{d}}\tau }\\{{\text{d}}p_{x}}/{{\text{d}}\tau }\\{{\text{d}}p_{y}}/{{\text{d}}\tau }\\{{\text{d}}p_{z}}/{{\text{d}}\tau }\end{pmatrix}}$

onde $\tau \,$ ye'l tiempu propiu.

Nel sistema en reposu del oxetu, la componente del tiempu d'esta fuercia ye cero nun siendo que la masa invariante del oxetu esti camudando, nesi casu la tasa de cambéu ye negativa y ye c² vegaes. Polo xeneral, piénsase que les componentes de la fuercia de cuatro dimensiones nun son iguales a les componentes de la fuercia de trés porque ésta de trés ta definida pola tasa de cambéu del momentu con respectu al tiempu coordenáu, asina ${\text{d}}p/{\text{d}}t$ ; ente que la fuercia en cuatro dimensiones ta definida pola tasa de cambéu del momentu respeuto al tiempu propiu, asina ${\text{d}}p/{\text{d}}t$ .

Nun mediu continuu, la densidá de fuercia en tres dimensiones combinada cola densidá de potencia forma un vector de cuatro dimensiones covariante. La parte espacial ye la resultancia d'estremar la fuercia en pequeñes célules (nel espaciu tridimensional) pol volume de la célula. El componente del tiempu ye negativu de la potencia tresferida a la célula estremada pal volume de la célula.

Temes avanzaes

Unificando l'electromagnetismu

Investigaciones teóriques nel electromagnetismu clásicu indicaron el camín p'afayar la espardimientu d'onda. Les ecuaciones xeneralizando los efeutos electromagnéticos atoparon que la velocidá d'espardimientu finita de los campos Y y B rique comportamientos claros en partícules cargaes. L'estudiu xeneral de cargues en movimientu forma un potencial de Liénard-Wiechert, que ye un pasu al traviés de la relatividá especial.

La tresformamientu de Lorentz del campu llétrico d'una carga en movimientu por un observador en reposu nun sistema de referencia resulta na apaición d'un términu matemáticu comúnmente llamáu campu magnéticu. Al contrariu, el campu magnéticu xeneráu poles cargues en movimientu sume y conviértese nun campu electrostático nun sistema de referencia móvil. Les ecuaciones de Maxwell son entós a cencielles axustes empíricos a los efeutos de la relatividá especial nun modelu clásicu del universu. Como los campos llétricu y magnéticu son dependientes de los sistemes de referencia y asina enxareyaos, nel asina llamáu campu electromagnéticu. La relatividá especial aprove les regles de tresformamientu de cómo los campos electromagnéticos nun sistema inercial apaecen n'otru sistema inercial.

Electromagnetismu

Les ecuaciones de Maxwell na forma tridimensional son de por sí consistentes col conteníu físico de la relatividá especial. Pero tenemos de reescribiles pa faeles invariantes.^[9] La densidá de carga $\rho \!$ y la densidá de corriente $[J_{x},J_{y},J_{z}]\!$ son unificaes nel conceutu de vector cuatridimensional:

$J^{\mu }={\begin{pmatrix}\rho c\\J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{pmatrix}}$

La llei de caltenimientu de la carga vuélvese: {{ecuación1

\partial _{\mu }J^{\mu }=0.\!

||left}} El campu llétrico $[Y_{x},Y_{y},Y_{z}]\!$ y la inducción magnética $[B_{x},B_{y},B_{z}]\!$ son agora unificaes nun tensor de campu electromagnéticu (de rangu 2, antisimétrico covariante):

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-Y_{x}&-Y_{y}&-Y_{z}\\Y_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\Y_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\Y_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$

La densidá de la fuercia de Lorentz $f_{\mu }\!$ exercida na materia pel campu electromagnéticu ye:

$f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.\!$

La llei de Faraday d'inducción y la llei de Gauss pal magnetismu combinar na forma:

$\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0.\!$

A pesar de que se ven munches ecuaciones, éstes puédense amenorgar a solu cuatro ecuaciones independientes. Usando la antisimetría del campu electromagnéticu puede amenorgase a la identidá o redundar en toles ecuaciones sacante les que λ, μ, ν = 1,2,3 o 2,3,0 o 3,0,1 o 0,1,2.

Sistemes non inerciales y relatividá especial

Esiste ciertu tracamundiu sobre les llendes de la teoría especial de la relatividá. Por casu, con frecuencia en testos de divulgación repitir que dientro d'esta teoría namái pueden tratase sistemes de referencia inerciales, nos cualos la métrica toma la forma canónica. Sicasí, como diversos autores encargar de demostrar la teoría puede tratar igualmente sistemes de referencia non inerciales.^[10]

Obviamente el tratamientu de sistemes non inerciales na teoría de la relatividá especial resulta más complicáu que'l de los sistemes inerciales.

Einstein y otros autores consideraron enantes del desenvolvimientu de la relatividá xeneral casi puramente sistemes de coordenaes rellacionaos por tresformamientos de Lorentz, razón pola cual piénsase qu'esta teoría ye namái aplicable a sistemes inerciales.

Relatividá xeneral

Anguaño considérase como relatividá xeneral l'estudiu del espaciu-tiempu deformado per campos gravitatorios, dexando l'estudiu de los sistemes de referencia aceleraos n'espacios planos dientro de la relatividá especial. Igualmente la relatividá xeneral ye una de les teoríes más relevantes pa la construcción de modelos cosmolóxicos sobre'l orixe del universu.

La teoría xeneral de la relatividá foi introducida históricamente en conexón col principiu d'equivalencia y l'intentu d'esplicar la identidá ente la masa inercial y la masa gravitatorio. Nesta teoría usábense explícitamente sistemes de coordenaes ensin rellacionar ente sigo por tresformamientos de Lorentz o similares, colo cual claramente na resolución de munchos problemes faía patente l'usu de sistemes de referencia non inerciales. Estos fechos conducieron al tracamundiu en munchos testos de divulgación de que los sistemes non inerciales riquen del desenvolvimientu de la teoría xeneral de la relatividá.

Tests de postulaos de la relatividá especial

Esperimentu Michelson-Morley – arrastre del éter.
Esperimentu Hamar – obstrucción del fluxu del éter.
Esperimentu Trouton-Noble – torque nun condensador producíu pol arrastre del éter.
Esperimentu Kennedy-Thorndike – contraición del tiempu.
Esperimento sobre les formes d'emisión.
Esperimentu de Ives–Stilwell

Ver tamién

Referencies

↑ ^1,0 ^1,1 Albert Einstein. (2004). "Coleición Grandes Biografíes, 59". Editorial Planeta-De Agostini. Barcelona, España. ISBN 84-395-4730-7.
↑ Experientia Docet. Einstein y … Ernst Mach. Consultáu: 04-06-12
↑ «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (n'alemán). Annalen der Physik 17: páxs. páxs. 891-921. 1905. Archivado del original el 2005-02-20. https://web.archive.org/web/20050220050316/http://www.pro-physik.de/Phy/pdfs/ger_890_921.pdf. Consultáu'l 13 d'agostu de 2009.
↑ Pais, Abraham (1984). El señor ye sutil...: la ciencia y la vida d'Albert Einstein. Barcelona : Ariel. ISBN 84-344-8013-1.
↑ Marcelo Alonso & Edward J. Finn: Campos y Ondes, 1974.
↑ Cualquier observador inercial que se mueva nuna direición non ortogonal a la separación espacial de los sucesos.
↑ Robert M. Wald, Xeneral Relativity, p. 4
↑ Albert Einstein. «Isaac Newton» (inglés). Smithsonian Annual Report. NOVA. Consultáu'l 13 d'agostu de 2009.
↑ Y. J. Post (1962). Formal Structure of Electromagnetics: Xeneral Covariance and Electromagnetics. Dover Publications Inc. ISBN 0-486-65427-3.
↑ A. A. Logunov (1998). Curso de Teoría de la Relatividá y de la gravitación editorial = Universidá Estatal de Lomonósov. ISBN 5-88417-162-5.

Bibliografía

Alemañ Berenguer, Rafael Andrés. Relatividad pa toos añu = 2004. ISBN 84-95495-43-0.
Alemañ Berenguer, Rafael Andrés. Física pa toos añu = 2005. ISBN 84-95495-60-0.
Bertrand Russell, El ABC de la relatividá, 1925.

Enllaces esternos

Wikiquote tien frases célebres suyes o que faen referencia a Teoría de la relatividá especial.
Wikillibros tien un llibru o manual sobre Teoría de la Relatividá pa cabileñes.
Conteníu senciello sobre relatividá (n'inglés)
Einstein y la revolución científica del sieglu XX
Einstein y la teoría especial de la relatividá. L'abolición del espaciu y el tiempu absolutos
Exercicios sobre Relatividá Especial
Notes sobre Relatividá Especial Archiváu 2007-09-27 en Wayback Machine
"On the Electrodynamics of Moving Bodies", l'artículu d'Einstein onde plantega'l RE (Jun 1905)(traducción al inglés)
Relatividad ensin fórmules
Videos d'oxetos vistos a velocidaes cuasilumínicas Archiváu 2008-03-26 en Wayback Machine (Universidá de Tübingen)
relatividad-para-tontos-i.html Artículu "Realitividad para tontos" (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
Artículu orixinal d'Einstein n'español

[bio1-1] 1,0 ^1,1 Albert Einstein. (2004). "Coleición Grandes Biografíes, 59". Editorial Planeta-De Agostini. Barcelona, España. ISBN 84-395-4730-7.

[2] Experientia Docet. Einstein y … Ernst Mach. Consultáu: 04-06-12

[3] «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (n'alemán). Annalen der Physik 17: páxs. páxs. 891-921. 1905. Archivado del original el 2005-02-20. https://web.archive.org/web/20050220050316/http://www.pro-physik.de/Phy/pdfs/ger_890_921.pdf. Consultáu'l 13 d'agostu de 2009.

[4] Pais, Abraham (1984). El señor ye sutil...: la ciencia y la vida d'Albert Einstein. Barcelona : Ariel. ISBN 84-344-8013-1.

[5] Marcelo Alonso & Edward J. Finn: Campos y Ondes, 1974.

[6] Cualquier observador inercial que se mueva nuna direición non ortogonal a la separación espacial de los sucesos.

[7] Robert M. Wald, Xeneral Relativity, p. 4

[8] Albert Einstein. «Isaac Newton» (inglés). Smithsonian Annual Report. NOVA. Consultáu'l 13 d'agostu de 2009.

[9] Y. J. Post (1962). Formal Structure of Electromagnetics: Xeneral Covariance and Electromagnetics. Dover Publications Inc. ISBN 0-486-65427-3.

[10] A. A. Logunov (1998). Curso de Teoría de la Relatividá y de la gravitación editorial = Universidá Estatal de Lomonósov. ISBN 5-88417-162-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]