Esperimentu de Melde

El esperimentu de Melde foi un esperimentu científicu realizáu pol físicu alemán Franz Melde sobre les ondes estacionaries producíes nun cable tirante xuníu a un pulsiador llétricu. Melde afayó eses ondes estacionaries per vegada primera y tamién acuñó'l términu alredor de 1860.^[1]^[2]^[3]^[4] Esti esperimentu pudo demostrar que les ondes mecániques esperimenten fenómenos d'interferencia. Ondes mecániques viaxando en sentíu contrariu formen puntos inmóviles, denominaes nodos. Estes ondes fueron denominaes estacionaries por Melde yá que la posición de los nodos y los banduyos (puntos de vibración) permanez estática.

Historia

Los fenómenos ondulatorios na naturaleza fueron investigáu mientres sieglos, siendo dalgunos d'ellos dalgunos de les temes más revesoses de la historia de la ciencia, tal ye'l casu de la naturaleza ondulatoria de la lluz. La lluz fuera descrita por Isaac Newton nel sieglu XVII per mediu d'una teoría corpuscular. Darréu'l físicu inglés Thomas Young, oldeó les teoríes de Newton, nel sieglu XVIII, y estableció les bases científiques que sofiten les teoríes sobre les ondes. A finales del sieglu XIX, na puxanza de la segunda revolución industrial, la entrada de la lletricidá como teunoloxía de la dómina brindó un nuevu apurra a les teoríes sobre les ondes. Esti adelantu dexó a Franz Melde reconocer el fenómenu d'interferencia de les ondes y la formación de les ondes estacionaries. Más tarde, nel sieglu XIX, el físicu inglés James Clerk Maxwell, nos sos estudios de la naturaleza ondulatoria de la lluz, pudo espresar nun llinguaxe matemáticu les ondes y l'espectru electromagnéticu.

Principiu

Ondes estacionaries, cada puntu inmóvil representa un nodo.

Les ondes tresversales mecániques producíes nuna cuerda impulsaes por un vibrador llétricu, viaxen a una polea que conduz al otru estremu del mesmu, onde ye producida una determinada tensión mecánico sobre'l cable. Al atopase dambes ondes viaxando en direiciones opuestes produzse un fenómenu d'interferencia d'ondes. Al enterriase apropiadamente la cuerda, calteniendo la distancia ente'l pulsiador llétricu y la polea, prodúcense ondes estacionaries, nes cualos esisten puntos de la so trayeutoria denominaos nodos que permanecen inmóviles.

Analís teóricu

El principiu que Melde utilizó nel so esperimentu consideró'l camientu qu'una cuerda tien un pesu despreciable. Franz estableció que por cuenta de la combadura del cable, les fuercies en realidá nun son direutamente opuestes.

Melde supunxo dos situaciones qu'asocedíen nos exes x y y. Él suxirió que nel exa x nun hai desplazamientu de la porción de la cuerda y estableció la siguiente rellación:

T'_{x}=T_{x}\,

Nel exa y, sicasí, descompunxo vectorialmente les fuercies en función del ángulu producíu poles mesmes nel llau de la combadura, llogrando estes rellaciones:

T'_{y}=Tsen\alpha '\,

T'_{y}=-Tsen\alpha \,

Esquema del esperimentu de Melde amosando un cable y la descomposición vectorial de les fuercies actuantes sobre él.

Franz estableció que la fuercia resultante na porción ${\overline {AB}}\,$ ye:

F_{y}=T(sen\alpha '-sen\alpha )\,

;

sicasí Melde suxirió qu'estos ángulos pueden ser pequeños nel analís polo que reformuló la espresión anterior en términos de la tanxente del ángulu.

F_{y}=T(tg\alpha '-tg\alpha )\,

A partir d'un analís matemáticu d'esta ecuación, Franz estableció qu'asocedía un cambéu nel ángulu a midida que la onda siguía col so percorríu polo qu'estableció:

F_{y}=T\Delta (tg\alpha )\,

Melde reformuló esta última espresión con base en términos de diferenciales pa llograr un aproximamientu más precisu cercana a casos reales.

F_{y}=T{\partial  \over \partial x}tg(\alpha )dx\,

Melde camudó'l parámetru del ángulu con base na so dependencia funcional con al respective de la posición y el tiempu. Polo qu'estableció que la tanxente del ángulu dependería del diferencial d'un altor $\xi \,$ con respectu al diferencial de la posición $x\,$ .

tg\alpha \rightarrow f(x,t)\,

tg\alpha ={\partial \xi  \over \partial x}\,

Por aciu el cálculu diferencial, Franz Melde estableció que la fuercia dependía de la tensión y de la diferencial parcial de segundu orde del altor de la onda $\xi \,$ con al respective de la posición.

F_{y}=T{\partial ^{2}\xi  \over \partial x^{2}}dx\,

Basándose na segunda llei de Newton de la mecánica clásica, Melde introdució'l parámetru de la densidá llinial y formuló esta ecuación:

\rho dx{\partial ^{2}\xi  \over \partial t^{2}}=T{\partial ^{2}\xi  \over \partial x^{2}}dx\,

, que resolviendo llógrase, :

{\partial ^{2}\xi  \over \partial t^{2}}={T \over \rho }{\partial ^{2}\xi  \over \partial x^{2}}\,

Melde comparó esta última espresión cola definición de la velocidá con base en diferenciales del cálculu de Newton y por aciu un axuste estableció la dependencia de la velocidá de la onda estacionaria con al respective de la tensión aplicao y la densidá llinial.

{\partial ^{2}\xi  \over \partial t^{2}}={T \over \rho }{\partial ^{2}\xi  \over \partial x^{2}}\,

{\partial ^{2}\xi  \over \partial t^{2}}=v^{2}{\partial ^{2}\xi  \over \partial x^{2}}\,

v={\sqrt {T \over \rho }}\,

Finalmente, a la última ecuación denominar velocidá de la onda estacionaria, y basándose en cálculos alxebraicos estableció la velocidá en función: de la frecuencia $\nu \,$ , del llonxitú d'onda $\lambda \,$ y de la tensión aplicao sobre'l cable que sirve de mediu de conducción de la onda.

v=\nu \lambda \,

T=\rho \nu ^{2}\lambda ^{2}\,

Demostración esperimental

Nes condiciones esistentes al interior d'un llaboratoriu ye posible reproducir l'esperimentu de Melde y confirmar lo que pudo demostrase nel sieglu XIX. La corriente llétrica doméstica tien una frecuencia de 60 Hz. Un observador agudu podría predicir qu'esta ye la mesma frecuencia qu'esperimentaríen les ondes estacionaries. Sicasí, Melde correutamente supunxo qu'estes ondes sufren una interferencia al momentu d'atopase cuando dambes viaxen en dos direiciones, polo qu'esta frecuencia inicial ye alteriada cuasi al doble.

Un exemplu d'esti esperimentu foi realizáu nos llaboratorios de Física de la UNMSM, nel añu 2006. Y los resultaos reportaes fueron los siguientes.

Cantidá de crestes producíes	Tensión (N)	Llonxitú d'onda $\lambda \,$ (m)	Llonxitú d'onda elevada al cuadráu $\lambda ^{2}\,$ (m²)
3	4,89	1,17	1,37
4	2,93	0,94	0,88
5	1,46	0,72	0,52
6	0,68	0,6	0,36
7	0,48	0,52	0,27
8	0,20	0,47	0,22

El términu de la densidá llinial que s'utilizó nel esperimentu foi de $2,84\times 10^{-4}{kg \over m}$ .

Gráfica de la dependencia de tensión-llonxitú d'onda. Reparar que la distribución proyeutada ye de naturaleza cuadrática.

Analís gráficu

Una forma bien útil que s'emplegó mientres estudiu de les ondes estacionaries por Melde foi l'analís de les gráfiques que se producen al rexistrar los datos. Puesto que les rectes o curves llograes nuna gráfica pueden predicir el comportamientu d'un fenómenu, este foi'l métodu que s'utilizó pa conocer la frecuencia de les ondes oscilatories.

Dependencia de tensión-llonxitú d'onda

La gráfica producida na representación gráfica de los datos de tensión con respectu del llonxitú d'onda, ye similar a una parábola. Melde pudo demostrar que la rellación esistente ente la tensión llétrico y la llonxitú d'onda ye de naturaleza cuadrática. D'esta manera establecíó qu'asina se presenta'l comportamientu de la frecuencia nes ondes estacionaries.

Dependencia de tensión-llonxitú d'onda al cuadráu

Les curves y trazos, son bien útiles pa poder reconocer el comportamientu d'un fenómenu de la naturaleza, pero los científicos prefieren emplegar puramente les rectes na predicción d'un fenómenu yá que ye posible predicir cuál o qué puntu, va ser el que va venir.

Un exemplu d'ello foi la interpretación de la recta a partir de la curva que llograron los científicos Leonor Michaelis y Maud Menten nos años 1910 cuando estudiaron la cinética de les reacciones bioquímiques.

Gráfica de la función llinial producida de la distribución de la tensión con respectu del cuadráu del llonxitú d'onda.

Melde atopó que, por aciu el métodu d'aproximamientu de mínimos cuadraos aplicáu na distribución de función llinial de la tensión-llonxitú d'onda, yera posible conocer y predicir por aciu la pendiente d'esa recta'l valor de la frecuencia. Na rimada yá taben incluyíos de forma estadística, los fenómenos producíos pola tensión aplicada nel cable y les ondes provocaes pol pulsiador llétricu, arriendes d'ello, una descripción matemática de tol fenómenu; lo mesmo qu'él pudo predicir nos sos cálculos teóricos.

Frecuencia de les ondes estacionaries

Al ser emplegáu l'aproximamientu de mínimos cuadraos nel esperimentu de Melde basándose nos datos reportaos polos llonxitúes d'onda y la tensión, puede establecese que la ecuación de la recta que gobierna esti modelu pa esti casu específicu ye la siguiente:

f(x)=4.0826x-0.6898\,

Como'l valor qu'acompaña a la variable $x\,$ representa'l valor de la rimada d'una recta, que nesti casu nun pasa pol orixe del sistema de coordenaes, ye posible conocer la frecuencia de la onda, a partir de la rellación que predixo Melde con base en cálculu diferencial.

Si la rellación tensión y llonxitú d'onda al cuadráu espresada pola rimada de la recta ye;

m={T \over \lambda ^{2}}

T=\lambda ^{2}m\,

entós, reemplazada na rellación de Melde

f={1 \over \lambda }{\sqrt {T \over \rho }}

ye posible reformular la espresión de Melde con base na rimada d'una recta (m) llograda por aciu l'axuste de mínimos cuadraos.

f={\sqrt {m \over \rho }}

Polo tanto puede conocese la frecuencia d'una onda estacionaria nel esperimentu de Melde, conociendo'l valor de la rimada y del términu de la densidá llinial. Con base nesos cálculos puede predicise el so valor. (Respetando les unidaes del Sistema internacional.)

$f={\sqrt {4.0826{kg \over s^{2}m} \over 2.84\times 10^{-4}{kg \over m}}}=119.897Hz$

Con esta resultancia queda demostráu que Melde taba no correcto al abarruntar que la frecuencia vese alteriada cuando asocede'l fenómenu de la interferencia d'ondes. Amás esti valor ye cuasi'l doble de la frecuencia de la corriente llétrica doméstica.

Influencia del esperimentu de Melde na actualidá

Magar l'esperimentu de Melde dexó la reconocencia y estudiu de les ondes estacionaries, ello nun quedó llindáu a esi campu. Les ondes estacionaries son un fenómenu con implicaciones bien importantes nel campu de l'acústica y el fenómenu de la reflexón y interferencia constructiva de les ondes.

Sonar

Ondes estacionaries producíes al alcuentru de dos pulsos sónicos que s'atopen.

El sonar (acrónimu de Sound Navigation And Ranging) ye, básicamente, un sistema de navegación y llocalización similar al radar pero que, en llugar d'emitir señales de radiofrecuencia, emite impulsos ultrasónicos. El tresmisor emite un fexe d'impulsos ultrasónicos al traviés del emisor. Cuando topeten con un oxetu, los impulsos refléxense y formen una señal d'ecu (onda estacionaria) que ye captada pol receptor.

Dellos animales tienen un sónar natural como ye'l casu de los delfines. Estos utilizar pa empobinase n'agües turbies y cazar con seguridá.

Los esperteyos utilizar pa empobinase y cazar na escuridá, emitiendo vibraciones ultrasóniques curties que se reflexen nes parés del cuartu o llugar en que s'atopen o na so presa.

Anque los animales nun tener un sistema instrumental que dexe alcontrar los nodos o anti nodos, los sos órganos biolóxicos pueden estremar les ondes estacionaries y asina emponese mientres la nueche o na fondura del mar

Ecografía

Tableru d'un aparatu d'ecografía, na pantalla puede estremase un fetu.

La ecografía ye un procedimientu de radioloxía qu'emplega los ecos d'una emisión d'ultrasoníos dirixida sobre un cuerpu o oxetu como fonte de datos pa formar una imaxe de los órganos o mases internes con fines de diagnósticu. Un pequeñu instrumentu similar a un micrófonu llamáu transductor emite ondes d'ultrasoníos. Estes ondes sonores d'alta frecuencia tresmitir escontra l'área del cuerpu baxu estudiu, y recibir el so ecu. El transductor recueye l'ecu de les ondes sonores (fenómenu de les ondes estacionaries) y un ordenador convierte esti ecu nuna imaxe qu'apaez na pantalla del ordenador.

La ecografía ye un procedimientu bien senciellu, nel que nun s'emplega radiación, y nun se llinda al campu de la obstetricia, tamién puede detectar tumores nel fégadu, vesícula, páncrees y hasta nel interior del abdome.

Telecomunicaciones

Al realizase una tresmisión de televisión o una comunicación radial o telefónica, prodúcense les ondes estacionaries. Les radiofrecuencies de televisión, aparatos de fax, telefonía móvil, y tresmisiones satelitales producir nel campu electromagnético. La radiación electromagnético ye una combinación de campos llétricos y magnéticos trémboles y perpendiculares ente sigo que s'arrobinen al traviés del espaciu tresportando enerxía d'un llugar a otru. Cada puntu onde dambes ondes atópense representa un nodo. Esta superposición d'ondes xenera un efeutu d'ondes estacionaries.

Música

Tecláu d'un órganu de la Basílica de San Martín n'Alemaña: al llau de les tecles, pueden vese los interruptores del pasu d'aire pa cada tubu.

Los tubos de caña o d'otres plantes de tueru buecu, constituyeron los primeres instrumentos musicales. Emitíen soníu soplando por un estremu. L'aire conteníu nel tubu entraba en vibración emitiendo un soníu.

Les versiones modernes d'estos instrumentos de vientu son les flautes, les trompetes y los clarinetes, toos ellos desenvueltos de forma que l'intérprete produza munches notes dientro d'una amplia gama de frecuencies acústiques.

Al interior del tubu d'un órganu, l'aire tresformar nun remexu na hendidura ente l'alma (una placa tresversal al tubu) y el llabiu inferior. El remexu d'aire interacciona cola columna d'aire contenida nel tubu. Les ondes que s'arrobinen a lo llargo de la corriente aturbolinada caltienen una oscilación uniforme, produciendo ondes estacionaries na columna d'aire, faciendo que'l tubu suene.

Referencies

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Ver tamién

Referencies

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↑ Melde, Franz. "Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers." Annalen der Physik 185, non. 2 (1860): 193-215.
↑ Melde, Franz. Die Lehre von dean Schwingungscurven...: mit einem Atles von 11 Tafeln in Steindruck. JA Barth, 1864.
↑ Melde, Franz. "Akustische Experimentaluntersuchungen." Annalen der Physik 257, non. 3 (1884): 452-470.

Enllaces esternos

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[1] Melde, Franz. Ueber einige krumme Flächen, welche von Ebenen, parallel einer bestimmten Ebene, durchschnitten, als Durchschnittsfigur einen Kegelschnitt liefern: Inaugural-Dissertation... Koch, 1859.

[2] Melde, Franz. "Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers." Annalen der Physik 185, non. 2 (1860): 193-215.

[3] Melde, Franz. Die Lehre von dean Schwingungscurven...: mit einem Atles von 11 Tafeln in Steindruck. JA Barth, 1864.

[4] Melde, Franz. "Akustische Experimentaluntersuchungen." Annalen der Physik 257, non. 3 (1884): 452-470.

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