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Srinivasa Aiyangar Ramanujan

(Redirixío dende Srinivasa Ramanujan)

Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan (Tocante a esti soníu /ʃriːnivɑːsə rɑːmɑːnʊdʒən/ tamil: ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன், treslliteráu: Srinivasa Ramanujan Iyengar o a cencielles como Ramanujan; Erode, 22 d'avientu de 1887 - Kumbakonam, 26 d'abril de 1920) foi un matemáticu autodidacta indiu que, con una mínima educación académica en matemátiques pures, fixo contribuciones estraordinaries al analís matemáticu, la teoría de númberos, les series y les fracciones continues. Ramanujan desenvolvió primeramente la so propia investigación matemática en forma aisllada; que foi rápido reconocida polos matemáticos indios. Cuando les sos habilidaes fixéronse evidentes pa una comunidá matemática más amplia, centrada n'Europa nesi momentu, empezó la so famosa collaboración col matemáticu británicu G. H. Hardy. Redescubrió teoremas conocíos primeramente, amás de formular numberoses nueves proposiciones.

Srinivasa Aiyangar RamanujanPicto infobox character.png
Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Vida
Nacimientu Erode Traducir22  d'avientu de 1887
Nacionalidá British Raj Red Ensign.svg indiu
Fallecimientu Kumbakonam Traducir26 d'abril de 1920 ()
Causa de la muerte Tuberculosis
amebiasis Traducir
Estudios
Estudios Pachaiyappa's College Traducir
Universidá de Madrás
Town Higher Secondary School Traducir
Direutor/a de tesis Godfrey Harold Hardy
Alumnu/a de John Edensor Littlewood Traducir
Oficiu
Oficiu matemáticu
Emplegadores Trinity College Traducir
Premios
Miembru de Royal Society
Creencies
Relixón Hinduismu
Srinivasa Ramanujan signature.gif
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Mientres la so curtia vida, Ramanujan foi capaz de compilar casi 3.900 resultancies independientes (na so mayoría identidaes y ecuaciones).[1] Casi tolos sos afayos demostráronse válidos, anque dalgunos yá yeren primeramente conocíos.[2] Llogró resultaos que yeren al empar orixinales y bien pocu convencionales, como los númberos primos de Ramanujan y la función theta de Ramanujan, que de la mesma inspiraron una gran cantidá d'investigaciones.[3]

Datos biográficosEditar

Primeros añosEditar

 
Casa de Ramanujan. Sarangapani Street, Kumbakonam

Ramanujan nació'l 22 d'avientu de 1887 en Erode, na provincia de Madrás, daquella perteneciente al Imperiu Británicu, na residencia de los sos güelos maternos. Descendiente d'una familia de brahmanes,[4] el so padre, K. Srinivasa Iyengar, trabayaba como emplegáu nuna tienda de saris y provenía del barriu de Thanjavur.[5] La so madre, Komalatammal, yera una ama de casa, aficionada a cantar nun templu local.[6] Vivíen nuna casa tradicional de la cai Sarangapani de la ciudá de Kumbakonam (la casa de la familia ye anguaño un muséu). Cuando Ramanujan tenía un añu y mediu d'edá, la so madre dio a lluz a otru fíu llamáu Sadagopan, que morrió menos de tres meses dempués. N'avientu de 1889, Ramanujan careció la viruela, de la que pudo recuperase a diferencia de los miles de persones nel Distritu de Thanjavur que morrieron de la enfermedá aquel añu.[7] Treslladar cola so madre a la casa de los sos güelos maternos en Kanchipuram, cerca de Madrás (agora Chennai). En payares de 1891, y nuevamente en 1894, la so madre dio a lluz a otros dos fíos, que morrieron na infancia.

El 1 d'ochobre de 1892, Ramanujan matricular na escuela local.[8] En marzu de 1894, foi treslladáu a una escuela de grau mediu. Dempués de qu'el so güelu maternu perdiera'l so trabayu como oficial de la corte en Kanchipuram,[9] Ramanujan y la so madre tornaron a Kumbakonam y foi inscritu na escuela primaria de Kangayan.[10] Cuando'l so güelu paternu morrió, foi unviáu de vuelta colos sos güelos maternos, quien entós vivíen en Madrás. La escuela en Madrás nun-y gustaba, y el mozu Ramanujan evitaba allegar a clase siempres que podía. La so familia contrató un axente de policía llocal p'asegurase de qu'asistía a la escuela. Seis meses dempués, Ramanujan taba de vuelta en Kumbakonam.[10]

Cuidao que el padre de Ramanujan pasar nel so trabayu la mayor parte del día, foi la so madre quien curió d'él casi n'esclusiva cuando yera neñu. La rellación ente dambos foi bien estrecha. Ella foi la que lu instruyó na tradición y nes puranas (lliteratura tradicional hinduista). Aprendió a cantar cantares relixosos, p'asistir a les puyes nel templu, y a caltener determinaos vezos alimenticios propios de la cultura de los brahmanes.[11] Ramanujan empezó por fin a rindir satisfactoriamente na escuela primaria de Kangayan. Xustu antes de cumplir 10 años, en payares de 1897, pasó los sos exámenes de primaria n'inglés, idioma tamil, xeografía y aritmética, coles meyores calificaciones del distritu.[12] Esi añu, Ramanujan entró na escuela secundaria cimera de la ciudá, onde s'atopó coles matemátiques formales per primer vegada.[12]

Con 11 años, Ramanujan escosara la conocencia matemática de dos estudiantes universitarios que yeren inquilinos na so casa. Foi más tarde cuando-y emprestaron un llibru de trigonometría avanzada escritu por S. L. Loney.[13][14] Llegó a apoderar por completu esti llibru con 13 años y afayó teoremas sofisticaos pola so cuenta. A los 14 años, taba recibiendo certificaos de méritu y premios académicos que siguieron mientres tola so carrera escolar y tamién ayudaba a la direición de la escuela collaborando na loxística de la asignación de les sos 1200 estudiantes (cada unu coles sos propies necesidaes) a los sos pocu más de 35 profesores.[15] Completaba los exámenes matemáticos na metá del tiempu asignáu, y amosó una sorprendente familiaridá cola xeometría y coles series infinites. Ramanujan foi instruyíu en cómo resolver ecuaciones cúbiques en 1902 y de siguío atopó'l so propiu métodu pa resolver les de cuartu grau. Al añu siguiente, ensin saber que la ecuación de quintu grau nun podía ser resuelta por radicales como demostrara Évariste Galois setenta años antes, trató de resolvela pola so cuenta.

En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan llogró d'un amigu una copia d'un llibru de G. S. Carr emprestáu nuna biblioteca.[16][17] El llibru, tituláu "Synopsis of Pure Mathematics", yera una colección de 5000 teoremas. Ramanujan estudió los artículos y el conteníu del llibru en detalle.[18] Esti llibru ye xeneralmente reconocíu como un elementu clave pa espertar el xeniu de Ramanujan.[18] Al añu siguiente, trabayara de manera independiente ya investigó los númberos de Bernoulli y calculara la constante de Euler–Mascheroni con 15 decimales de precisión.[19] Los sos compañeros d'aquella dómina comentaron dempués que "escasamente entender" y que sentíen por él "una medrana respetuosa".[15]

Cuando se graduó na escuela secundaria en 1904, Ramanujan foi galardonáu col premiu de matemátiques K. Ranganatha Rayo pol direutor de la escuela, Krishnaswami Iyer. Iyer estremó a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía una puntuación más alta que la máxima nota posible.[15] Recibió una beca pa estudiar nel Government Arts College de Kumbakonam.[20][21] Sicasí, Ramanujan taba tan concentráu nel estudiu de les matemátiques que nun yera capaz de dedicase a otros asuntos, hasta'l puntu de que perdió la beca nel procesu de la so tramitación.[22] N'agostu de 1905, escapar de la so casa en direición a Visakhapatnam y quedóse en Rajahmundry[23] alredor d'un mes.[24] Más tarde matriculóse nel Pachaiyappa's College de Madrás. Nuevamente destacó en matemátiques, pero tuvo problemes con otres materies como la fisioloxía. Ramanujan falló nel so exame de Fellow of Arts n'avientu de 1906 y de nuevu un añu más tarde. Ensin un títulu, dexó la universidá y siguió cola investigación independiente en matemátiques. Nesti puntu de la so vida, subsistió na probeza estrema y tuvo de cutiu en cantu de la inanición.[25]

Edá adulta na IndiaEditar

El 14 de xunetu de 1909, Ramanujan casóse con una novia de diez años d'edá, Srimathi Janaki (Janakiammal), (21 de marzu de 1899 - 13 d'abril de 1994)[26][27] procedente de Rajendram, un pueblu cercanu a la estación de ferrocarril de Marudur (distritu de Karur). El padre de Ramanujan nun participó na ceremonia del matrimoniu.[28]

Dempués de la unión, Ramanujan desenvolvió un hidrocele testis, una hinchadura anormal de la membrana interna de los testículos.[29] L'afección pudo ser tratada con una operación quirúrxica de rutina que llibera'l fluyíu bloquiáu nel sacu escrotal, pero la so familia escarecía del dineru necesario pa costear la operación. Nun foi hasta xineru de 1910, cuando un médicu ufiertar a faer la ciruxía gratuitamente.[30]

Dempués de la so ciruxía esitosa, Ramanujan buscó un emplegu. Quedóse en casa de los sos amigos mientres diba de puerta en puerta en redol a la ciudá de Madrás (anguaño Chennai) en busca d'un trabayu d'oficina. Pa consiguir daqué de dineru, foi tutor de dellos estudiantes de la Universidá de la Presidencia que se preparar pal so exame de First Arts.[31]

A finales de 1910, Ramanujan taba enfermu de nuevu, posiblemente como resultáu de la ciruxía que se-y prauticó a primeros d'añu. Tarrecía pol so salú, ya inclusive-y llegó a encargar al so amigu, R. Radakrishna Iyer, que "apurriérense [los cuadiernos matemáticos de Ramanujan] al profesor Singaravelu Mudaliar [profesor de matemátiques nel Colexu de Pachaiyappa] o al profesor británicu Edward B. Ross, del Madras Christian College".[32] Dempués de que Ramanujan sanó de nuevu, recuperó los sos cuadiernos de Iyer y tomó un tren escontra'l norte dende Kumbakonam a Viluppuram, una ciudá costera daquella so control francés.[33][34]

Atención escontra les matemátiquesEditar

Ramanujan conoció al altu funcionariu V. Ramaswamy Aiyer, que fundara apocayá la Sociedá Matemática de la India.[35] Deseyando consiguir un trabayu nel departamentu de recaldación, onde Ramaswamy Aiyer trabayaba, amosó-y el so cuadiernos de matemátiques. Como Ramaswamy Aiyer recordó más tarde:

Llamáronme l'atención les estraordinaries resultancies matemátiques conteníos nellos [los cuadiernos]. Yo nun tenía en mente afogar el so xeniu con un puestu nos pasos más baxos del departamentu de recaldación.[36]

Ramaswamy Aiyer unvió cartes de presentación de Ramanujan a los sos amigos matemáticos en Madrás.[35] Dalgunos d'estos amigos vieron el so trabayu y diéron-y de la mesma cartes de presentación pa R. Ramachandra Rayo, recaldador del distritu de Nellore y secretariu de la Sociedá Matemática de la India.[37][38][39] Ramachandra Rayo quedó impresionáu pola investigación de Ramanujan, pero duldaba de qu'en realidá fuera la so propia obra. Ramanujan menta una correspondencia que tuvo col profesor Saldhana, un matemáticu notable de Bombay, na que Saldhana espresaba una falta de comprensión de la so obra, pero llegaba a la conclusión de que Ramanujan nun yera un farsante.[40] El so amigu C.V. Rajagopalachari persistió ante Ramachandra Rayo y trató d'encalorar cualquier dulda sobre la integridá académica de Ramanujan. Rayo aportó a da-y otra oportunidá, y escuchó a Ramanujan disertando sobre integrales elíptiques, series hipergeométricas, y la so teoría de series diverxentes. Rayo manifestó n'última instancia que s'había "convertíu", y que taba convencíu de la brillantez de la matemática de Ramanujan.[40] Cuando Rayo preguntó-y lo que quería, Ramanujan respondió que precisaba un pocu de trabayu y sofitu financieru. Rayo tuvo d'alcuerdu y unviar a Madrás. Siguió la so investigación matemática cola ayuda financiera de Rayo curiando de les sos necesidaes diaries. Ramanujan, cola ayuda de Ramaswamy Aiyer, pudo publicar el so trabayu nel Diariu de la Sociedá Matemática de la India.[41]

Unu de los primeros problemes plantegaos na revista foi:

 

Esperó a que llegara una solución mientres tres ediciones de la revista, más de seis meses, pero nun recibió nenguna. A la fin, Ramanujan facilitó la solución al problema. Na páxina 105 del so primer cuadiernu, formuló una ecuación que podía utilizase pa resolver el problema de la socesión infinita de radicales añeraos:

 

Utilizando esta ecuación, la respuesta a la entruga plantegada nel Diariu yera a cencielles 3.[42]

Ramanujan escribió'l so primer documentu formal pal Diariu sobre les propiedaes de los númberos de Bernoulli. Una propiedá qu'afayó foi que los denominadores (socesión A027642 n'OEIS) de les fracciones de númberos de Bernoulli yeren siempres divisibles por seis. Tamién escurrió un métodu de cálculu Bn sobre la base de los númberos de Bernoulli anteriores. Unu d'estos métodos yera'l siguiente:

Reparar que si n ye par pero distintu de cero, entós
(i) Bn ye una fracción de Bernoulli y el numberador de   nos sos términos más baxos ye un númberu primu,
(ii) el denominador de Bn contién cada unu de los factores 2 y 3 una vegada y solo una vegada,
(iii)   ye un enteru y   consecuentemente ye un 'enteru impar'.

Nel so documentu de 17 páxines, "Delles propiedaes de los númberos de Bernoulli", Ramanujan formuló trés pruebes, dos corolarios y trés conxetures.[43] Ramanujan de primeres redactaba los sos artículos con bastantes faltes. Como l'editor del 'Diariu' MT Narayana Iyengar señaló:

Los métodos del señor Ramanujan yeren tan curtios y los testos y la so presentación tan faltos de claridá y precisión, que d'ordinariu [un llector de matemática], poco avezáu a esti tipu de ximnasia intelectual, apenes podía sigui-y.[44]

Ramanujan escribió más tarde otru artículu y tamién siguió publicando problemes nel Diariu.[45] A principios de 1912, consiguió un trabayu temporal na oficina de Contabilidá Xeneral de Madrás, con un salariu de 20 rupies al mes. Duró ellí solo unes selmanes,[46] solicitando entós un puestu a les órdenes del Xefe de Contabilidá del Trust del Puertu de Madrás. Nuna carta de fecha 9 de febreru de 1912, Ramanujan escribió:

Sir,
Entiendo qu'hai una pasantía vacante na so oficina, y ruégolu que considere la mio solicitú. Tengo aprobáu l'exame d'ingresu y los estudios del First Arts, pero nun pudi prosiguir los mios estudios por cuenta de delles circunstancies adverses. Tuvi, sicasí, dedicando tol mio tiempu a les matemátiques y al so desenvolvimientu. Puedo dicir que toi abondo seguro de que puedo faer xusticia al mio trabayu si soi nomáu pal puestu. Dexo confiar en que va ser lo suficientemente bondosu como pa conferime'l nomamientu.[47]

Axuntar a la so solicitú un encamientu de Y. W. Middlemast, profesor de matemátiques nel Colexu Presidencial de Chennai, quien escribió que Ramanujan yera "un mozu de capacidá escepcional en Matemátiques".[48] Tres selmanes dempués de mandar la carta, el 1 de marzu, enterar de que fuera aceptáu como auxiliar de contabilidá, con un sueldu de 30 rupies al mes.[49] Na so oficina, Ramanujan completaba'l so trabayu fácil y rápido, polo que podía pasar el tiempu restante faciendo investigación matemática. El xefe de Ramanujan, Sir Francis Spring, y S. Narayana Iyer, el so colega que tamién yera'l tesoreru de la Sociedá Matemática de la India, animaron a Ramanujan nes sos actividaes matemátiques.

Contautu con matemáticos británicosEditar

Na primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rayo y Y. W. Middlemast trataron de presentar el trabayu de Ramanujan a los matemáticos británicos. Un matemáticu, M. J. M. Hill del University College de Londres, comentó que los trabayos de Ramanujan "taben llenos de furacos",[50] señalando qu'anque Ramanujan tenía "un ciertu gustu poles matemátiques, y un pocu d'habilidá", escarecía de la formación académica y de los fundamentos necesarios pa ser aceptáu pola comunidá matemática.[51] Anque Hill nun s'ufiertó a tomar a Ramanujan como estudiante, sí-y dio asesoramientu profesional completu y formal nel so trabayu. Cola ayuda d'amigos, Ramanujan redactó cartes empobinaes a los principales matemáticos de la Universidá de Cambridge.[52]

Los dos primeros profesores, H. F. Baker y Y. W. Hobson, devolvieron los escritos de Ramanujan ensin comentarios.[53] El 16 de xineru de 1913, Ramanujan escribió a G. H. Hardy. Viniendo d'un matemáticu desconocíu, Hardy pensó nos nueve páxines manuscrites que recibió de Ramanujan como un posible "fraude".[54] Reconoció dalgunes de les fórmules de Ramanujan, pero otres -y "paecíen casi imposibles de creer".[55] Unu d'estos teoremas que Hardy atopó casi imposibles de creer taba na parte inferior de la páxina trés (válidu pa 0  < a < b + 1/2):

 

Hardy tamién quedó impresionáu por dalgunos de los trabayos de Ramanujan en rellación coles series infinites:

 
 

La primer resultancia yá fuera determináu por un matemáticu llamáu Bauer. El segundu yera nuevu pa Hardy, y derívase d'una clase de funciones llamaes series hipergeométricas que primero fueren investigaes por Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss. En comparanza col trabayu de Ramanujan en integrales, Hardy atopó estes resultancies "muncho más intrigantes".[56] Dempués vio los teoremas de Ramanujan en fracciones continues na última páxina de los manuscritos, y comentó que "[los teoremas] ganáronme por completu, yo nunca había vistu antes nada asemeyao n'absolutu".[57] Imaxinóse que los teoremas de Ramanujan "tienen de ser verdá, porque, si nun yeren ciertos, naide tendría la imaxinación necesaria pa inventa-y los".[57] Hardy pidió a un colega, J. Y. Littlewood, que mirara'l manuscritu. Littlewood quedó sosprendíu pol xeniu matemáticu de Ramanujan. Dempués d'estudiar l'escritu con Littlewood, Hardy llegó a la conclusión de que les cartes yeren "ensin dulda lo más notable que recibí", y comentaron que Ramanujan yera "un matemáticu de la más alta calidá, un home d'orixinalidá y capacidá totalmente escepcionales".[58] Un colega, Y. H. Neville, darréu comentó que "nin unu solu de los [teorema]s podría incluyise nel exame de matemátiques más avanzáu del mundu".[59]

El 8 de febreru de 1913, Hardy escribió una carta a Ramanujan, espresando'l so interés pol so trabayu. Hardy tamién añedió que yera "esencial que yo vea pruebes de delles de les sos afirmaciones".[60] Primero que la so carta llegara a Madrás mientres la tercer selmana de febreru, Hardy poner en contautu cola Oficina de la India pa planiar el viaxe de Ramanujan a Cambridge. Arthur Davies, Secretariu del Comité Asesor pa los Estudiantes de la India axuntar con Ramanujan pa entamar el so viaxe a Inglaterra.[61] Sicasí, acordies con la so educación Brahmán, Ramanujan negar en principiu a salir del so país pa "dir a un país estranxeru".[62] Mentanto, Ramanujan unvió una nueva carta a Hardy con teoremas, na que-y dicía que "Atopé un amigu en ti que ve'l mio trabayu con simpatía."[63]

Pa complementar el respaldu de Hardy, un ex profesor de matemátiques nel Trinity College de Cambridge, Gilbert Walker, pudo ver el trabayu de Ramanujan y espresó el so plasmu, encamentándolo a pasar un tiempu en Cambridge.[64] Como resultáu de l'aprobación de Walker, B. Hanumantha Rayo, profesor de matemátiques nuna universidá d'inxeniería, convidó a Narayana Iyer a una xunta de la Xunta d'Estudios de Matemátiques p'aldericar "lo que podemos faer por S. Ramanujan".[65] La xunta alcordó conceder a Ramanujan una beca d'investigación de 75 rupies per mes mientres los siguientes dos años na Universidá de Madrás.[66] Mientres tuvo contratáu como estudiante d'investigación, Ramanujan siguió presentando trabayos a la Revista de la Sociedá Matemática de la India. Nun casu, Narayana Iyer presentó dellos teoremas de Ramanujan relativos a la suma d'una serie a la revista, añediendo que "El siguiente teorema deber a S. Ramanujan, estudiante de matemátiques de la Universidá de Madrás". Más tarde, en payares, el profesor británicu Edward B. Ross del Christian College de Madrás, a quien Ramanujan conociera unos años antes, aprució na so clase un día colos sos güeyos brillosos, preguntando a los sos estudiantes "¿Sabe Ramanujan polacu?" La razón yera que nun artículu, Ramanujan antemanara'l trabayu d'un matemáticu polacu que la so ponencia acababa de llegar nel corréu del día.[67] Nos sos trabayos trimestrales, Ramanujan ellaboró teoremas pa resolver integrales definíes con mayor facilidá. Trabayó sobre'l teorema integral de Giuliano Frullani publicáu en 1821, formulando xeneralizaciones que podíen faese pa evaluar integrales enantes inabordables.[68]

La correspondencia de Hardy con Ramanujan agrióse dempués de que Ramanujan negar a viaxar a Inglaterra. Hardy encargó a un colega que taba dando conferencies en Madrás, Y.H. Neville, que convenciera a Ramanujan pa dir a Inglaterra.[69] Neville preguntó a Ramanujan que por qué nun quería dir a Cambridge. Al paecer, Ramanujan agora aceptara la propuesta; como Neville dixo, "Ramanujan nun precisaba ser convencíu, y l'oposición de los sos padres fuera retirada".[59] Al paecer, la madre de Ramanujan tuvo un suañu vívido nel que la diosa de la familia, Namagiri Thayar, ordenólu que "nun enllargara más tiempu la separación ente'l so fíu y el cumplimientu del propósitu de la so vida".[59] Ramanujan embarcóse por fin escontra Inglaterra, dexando a la so esposa colos sos padres na India.

Estancia n'InglaterraEditar

 
Ramanujan (centru) con otros científicos nel Trinity College
 
Whewell's Court, Trinity College, Cambridge

Ramanujan embarcó nel SS Nevasa el 17 de marzu de 1914. A les 10 de la mañana, el barcu partió de Madrás.[70] Llegó a Londres el 14 d'abril, con EH Neville esperándo-y con un coche. Cuatro díes dempués, Neville llevar a la so casa en Chesterton Road, en Cambridge. Ramanujan empezó darréu'l so trabayu con Littlewood y Hardy. Dempués de seis selmanes, camudar de la casa de Neville y afitó la so residencia en Whewell Court, a solu cinco minutos a cuerpu de l'habitación de Hardy.[71] Hardy y Littlewood empezaron a echar una güeyada a los cuadiernos de Ramanujan. El mesmu Hardy yá recibiera 120 teoremas de Ramanujan nos dos primeres cartes, pero había munchos más resultaos y teoremas nos cuadiernos. Vio que dalgunos taben equivocaos, otros yá fueren descubiertos, pero'l restu yeren nueves idees orixinales.[72] Ramanujan causó una fonda impresión en Hardy y en Littlewood, quien comentó: "Creo que ye siquier un nuevu Jacobi",[73] mientres Hardy dixo que "Puede comparáse-y namái con [Leonhard] Euler o Jacobi."[74]

Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge collaborando con Hardy y Littlewood, y publicó una parte de los sos afayos ellí. Hardy y Ramanujan teníen personalidaes totalmente contrapuestes. La so collaboración foi un choque de distintes cultures, creencies y estilos de trabayu. Hardy yera atéu y un apóstol de la prueba y el rigor matemático, ente que Ramanujan yera un home fondamente relixosu y sofitábase fuertemente na so intuición. Ente que Ramanujan permaneció n'Inglaterra, Hardy fixo tou lo posible pa enllenar les llagunes na educación del so colega ensin atayar el so conxuru d'inspiración.

Ramanujan foi galardonáu con una llicenciatura en Ciencies (esti grau foi más tarde renombráu PhD) en marzu de 1916 pol so trabayu d'investigación en númberos altamente compuestos, la primer parte de la cual foi publicada como un documentu nes Actes de la London Mathematical Society. L'artículu tenía más de 50 páxines cola demostración de distintes propiedaes de tales númberos pero por cuenta de una escasez de papel causada pola Primer Guerra Mundial nun se terminó de publicar sinón hasta 1997 en "The Ramanujan Journal". [75] Hardy comentó que Ramanujan amosó un estraordinariu inxeniu nel so manexu pero a pesar d'ello nun fixo qu'esta área de conocencies fuera daqué interesante, na so opinión.[76]

El 6 d'avientu de 1917, foi escoyíu miembru de la Sociedá Matemática de Londres. Foi nomáu Miembru de la Royal Society en 1918, convirtiéndose nel segundu indiu en consiguilo, tres Ardaseer Cursetjee en 1841, a los 31 años, siendo unu de los estudiosos más nuevos na hestoria de la Royal Society. Resultó escoyíu "pola so investigación en Funciones Elíptiques y na Teoría de Númberos." El 13 d'ochobre de 1918, convertir nel primer indiu escoyíu Miembru del Trinity College.[77]

Enfermedá y muerteEditar

Llaráu de problemes de salú mientres tola so vida, viviendo nun país llueñe del so llar y obsesivamente arreyáu coles sos matemátiques, la salú de Ramanujan empioró n'Inglaterra, seique exacerbada pol estrés y pola escasez de la so dieta vexetariana mientres la Primer Guerra Mundial. Foi diagnosticáu de tuberculosis y de un defectu vitamínicu grave, y foi internáu nun sanatoriu.

Ramanujan volvió a Kumbakonam en 1919 y morrió pocu dempués a la edá de 32 años en 1920. La so vilba, S. Janaki Ammal, treslladar a Bombay, pero volvió a Chennai (antes Madrás) en 1950, onde vivió hasta la so muerte a los 95 años en 1994.[28]

Un analís de la hestoria clínica de Ramanujan y los sos síntomes ellaboráu en 1994 pol doctor D.A.B Young llegó a la conclusión de que yera muncho más probable que tuviera amebiasis hepática, una infeición parasitaria del fégadu xeneralizada en Madrás, onde Ramanujan pasara gran parte de la so vida. Tuvo dos episodios de disentería antes d'abandonar la India. Cuando nun se trata afechiscamente, la disentería puede permanecer latente per años y dar llugar a la amebiasis hepática,[78] una enfermedá difícil de diagnosticar, pero fácilmente curable una vegada que se diagnostica.

Personalidá y vida espiritualEditar

Ramanujan describióse como una persona con una disposición un tanto cobarde y sele, un home dignu con prestoses maneres.[79] Llevaba una vida bastante espartana mientres tuvo en Cambridge. Los primeros biógrafos indios de Ramanujan describir como rigorosamente ortodoxu en cuestiones relixoses. Ramanujan atribuyía la so comprendoria a la so deidá familiar, "Mahalakshmi de Namakkal". Buscó la inspiración na so obra,[80] y afirmó que dalguna vegada suañó con gotes de sangre que simbolizaben a "Narasimha", el consorte masculín de la so deidá familiar, recibiendo de siguío visiones de rollos de conteníu matemático complexu que se desenvolvíen ante los sos güeyos.[81] De cutiu dicía que «una ecuación pa mi nun tien sentíu, nun siendo que represente un pensamientu de Dios».[82][83]

Hardy cita a Ramanujan faciendo énfasis en que toles relixones paecíen-y igualmente verdaderes,[84] argumentando amás que la relixosidá de Ramanujan fuera idealizada polos occidentales, y esaxerada -no referente a les sos creencies, non a la so práutica- polos sos biógrafos indios. Coles mesmes, destacó la estricta observancia de Ramanujan del vegetarianismo.[85]

Llogros matemáticosEditar

En matemátiques, hai una diferencia ente tener una idea y tener una prueba. El talentu de Ramanujan suxurió una gran cantidá de fórmules que podríen entós ser investigaes en fondura más palantre. G. H. Hardy señaló que los descubrimientos de Ramanujan yeren inusualmente ricos y que de cutiu teníen munches más implicaciones que les que se reparaben a la primer vista. Como consecuencies indirectes, de normal abríense nueves direiciones d'investigación. Los exemplos más interesantes d'estes fórmules inclúin intrigantes series infinites para pi, como la que se da de siguío:

 

Esta resultancia basar nel discriminante fundamental negativu d = -4 × 58 = -232 con númberu de clase h (d) = 2 (teniendo en cuenta que 5 × 7 × 13 × 58 = 26.390 y que 9.801 = 99 × 99; 396 = 4 × 99) y rellaciónase col fechu de que

 

Puede comparase colos númberos de Heegner, que tienen númberu de clase 1 y producen fórmules similares. La serie de Ramanujan pa pi converxe extraordinariamente rápidu (de forma esponencial) y constitúi la base de dalgunos de los algoritmos más rápidos qu'anguaño s'utilicen pa calcular el valor de pi. Yá'l primer términu de la suma da  , un aproximamientu de pi que ye correcta con seis cifres decimales. Al respeutu, puédense tamién ver les series de Ramanujan–Sato, con calter más xeneral. Jonathan y Peter Borwein demostraron apocayá la validez d'esta fórmula descubierta por Ramanujan en 1910 (como yera habitual, ensin facilitar una demostración).

Una de les sos capacidaes más notables foi la rápida solución de problemes. Nel periodu nel que compartía una habitación con P. C. Mahalanobis, este plantegó-y un problema: "Imaxina que tas nuna cai con cases marcaes del 1 al n. Hai una casa nel mediu (x) tal que la suma de los númberos de la casa a la izquierda de la mesma ye igual a la suma de los númberos de les cases a la so derecha. Si n ta ente 50 y 500, ¿cuántu valen n y x?" Este ye un problema de dos variables con múltiples soluciones. Ramanujan pensar y dio la respuesta con una peculiaridá: escurrió una fracción continua. Lo inusual foi que yera una solución válida pa toa una clase de problemes. Mahalanobis sosprendióse y preguntó-y cómo lo fixera. "Ye simple. Nel momentu que escuché'l problema, yo sabía que la respuesta yera una fracción continua. ¿Qué fracción continua? pregunté a mi mesmu. Entós la respuesta vieno a la mio mente", contestó-y Ramanujan.[86][87]

La so intuición tamién lu llevó a llograr dalguna identidá primeramente desconocida, como:

 

pa tou  , onde   ye la función gamma, en rellación con un valor especial de la función eta de Dedekind. Faciendo'l desenvolvimientu en serie de potencies ya igualando los coeficientes de  ,   y   resulten delles identidaes fondes de la secante hiperbólica.

En 1918, Hardy y Ramanujan estudiaron la función de partición P(n) llargamente y dieron una serie asintótica non converxente que dexa'l cálculu esactu del númberu de particiones d'un enteru. Hans Rademacher, en 1937, foi capaz de refinar la so fórmula p'atopar una solución esacta a esti problema por aciu una serie converxente. El trabayu de Ramanujan y de Hardy nesta área dio llugar a un nuevu métodu de gran algame pa la busca de fórmules asintóticas, llamáu'l Métodu del círculu de Hardy-Littlewood.[88]

Afayó la función mock theta nel últimu añu de la so vida.[89] Mientres munchos años estes funciones fueron un misteriu, pero agora sábese que son les partes holomorfas harmóniques débiles de les formes de Maass.

Ramanujan ye célebre pola so estraordinaria productividá en materia de fórmules. G. H. Hardy declaró, faciendo alusión a Leonhard Euler, tamién un gran creador de fórmules estraordinaries, que "Ramanujan naciera 200 años demasiáu tarde". Al respective de les fórmules conteníes na carta que recibió del matemáticu indiu en 1913, afirmaba como yá se señaló enantes que "yeren demasiáu increíbles pa ser falses":

Dos exemplos espectaculares de la so creatividá son les fórmules siguientes :

 


rellacionando'l númberu áureo,   con una fracción continua xeneralizada y poniendo en xuegu y y π;

 

Esta segunda fórmula combina una série infinita y una fracción continua xeneralizada, estableciendo una rellación ente les dos más conocíes constantes matemátiques.

D'un xéneru un pocu distintu, afayó la estelante identidá siguiente, que dexa construyir exemplos de la suma de tres cubo equivalente a un cuartu cubu:

 ;

esta igualdá, que xeneraliza la interesada coincidencia numbérica de que 3³ + 4³ + 5³ = 6³ = 216, ye bono de verificar por aciu un senciellu desenvolvimientu alxebraicu, pero paez imposible de llograr ensin disponer d'una teoría xeneral. Una vegada más, nun ta claru si Ramanujan disponía d'esta teoría.

La conxetura de RamanujanEditar

Anque hai numberoses declaraciones que podríen llevar el nome de conxetura de Ramanujan, hai una declaración que foi bien influyente en trabayos posteriores. En particular, la conexón d'esta conxetura con conxetures d'André Weil na xeometría alxebraica abrió nueves árees d'investigación. Esta conxetura ye una afirmación sobre'l tamañu de la función tau, que sirve pa xenerar la forma modular discriminante Δ(q), una forma parabólica ("cusp form" n'inglés) típica na teoría de formes modulares. Finalmente foi probada en 1973, de resultes de la prueba de Pierre Deligne de les conxetures de Weil. Les etapes d'amenorgamientu implicaes son bien complexes. Deligne ganó una Medaya Fields en 1978 pol so trabayu nes conxetures de Weil.[90]

Cuadiernos de RamanujanEditar

Artículu principal: Cuadiernu perdíu de Ramanujan

Inda en Madras, Ramanujan rexistró la mayor parte de les sos resultancies en cuatro cuaderno de papel de fueyes arrancables. Estes resultancies fueron na so mayoría redactaos ensin derivaciones. Este ye probablemente l'orixe de la perceición errónea de que Ramanujan yera incapaz de probar les sos resultancies y a cencielles pensaba nellos hasta dar cola resultancia final direutamente. El matemáticu Bruce C. Berndt, na so revisión d'estos cuadiernos y trabayos de Ramanujan, diz que Ramanujan ensin dulda yera capaz de demostrar la mayoría de les sos resultancies, pero decidió nun faelo.

Esti estilu de trabayu puede tener delles razones. Cuidao que el papel yera bien caru, Ramanujan fadría la mayor parte del so trabayu y seique de les sos pruebes nuna cayuela, y depués tresfería solo los resultaos definitives al papel. Utilizar una cayuela yera común ente los estudiantes de matemátiques de la Madras Presidency naquella dómina. Tamién yera abondo probable que fuera influyíu pol estilu del llibru de G. S. Carr estudiáu na so mocedá, quién declaraba resultaos ensin pruebes. A lo último, ye posible que Ramanujan consideraba los sos trabayos namái pal so propiu interés personal; y polo tanto solo rexistraba los resultaos.[91]

La primer llibreta tien 351 páxines con 16 capítulos bastante entamaos y dalgún material ensin entamar; el segundu cuadiernu tien 256 páxines en 21 capítulos y 100 páxines ensin entamar; y el tercer cuadiernu contién 33 páxines ensin entamar. Les resultancies de los sos cuadiernos inspiraron numberosos trabayos de matemáticos posteriores tratando de demostrar lo qu'él había atopáu. El mesmu Hardy escurrió trabayos qu'esquicen el material de trabayu de Ramanujan, como fixeron G. N. Watson, BM Wilson, y Bruce Berndt.[91] Un cuartu cuadiernu con 87 páxines ensin entamar, el llamáu "cuadiernu perdíu", foi redescubierto en 1976 por George Andrews.[78]

Los cuadiernos 1, 2 y 3 publicáronse como un conxuntu de dos volumes en 1957 pol Institutu Tata d'Investigación Fundamental (TIFR [92]) , Mumbai, India. Esta foi una edición fotocopiada de los manuscritos orixinales, de la so mano.

N'avientu de 2011, como parte de les celebraciones del 125 aniversariu de la nacencia de Ramanujan, TIFR publicó los cuadiernos a color en dos volumes nuna edición de coleccionista.[93] Estos fueron producíos a partir d'imáxenes escaniaes y microfilmados de los manuscritos orixinales de los archiveros d'espertos de Colorada Muthiah Biblioteca d'Investigación,[94] Chennai.

Hardy, Ramanujan y el númberu 1729Editar

Artículu principal: Mil setecientos veintinueve

Númberu de Ramanujan:
-Denominar númberu de Hardy-Ramanujan a tou enteru natural que puede espresase como la suma de dos cubos de dos maneres distintes, como'l conocíu númberu 1729, protagonista de l'anéudota ente Hardy y Ramanujan:

  • 1³ + 12³ = 9³ + 10³ = 1.729

- Otros númberos que tienen esta propiedá fueren afayaos pol matemáticu francés Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675):

  • 2³ + 16³ = 9³ + 15³ = 4.104
  • 10³ + 27³ = 19³ + 24³ = 20.683
  • 2³ + 34³ = 15³ + 33³ = 39.312
  • 9³ + 34³ = 16³ + 33³ = 40.033

- El más pequeñu de los númberos descomponibles de dos maneres distintos d'últimes de dos potencies a la cuarta ye 635.318.657, y foi afayáu por Euler (1707-1763):

  • 158⁴ + 59⁴ = 133⁴ + 134⁴ = 635.318.657

Númberu Taxicab:
-Denominar nésimo númberu taxicab, denotado como Ta(n) o Taxicab(n), al más pequeñu númberu que puede ser espresáu como una suma de dos cubos positivos non nulos de n maneres distintes (ensin cuntar variaciones del orde de los operandos). Asina:

  • Ta(1) = 2 = 1³ + 1³
  • Ta(2) = 1.729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
  • Ta(3) = 87.539.319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ =255³ + 414³

-Variante del taxicab ye'l cabtaxi (un númberu cabtaxi ye definíu como'l númberu enteru más pequeñu que puede escribise de n maneres distintes (ensin cuntar variaciones del orde de los operandos) como suma de dos cubos positivos non nulos o negativos). Por casu:

  • CTa(2) = 91 = 3³ + 4³ = 6³ - 5³

El númberu 1729 conozse como'l númberu de Hardy-Ramanujan por una famosa anéudota del matemáticu británicu G. H. Hardy en rellación con una visita al hospital pa ver a Ramanujan. En pallabres de Hardy:[95]

Alcordanza una vegada que fui a ve-y cuando taba enfermu en Putney. Viaxara nel taxi númberu 1729 y remarqué que me paecía un númberu intrescendente, y esperaba d'él que nun fixera sinón un xestu desdeñoso. "Non", respondióme, "ye un númberu bien interesante; ye'l númberu más pequeñu expresable como la suma de dos cubos de dos maneres distintes".

N'efeutu, la cifra tien dos descomposiciones distintes:

 

Les xeneralizaciones d'esta idea crearon la noción de "númberu taxicab" y de "númberu cabtaxi".

Coincidentemente, 1729 ye tamién un númberu de Carmichael.

Otros puntos de vista de los matemáticos sobre RamanujanEditar

 
Fotografia de Srinivasa Ramanujan

Hardy dixo: «Combinó un poder de xeneralización, una idea de la forma y una capacidá de modificar rápido les sos hipótesis que, de cutiu, yeren realmente sorprendentes, y facer, nel so propiu campu peculiar, ensin rival nel so día. La llimitación de les sos conocencies yera tan sorprendente como la so fondura. He equí un home que podía ellaborar ecuaciones modulares y teoremas... n'órdenes desconocíos, que'l so dominiu de les fracciones continues foi... más allá del de cualquier matemáticu nel mundu, qu'atopara por sigo mesmu la ecuación funcional de la función zeta y los términos dominantes de munchos de los problemes más famosos de la teoría analítica de los númberos, y sicasí, nunca oyera falar d'una función doblemente periódica o del teorema de Cauchy, y que tenía de fechu una vaga idea de lo que yera una función de variable complexa...".[96] Cuando se-y preguntar sobre los métodos emplegaos por Ramanujan pa llegar a les sos soluciones, Hardy dixo que "llegaben al traviés d'un procesu d'argumentación entemecida, d'intuición y d'inducción, de la que foi dafechu incapaz de dar nenguna esplicación coherente."[97] Tamién declaró que "nunca conoció al so igual, y podíase-y comparar namái con Euler o Jacobi."[97]

K. Srinivasa Rayo,[98] manifestó que "Tocantes a el so llugar nel mundu de les matemátiques, citamos a Bruce C. Berndt, quien dixo: 'Paul Erdos pasónos les calificaciones personales de Hardy sobre distintos matemáticos. Supongamos que valoramos a los matemáticos sobre la base del so talentu puro nuna escala de 0 a 100; Hardy diose una puntuación de 25, JE Littlewood llogró 30, David Hilbert 80, y Ramanujan tendría 100.'"

El profesor Bruce C. Berndt de la Universidá d'Illinois, mientres una conferencia nel IIT de Madras en mayu de 2011 declaró que nos postreros 40 años, como casi tolos teoremas de Ramanujan diéron-y la razón, produxérase un mayor apreciu pol trabayu y la brillantez de Ramanujan. Amás, afirmó que'l trabayu de Ramanujan taba agora omnipresente en munches árees de la matemática moderna y de la física.[89][99]

Nel so llibru Scientific Edge, el físicu Jayant Narlikar faló de "Srinivasa Ramanujan, afayáu pol matemáticu de Cambridge Hardy, que los sos grandes afayos matemáticos taben empezando a apreciase ente 1915 y 1919. Los sos llogros pasaron a ser dafechu entendíos muncho más tarde, pasaos munchos años de la so prematura muerte en 1920. Por casu, el so trabayu en númberos altamente compuestos (númberos con un gran númberu de factores) empecipiaron una nueva llinia d'investigación na teoría de tales númberos".

Mientres la so xera de toa una vida dedicada a la educación y l'espardimientu de les matemátiques ente los neños n'edá escolar na India, Nixeria y otros países, P.K. Srinivasan introdució de cutio obres matemátiques de Ramanujan.

Reconocencia póstumaEditar

 
Bustu de Ramanujan nel xardín del Birla Industrial & Technological Museum.
  • L'estáu natal de Ramanujan de Tamil Nadu celebra cada 22 d'avientu l'aniversariu de la nacencia de Ramanujan como "Día Estatal de TI", remembrando tantu al home y los sos llogros, como a un nativu de Tamil Nadu.
  • Un sellu de correos que representa a Ramanujan foi emitíu pol Gobiernu de la India en 1962 -nel 75 aniversariu de la nacencia de Ramanujan- conmemorando los sos llogros nel campu de la teoría de númberos,[100] y un nuevu diseñu foi emitíu'l 26 d'avientu de 2011, pol Serviciu de Correos de la India.[101][102]
  • El "Ramanujan Journal" (Diariu de Ramanujan) ye una publicación internacional que se llanzó col propósitu de dar a conocer el trabayu en toles árees de les matemátiques influyíes pol so trabayu.[103]
  • Dende l'añu del Centenariu de Ramanujan, el 22 d'avientu de cada añu, celébrase'l Día de Ramanujan nel Government Arts College de Kumbakonam onde había estudiáu. La celebración ye entamada pol Departamentu de Matemátiques por aciu la celebración d'un seminariu de dos o tres díes convidando a eminentes estudiosos d'universidaes y colexos. Los participantes son principalmente estudiantes de matemátiques, investigadores y profesores de les universidaes locales. El cumpleaños númberu 125 foi celebráu d'una manera especial, convidando a eminentes eruditos matemáticos estranxeros como G.Y. Andrews y Bruce C. Berndt, especialistes bien familiarizaos coles aportaciones y trabayos de Ramanujan.
  • El Indian Institute of Technology (IIT) de Madrás en Chennai, conmemora'l trabayu y la vida de Ramanujan cada 22 d'avientu. El Departamentu de Matemátiques celebra esti día por aciu la organización d'un Simposio Nacional sobre Métodos Matemáticos y Aplicaciones (NSMMA) mientres un día, convidando a eminentes eruditos indios y estranxeros.
  • Creóse un premiu pa mozos matemáticos de países en desenvolvimientu col nome de Ramanujan pol Centru Internacional de Física Teórica (CIFT), en cooperación col Unión Matemática Internacional, que noma a los miembros del comité del premiu.
  • El Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy (XASTRA), con sede nel estáu de Tamil Nadu, nel sur de la India, instituyó'l "XASTRA Ramanujan Prize" dotáu con 10.000 dólares pa ser dau añalmente a un matemáticu que nun entepase de los 32 años y que fixera contribuciones sobresalientes nun área de la matemática influyida pola obra de Ramanujan. La llende d'edá referir a los años que vivió Ramanujan, que los sos abondosos llogros siguen siendo la base de nueves realizaciones. Esti premiu foi dau añalmente dende 2005, nuna conferencia internacional promovida por XASTRA en Kumbakonam, la ciudá natal de Ramanujan, alredor de la fecha del so cumpleaños el 22 d'avientu.
  • Nel 125 aniversariu de la so nacencia, la India declaró'l cumpleaños de Ramanujan (22 d'avientu), como'l "Día Nacional de les Matemátiques". La declaración foi fecha pol doctor Manmohan Singh en Chennai el 26 d'avientu de 2011,[104] declarando tamién que l'añu 2012 celebraríase'l "Añu Matemáticu Nacional" na India.
  • La residencia de Ramanujan ye caltenida pola universidá XASTRA en Kumbakonam.

Na cultura popularEditar

  • En 2013 producióse una película basada nel llibru The Man Who Knew Infinity: La vida del xeniu Ramanujan, de Robert Kanigel, con Matt Brown dirixiendo'l so propiu guión escritu. Dev Patel interpretaba a Srinivasa Ramanujan, Jeremy Irons encarnó a G. H. Hardy y Devika Bhise a la so esposa. Foi presentada al Festival de Cannes.[105][106] El rodaxe de Ramanujan empezó'l 3 d'agostu de 2014 nel Trinity College, Cambridge.[107]
  • La película de producción indo-británica 'Ramanujan'[108] rellata la vida de Ramanujan y foi grabada simultáneamente n'idioma inglés y n'idioma tamil[109] Foi llanzada en 2014 pola compañía de cine independiente 'Camphor Cinema'.[110]
  • La obra de teatru First Class Man montada por Alter Ego Productions,[111] ta basada nel llibru del mesmu títulu de David Freeman. La trama céntrase alredor de Ramanujan y la so rellación complexo y disfuncional con Hardy. El 16 d'ochobre de 2011, anuncióse que Roger Spottiswoode, meyor conocíu pola so película de James Bond Tomorrow Never Dies, taba trabayando na versión cinematográfica, protagonizada pol actor indiu Siddharth. Al igual que'l llibru y l'obra teatral tamién se diba a titular First Class Man.[112]
  • A Disappearing Number ye una producción británica de la compañía Complicite qu'esquiza la rellación ente Hardy y Ramanujan.
  • La novela The Indian Clerk de David Leavitt esquiza na ficción los acontecimientos subsiguientes de la carta de Ramanujan a Hardy.[113][114]
  • Google honró-y nel 125 aniversariu de la so nacencia por aciu la sustitución del so logotipu con un doodle na so páxina principal.[115]
  • Ramanujan yera mentáu na película de 1997 Good Will Hunting (L'indomable Will Hunting n'España), nuna escena na que'l profesor Gerald Lambeau (Stellan Skarsgard) esplica a Sían Maguire (Robin Williams) el xeniu de Will Hunting (Matt Damon) al comparalo con Ramanujan.
  • El 22 de marzu de 1988, la serie de la PBS Nova emitió un documental sobre Ramanujan, "L'home qu'amaba los númberos" (Temporada 15, Episodiu 19).[116]
  • La serie de televisión Numb3rs inclúi'l personaxe del Dr. Amita Ramanujan, un profesor de matemátiques aplicaes que'l so nome homenaxa la obra de Ramanujan.[117]
  • La hestoria de Ramanujan ye la referencia de la que se fixo ecu Cyril M. Kornbluth nel so relatu de 1954 tituláu a cencielles "Gómez".[118]

Ver tamiénEditar

Publicaciones de Ramanujan escoyíesEditar

  • Srinivasa Ramanujan, G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, B. M. Wilson, Bruce C. Berndt (2000). Collected Papers of Srinivasa Ramanujan. AMS. ISBN 0-8218-2076-1.
Llibru publicáu orixinalmente nel añu 1927 dempués de la muerte de Ramanujan. Contién los 37 artículos publicaos en revistes profesionales de Ramanujan mientres la so vida. La tercer reimpresión contién comentarios adicionales por Bruce C. Berndt.
  • S. Ramanujan (1957). Notebooks (2 Volumes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.
Llibros que contienen fotocopies de los cuadiernos orixinales manuscritos por Ramanujan.
  • S. Ramanujan (1988). The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. New Delhi: Narosa. ISBN 3-540-18726-X.
Llibru que contién fotocopies de les páxines del "Lost Notebook".
  • Problemes plantegaos por Ramanujan, Revista de la Sociedá India de Matemátiques.
  • S. Ramanujan (2012). Notebooks (2 Volumes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.
Producíu a partir d'imáxenes escaniaes y microfilmadas de los manuscritos orixinales de los archiveros d'espertos de la Biblioteca d'Investigación Colorada Muthiah, de Chennai.

Seleición de publicaciones sobre Ramanujan y la so obraEditar

ReferenciesEditar

  1. Berndt, Bruce C. (2005). Ramanujan's Notebooks Part V. SpringerLink, 4. ISBN 0-387-94941-0.
  2. «Rediscovering Ramanujan». Frontline 16 (17):  p. 650. Llunes, 16 d'agostu de 1999. http://www.frontlineonnet.com/fl1617/16170810.htm. Consultáu 'l 20 d'avientu de 2012. 
  3. Ono, Ken (June–July 2006). «Honoring a Gift from Kumbakonam». Notices of the American Mathematical Society (Mathematical Association of America) 53 (6):  p. 650. http://www.ams.org/notices/200606/fea-ono.pdf. Consultáu 'l 23 de xunu de 2007. 
  4. Kanigel 1991, p. 11
  5. Kanigel 1991, pp. 17–18
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  7. Kanigel 1991, p. 12
  8. Kanigel 1991, p. 13
  9. Kanigel 1991, p. 19
  10. 10,0 10,1 Kanigel 1991, p. 14
  11. Kanigel 1991, p. 20
  12. 12,0 12,1 Kanigel 1991, p. 25
  13. Berndt & Rankin 2001, p. 9
  14. Hardy, G. H. (1999). Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2. ISBN 0-8218-2023-0.
  15. 15,0 15,1 15,2 Kanigel 1991, p. 27
  16. Kanigel 1991, p. 39
  17. A to Z of mathematicians by Tucker McElroy 2005 ISBN 0-8160-5338-3-page 221
  18. 18,0 18,1 Collected papers of Srinivasa Ramanujan Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy, P. Ve?katesvara Seshu Aiyar 2000 ISBN 0-8218-2076-1 page xii
  19. Kanigel 1991, p. 90
  20. Kanigel 1991, p. 28
  21. Kanigel 1991, p. 45
  22. Kanigel 1991, p. 47
  23. Ramanujan lost and found: a 1905 letter from The Hindu. 25 d'avientu de 2011. http://www.thehindu.com/arts/history-and-culture/ramanujan-lost-and-found-a-1905-letter-from-the-hindu/article2745164.ece. 
  24. Kanigel 1991, pp. 48–49
  25. Kanigel 1991, pp. 55–56
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Enllaces esternosEditar