Campu llétricu

El campu llétrico (rexón del espaciu na que interactúa la fuercia llétrico) ye un campu físico que se representa, per mediu d'un modelu que describe la interaición ente cuerpos y sistemes con propiedaes de naturaleza llétrica.Descríbese como un campu vectorial nel cual una carga llétrica puntual de valor $q$ sufre los efeutos d'una fuercia llétrica $\mathbf {F}$ dada pola siguiente ecuación:

Campu llétricu
expresión matemática (es)
campo vectorial (es) y campo (es)

Campu llétrico producíu por un conxuntu de cargues puntuales. Amosar en rosa la suma vectorial de los campos de les cargues individuales; ${\vec {Y}}={\vec {Y}}_{1}+{\vec {Y}}_{2}+{\vec {Y}}_{3}$.

(1)

$\mathbf {F} =q\mathbf {Y}$

Nos modelos relativistes actuales, el campu llétrico incorpórase, xunto col campu magnéticu, en campu tensorial cuadridimensional, denomináu campu electromagnéticu F^μν.

Los campos llétricos pueden tener el so orixe tantu en cargues llétriques como en campos magnéticos variables. Les primeres descripciones de los fenómenos llétricos, como la llei de Coulomb, solo teníen en cuenta les cargues llétriques, pero les investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwell dexaron establecer les lleis completes nes que tamién se tien en cuenta la variación del campu magnéticu.

Esta definición xeneral indica que'l campu nun ye direutamente medible, sinón que lo que ye observable ye'l so efeutu sobre dalguna carga asitiada nel so senu. La idea de campu llétrico foi propuesta por Faraday al demostrar el principiu d'inducción electromagnética nel añu 1832.

La unidá del campu llétrico nel SI ye Newton por Culombiu (N/C), Voltiu por metro (V/m) o, n'unidaes básiques, kg·m·s⁻³·A⁻¹ y l'ecuación dimensional ye MLT^-3I^-1.

Definición

La presencia de carga llétrica nuna rexón del espaciu modifica les carauterístiques de dichu espaciu dando llugar a un campu llétrico. Con éses podemos considerar un campu llétrico como una rexón del espaciu que les sos propiedaes fueron modificaes pola presencia d'una carga llétrica, talmente que al introducir en dichu campu llétricu una nueva carga llétrica, ésta va esperimentar una fuercia.

El campu llétrico represéntase matemáticamente por aciu el vector campu llétricu, definíu como'l cociente ente la fuercia llétrico qu'esperimenta una carga testigu y el valor d'esa carga testigu (una carga testigu positiva).

La definición más intuitiva del campu llétrico puede dar por aciu la llei de Coulomb. Esta llei, una vegada xeneralizada, dexa espresar el campu ente distribuciones de carga en reposu relativu. Sicasí, pa cargues en movimientu ríquese una definición más formal y completa, ríquese l'usu de cuadrivectores y el principiu de mínima aición. De siguío descríbense dambes.

Tien De tenese presente de toes formes que dende'l puntu de vista relativista, la definición de campu llétrico ye relativa y non absoluta, yá que observadores en movimientu relativu ente sigo van midir campos llétricos o "partes llétriques" del campu electromagnéticu distintos, polo que'l campu llétrico midíu va depender del sistema de referencia escoyíu.

Definición por aciu la llei de Coulomb

Campu llétrico d'una distribución llinial de carga. Una carga puntual P ye sometida a una fuercia en direición radial ${\vec {o}}_{r}$ por una distribución de carga $\lambda$ en forma de diferencial de llinia ($dL$), lo que produz un campu llétrico $d{\vec {Y}}$.

Partiendo de la llei de Coulomb qu'espresa que la fuercia ente dos cargues en reposu relativu depende del cuadráu de la distancia, matemáticamente ye igual a:

$\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r_{12}^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}_{12}$

Onde:

$\scriptstyle \epsilon _{0}$ ye la permitividad llétrica del vacíu, constante definida nel sistema internacional, :$q_{1},\ q_{2}$ son les cargues que interactúan, :$r_{12}=\|\mathbf {r} _{12}\|$ ye la distancia ente dambes cargues, :$\mathbf {r} _{12}$, ye'l

vector de posición relativa de la carga 2 al respeutive de la carga 1. y ${\hat {r}}$ ye'l unitariu na direición ${\vec {r}}$. Nótese que na fórmula ta usándose $\epsilon _{0}$, esta ye la permitividad nel vacíu. Pa calcular la interaición n'otru mediu ye necesariu camudar la permitividad de dichu mediu. ($\epsilon =\epsilon _{r}\epsilon _{0}$)

La llei anterior presuponía que la posición d'una partícula nun intre dau, fai que'l so campu llétrico afecte nel mesmu intre a cualesquier otra carga. Esi tipu d'interaiciones nes que l'efeutu sobre'l restu de partícules paez depender solo de la posición de la partícula causante ensin importar la distancia ente les partícules denominar en física aición a distancia. Magar la noción d'aición a distancia foi aceptada primeramente por el mesmu Newton, esperimentos más curiaos a lo llargo del sieglu XIX llevaron a refugar dicha noción como non-realista. Nesi contestu pensóse que'l campu llétrico non solo yera un artificiu matemáticu sinón un ente físicu que s'arrobina a una velocidá finita (la velocidá de la lluz) hasta afectar a otres partícules. Esa idea traía modificar la llei de Coulomb acordies colos requerimientos de la teoría de la relatividá y dotar d'entidá física al campu llétrico. Asina, el campu llétrico ye una distorsión electromagnética que sufre'l espaciu-tiempu por cuenta de la presencia d'una carga. Considerando esto puédese llograr una espresión del campu llétrico cuando ésti solo depende de la distancia ente les cargues (casu electrostático):

$\mathbf {Y} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}$

Onde claramente se tien que $\scriptstyle \mathbf {F} =q\mathbf {Y}$, la que ye una de les definiciones más conocíes avera del campu llétrico. Pa una distribución continua de cargues el campu llétrico vien dau por:

$\mathbf {Y} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{3}}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} '){\text{d}}^{3}\mathbf {r} '$

Definición formal

La definición más formal de campu llétrico, válida tamién pa cargues moviéndose a velocidaes cercanes a la de la lluz, surde a partir de calcular l'aición d'una partícula cargada en movimientu al traviés d'un campu electromagnéticu. Esti campu forma parte d'un únicu campu electromagnéticu tensorial $F^{\mu \nu }$ definíu por un potencial cuadrivectorial de la forma:

(1)

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\quad ;\qquad A^{i}=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

onde $\phi$ ye'l potencial esguilar y $\scriptstyle \mathbf {A}$ ye'l potencial vectorial tridimensional. Asina, d'alcuerdu al principiu de mínima aición, plantegar pa una partícula en movimientu nun espaciu cuadridimensional:

(2)

$S=-\int _{a}^{b}(mc\ {\text{d}}s+{\frac {y}{c}}A_{i}{\text{d}}x^{i})$

onde $y$ ye la carga de la partícula, $m$ ye'l so masa y $c$ la velocidá de la lluz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que ${\text{d}}x^{i}=o^{i}{\text{d}}s$, onde ${\text{d}}x^{i}$ ye'l diferencial de la posición definida ${\text{d}}x^{i}=(c{\text{d}}t,{\text{d}}x,{\text{d}}y,{\text{d}}z)$ y $o^{i}$ ye la velocidá de la partícula, llógrase:

(3)

$S=-\int _{a}^{b}(mc\ {\text{d}}s+{\frac {y}{c}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {\text{r}} -y\phi {\text{d}}t)$

El términu dientro de la integral conozse como'l lagrangiano del sistema; derivando esta espresión con al respeutive de la velocidá llógrase'l momentu de la partícula, y aplicando les ecuaciones de Euler-Lagrange atópase que la variación temporal de la cantidá de movimientu de la partícula ye:

(4)

${\frac {{\text{d}}\mathbf {p} }{{\text{d}}t}}=-{\frac {y}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-y{\boldsymbol {\nabla }}\phi +{\frac {y}{c}}\mathbf {v} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )$

D'onde se llogra la fuercia total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidá de la partícula, ente que'l postreru depende d'ella. Entós a los dos primeros acomúñase-yos el campu llétrico y al terceru'l campu magnéticu. Asina s'atopa la definición más xeneral pal campu llétrico:

(5)

$\mathbf {Y} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-{\boldsymbol {\nabla }}\phi$

La ecuación (5) brinda muncha información avera del campu llétrico. Per un sitiu, el primer términu indica qu'un campu llétrico ye producíu pola variación temporal d'un potencial vectorial descritu como $\scriptstyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$ onde $\scriptstyle \mathbf {B}$ ye'l campu magnéticu; y por otru, el segundu representa la bien conocida descripción del campu como'l gradiente d'un potencial.

Descripción del campu llétrico

Matemáticamente un campu describir por aciu dos de les sos propiedaes, la so diverxencia y la so rotacional. La ecuación que describe la diverxencia del campu llétrico conózse-y como llei de Gauss y la de la so rotacional ye la llei de Faraday.

Llei de Gauss

Artículu principal: Llei de Gauss

Pa conocer una de les propiedaes del campu llétrico estúdiase qué asocede col fluxu d'esti al travesar una superficie. El fluxu d'un campu $\Phi$ llograr de la siguiente manera:

(8)

$\Phi _{Y}=\oint _{S}{\vec {Y}}\cdot {\text{d}}{\vec {a}}$

onde $d{\vec {a}}$ ye'l diferencial d'área en direición normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el fluxu al traviés d'una superficie zarrada atópase que:

(9)

$\oint _{S}{\vec {Y}}\cdot {\text{d}}{\vec {a}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}Q_{enc}$

onde $Q_{enc}$ ye la carga zarrada nesa superficie. La ecuación (9) ye conocida como la llei integral de Gauss y la so forma derivada ye:

(10) ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Y}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

onde $\rho$ ye la densidá volumétrica de carga. Esto indica que'l campu llétrico diverxe escontra una distribución de carga; n'otres pallabres, que'l campu llétrico empieza nuna carga y termina n'otra.

Esta idea puede ser visualizada por aciu el conceutu de llinies de campu. Si tiense una carga nun puntu, el campu llétrico taría dirixíu escontra la otra carga.

Llei de Faraday

Artículu principal: Llei de Faraday

En 1821, Michael Faraday realizó una serie d'esperimentos que lu llevaron a determinar que los cambeos temporales nel campu magnéticu inducen un campu llétrico. Esto conozse como la llei de Faraday. La fuercia electromotriz, definida como'l rotacional al traviés d'un diferencial de llinia ta determináu por:

(11)

$\epsilon =\oint {\vec {Y}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{l}}}=-{\frac {d\Phi }{dt}}$

onde'l signu menos indica la Llei de Lenz y $\Phi$ ye'l fluxu magnético nuna superficie, determinada por:

(12)

$\Phi =\int {\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{a}}}$

reemplazando (12) en (11) llógrase la ecuación integral de la llei de Faraday:

(13)

$\oint {\vec {Y}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{l}}}=-\int {\frac {d{\vec {B}}}{dt}}\cdot {\text{d}}{\vec {\text{a}}}$

Aplicando'l teorema de Stokes atópase la forma diferencial:

(14) ${\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{{\text{d}}t}}$

La ecuación (14) completa la descripción del campu llétrico, indicando que la variación temporal del campu magnéticu induz un campu llétrico.

Espresiones del campu llétrico

Campu electrostático (cargues en reposu)

Artículu principal: Campu electrostático

Un casu especial del campu llétrico ye'l denomináu electrostático. Un campu electrostático nun depende del tiempu, ye dicir ye estacionariu. Pa esti tipu de campos la Llei de Gauss inda tien validez por cuenta de que esta nun tien nenguna considerancia temporal, sicasí, la Llei de Faraday tien de ser modificada. Si'l campu ye estacionariu, la parte derecha de la ecuación (13) y (14) nun tien sentíu, polo que s'anula:

(15) ${\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}=0$

Esta ecuación xunto con (10) definen un campu electrostático. Amás, pol cálculu diferencial, sábese qu'un campu que'l so rotacional ye cero puede ser descritu por aciu el gradiente d'una función esguilar $V$, conocida como potencial llétricu:

(16) ${\vec {Y}}=-{\vec {\nabla }}V$

La importancia de (15) anicia en que por cuenta que'l rotacional del campu llétrico ye cero, puede aplicase el principiu de superposición a esti tipu de campos. Pa delles cargues, defínese'l campu llétrico como la suma vectorial de los sos campos individuales:

(17)

${\vec {Y}}={\vec {Y}}_{1}+{\vec {Y}}_{2}+{\vec {Y}}_{3}+...$

entós

(18)

${\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {Y}}_{1}+{\vec {Y}}_{2}+{\vec {Y}}_{3}+\dots )=({\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}_{1})+({\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}_{2})+({\vec {\nabla }}\times {\vec {Y}}_{3})+\dots =0$

Llinies de campu

Llinies de campu llétrico correspondientes a cargues iguales y opuestes, respeutivamente.

Un campu llétrico estáticu pue ser representáu geométricamente con llinies tales qu'en cada puntu'l campu vectorial seya tanxente a diches llinies, a estes llinies conocer como "llinies de campu". Matemáticamente les llinies de campu son les curves integrales del campu vectorial. Les llinies de campu utilizar pa crear una representación gráfica del campu, y pueden ser tantes como seya necesariu visualizar.

Les llinies de campu son llinies perpendiculares a la superficie del cuerpu, de manera que la so tanxente xeométrica nun puntu coincide cola direición del campu nesi puntu. Esto ye una consecuencia direuta de la llei de Gauss, ye dicir atopamos que la mayor variación direccional nel campu diríxese perpendicularmente a la carga. Al xunir los puntos nos que'l campu llétrico ye d'igual magnitú, llógrase lo que se conoz como superficies equipotenciales, son aquelles onde'l potencial tien el mesmu valor numbéricu. Nel casu estáticu al ser el campu llétrico un campu irrotacional les llinies de campu nunca van ser cerraes (cosa que sí puede asoceder nel casu dinámicu, onde'l rotacional del campu llétrico ye igual a la variación temporal del campu magnéticu camudada de signu, per tantu una llinia de campu llétrico zarráu rique un campu magnéticu variable, cosa imposible nel casu estáticu).

Nel casu dinámicu pueden definise igualmente les llinies solo que'l patrón de llinies va variar d'un intre a otru del tiempu, esto ye, les llinies de campu al igual que les cargues van ser móviles.

Campu electrodinámico (movimientu uniforme)

El campu llétrico creáu por una carga puntual presenta isotropía espacial, sicasí, el campu creáu por una carga en movimientu tien un campu más intenso nel planu perpendicular a la velocidá d'alcuerdu a les predicciones de la teoría de la relatividá. Esto asocede porque pa un observador en reposu al respeutive de una carga que se mueve con velocidá uniforme la distancia na direición del movimientu de la carga van ser menores que les midíes por un observador en reposu al respeutive de la carga, por efeutu de la contraición de Lorentz, suponiendo que la carga mover a lo llargo de la exa X d'observador tendríamos la siguiente rellación de coordenaes ente lo midío pol observador en movimientu al respeutive de la carga $\scriptstyle ({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})$ y l'observador en reposu al respeutive de la carga $\scriptstyle (x,y,z)$:

${\bar {x}}={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\quad {\bar {y}}=y,\quad {\bar {z}}=z$

Siendo V la velocidá de la carga respeuto al observador, asina la distancia efeutiva a la carga midida pol observador en movimientu al respeutive de la carga va cumplir que:

${\bar {r}}^{2}={\frac {(x-Vt)^{2}+(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}})(y^{2}+z^{2})}{1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}$

Y per tanto'l campu llétricu midíu por un observador en movimientu al respeutive de la carga va ser:

(19)

$\mathbf {Y} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{\|{\bar {r}}\|^{3}}}{\bar {\mathbf {r} }}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q\left(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}\right)}{r^{3}\left(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\mathbf {r}$

Onde $\scriptstyle \theta$ ye l'ángulu formáu pol vector de posición del puntu onde se mide'l campu (al respeutive de la carga) y la velocidá del movimientu. D'esta última espresión reparar que si se considera una esfera de radiu r alredor de la carga'l campu ye más intensu nel "ecuador", tomando como polo norte y sur la interseición de la esfera cola trayeutoria de la partícula, puede trate que'l campu sobre la esfera varia ente un máximu $\scriptstyle Y_{\bot }$ y un mínimu $\scriptstyle Y_{\|}$ daos por:

(20)

$Y_{\|}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q\left(1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}\right)}{r^{2}}},\qquad Y_{\bot }={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Esta perda de simetría esférica ye pocu bultable pa velocidaes pequeñes comparaes cola velocidá de la lluz y faise bien marcada a velocidaes cercanes a la lluz.

Campu electrodinámico (movimientu aceleráu)

El campu d'una carga en movimientu al respeutive de un observador complícase notablemente respectu al casu de movimientu uniforme si amás d'un movimientu relativu la carga presenta un movimientu aceleráu al respeutive de un observador inercial. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert llógrase que'l campu creáu por una carga en movimientu vien dau por:

(21)

$\mathbf {Y} ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\left[{\frac {q(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}{(r-{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{c}})^{3}}}(\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}r)+{\frac {q}{c^{2}(R-{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{c}})^{3}}}\left[\mathbf {r} \times \left((\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}r)\times {\dot {\mathbf {v} }}\right)\right]\right]$

El primer miembru solo depende de la velocidá y coincide col campu llétrico provocáu por una carga en movimientu uniforme, a grandes distancies varia según una llei de la inversa del cuadráu 1/R² y, por tanto, nun supón emisión d'enerxía, el segundu miembru depende de l'aceleración ${\dot {\mathbf {v} }}$ y tien una variación 1/R que representa la intensidá decreciente d'una onda esférica de radiación electromagnético, una y bones les cargues en movimientu aceleráu emiten radiación.

Enerxía del campu llétrico

Artículu principal: Enerxía electromagnética

Un campu polo xeneral almacena enerxía y nel casu de cargues aceleraes puede tresmitir tamién enerxía (principiu aprovecháu n'antenes de telecomunicaciones). La densidá volumétrica d'enerxía d'un campu llétrico ta dada pola espresión siguiente:

(22) $o={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}Y^{2}$

Polo que la enerxía total nun volume V ta dada por:

(23) $O={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}Y^{2}\ dV$

onde $dV$ ye'l diferencial de volume.

Ver tamién

• Llei de Coulomb
• Campu magnéticu
• Campu electromagnéticu
• Campu electrostático
• Densidá de carga
• Ecuaciones de Maxwell
• Llei de Gauss
• Potencial llétricu
• Radiación electromagnético
• Campos dependientes del tiempu
• Electrodinámica cuántica

Referencies

Bibliografía

• Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
• Segura González, Wenceslao, Teoría de campu relativista, eWT Ediciones, 2014, ISBN 978-84-617-1463-6.

Enllaces esternos

• Cursu de Física per ordenador (Campu llétrico)
• Carga llétrica - ¿Cómo se define un campu llétrico?
• Videu bien ilustrativu en Youtube

• Datos: Q46221
• Multimedia: Electric field