Tresformada de Laplace

La tresformada de Laplace ye un tipu de tresformada integral frecuentemente usada pal resolución d'ecuaciones diferenciales ordinaries. La tresformada de Laplace d'una función f(t)^{[nota 1]} definida pa tolos númberos positivos t ≥ 0, ye la función

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }y^{-st}f(t)\,dt.$

siempres y cuando la integral tea definida. Cuando f(t) nun ye una función, sinón una distribución con una singularidá en 0, la definición ye

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }y^{-st}f(t)\,dt.$

Cuando se fala de la tresformada de Laplace, xeneralmente refierse a la versión unillateral. Tamién esiste la tresformada de Laplace billateral, que se define como sigue

$F_{B}(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }y^{-st}f(t)\,dt.$

La tresformada de Laplace F(s) típicamente esiste pa tolos númberos reales s > a, onde a ye una constante que depende del comportamientu de crecedera de f(t).
${\mathcal {L}}$ ye llamáu'l operador de la tresformada de Laplace.

Perspeutiva histórica

La tresformada de Laplace recibe'l so nome n'honor del matemáticu francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dientro del so teoría de la probabilidá. En 1744, Leonhard Euler investigara un conxuntu d'integrales de la forma:

$z=\int X(x)y^{ax}\,dx$

$z=\int X(x)x^{A}\,dx$

— como soluciones d'ecuaciones diferenciales, pero nun afondó nelles y llueu abandonó la so investigación. Joseph Louis Lagrange, almirador de Euler, tamién investigó esi tipu d'integrales, y amestar a la teoría de la probabilidá nun trabayu sobre funciones de densidá de probabilidá de la forma:

$\int X(x)y^{-ax}a^{x}\,dx,$

— que dellos historiadores interpreten como auténtiques tresformaes de Laplace. Esti tipu d'integrales atraxeron l'atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató d'emplegar estes integrales como soluciones d'ecuaciones diferenciales. Paez ser qu'en 1785 dio un pasu más allá, y reenfocó el problema pa en cuenta de usar les integrales como soluciones, aplicales a les ecuaciones dando llugar a les tresformaes de Laplace tal que anguaño entiéndense. Usó una integral de la forma:

$\int x^{s}\phi (s)\,dx,$

— análoga a la tresformada de Mellin, cola que tresformó una ecuación diferencial nuna ecuación alxebraica de la que buscó la so solución. Plantegó dalguna de les principales propiedaes de la so tresformada, y de dalguna forma reconoció que'l métodu de Joseph Fourier pa resolver per mediu de series de Fourier la ecuación d'espardimientu podría rellacionase cola so tresformada integral pa un espaciu finito con soluciones periódiques.

Pese al llogru, les tresformaes de Laplace llueu cayeron nun relativu olvidu, al ser presentaes nel campu de la probabilidá ayenu a la so moderna aplicación na física y la inxeniería–, y ser trataes sobremanera como oxetos matemáticos puramente teóricos.

La moderna aplicación de les tresformaes de Laplace y tola so teoría subxacente surde en realidá na segunda metá del sieglu XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales rellacionaes cola teoría de vibraciones, l'inxenieru inglés Oliver Heaviside (1850-1925) afayó que los operadores diferenciales podíen tratase analíticamente como variables alxebraiques. Acordies con el "cálculu operacional", si tiense una ecuación diferencial de la forma:

$(D-a)y=f(t)\,$

— onde D ye l'operador diferencial, esto ye, $D=d/dt$ , entós la solución xeneral a dicha ecuación ye de la forma:

$y=y^{at}\int y^{-at}f(t)dt+c_{1}y^{at}$ .

Heaviside reparó que si se trataba al operador D como una variable alxebraica, yera posible algamar igualmente la solución de toa ecuación pareya a la de riba. N'efeutu, según la solución xeneral, cumplir que:

$y={\frac {1}{D-a}}f(t)=y^{at}\int y^{-at}f(t)dt+c_{1}y^{at}$

Entós, si considérase una ecuación diferencial de segundu orde como la siguiente:

$y''-3y'+2y=y^{t}\,$

— ésta puede reescribise en pa resaltar l'operador D como:

$(D^{2}-3D+2)y=y^{t}\,$

Heaviside propunxo estenar y tratar a D algebraicamente, y nesi casu tendríase que:

$y={\frac {y^{t}}{D^{2}-3D+2}}={\frac {y^{t}}{(D-1)(D-2)}}={\frac {1}{D-2}}y^{t}-{\frac {1}{D-1}}y^{t}$

Sustituyendo les fracciones en D pola espresión integral de les mesmes enriba presentada, llegar a la solución de la ecuación diferencial:

$y=(y^{2t}\int y^{-2t}f(t)dt+c_{1}y^{2t})-(y^{t}\int y^{-t}f(t)dt+c_{2}y^{t})=(y^{2t}(-y^{-t})+c_{1}y^{2t})-(y^{t}(t)+c_{2}y^{t})$

${\Big (}y=c_{1}y^{2t}-(c_{2}+1)y^{t}-ty^{t}{\Big )}$

Heaviside publicó les sos resultancies, que la so utilidá a la de resolver ecuaciones de la física y la inxeniería fizo que llueu s'estendieren. Sicasí, el trabayu de Heaviside, formal y pocu rigorosu, atraxo les crítiques de dellos matemáticos puristes que los refugaron argumentando que los resultaos de Heaviside nun podíen surdir de tal forma. Sicasí, l'ésitu del métodu fizo que llueu fuera adoptáu por inxenieros y físicos de tol mundu, de manera qu'a la fin atraxo l'atención de ciertu númberu de matemáticos tratando de xustificar el métodu de manera rigorosa. Tres delles décades d'intentos, afayóse que la Tresformada afayada por Laplace diba un sieglu non yá ufiertaba un fundamentu teóricu al métodu de cálculu operacional de Heaviside, sinón qu'amás ufiertaba una alternativa muncho más sistemática a tales métodos.

Escontra principios del sieglu XX, la tresformada de Laplace convertir nuna ferramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos onde foi aplicada con más ésitu. Polo xeneral, la tresformada ye afecha pa resolver sistemes d'ecuaciones diferenciales lliniales con condiciones iniciales nel orixe. Una de les sos ventayes más significatives anicia en que la integración y derivación convertir en multiplicación y división. Esto tresforma les ecuaciones diferenciales ya integrales n'ecuaciones polinómiques, muncho más fáciles de resolver.

Propiedaes

Linealidad

${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

Derivación

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$ .

${\mathcal {L}}\{f''(t)\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-\dots -f^{(n-1)}(0)$ $=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)$

Integración

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}$

Dualidá

{\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)

Desplazamientu de la frecuencia

{\mathcal {L}}\left\{y^{at}f(t)\right\}=F(s-a)

Desplazamientu temporal

{\mathcal {L}}\left\{f(t-a)o(t-a)\right\}=y^{-as}F(s)

{\mathcal {L}}^{-1}\left\{y^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)o(t-a)

Nota: $o(t)$ ye la función escalón unitariu.

Desplazamientu potencia n-ésima

{\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]

Convolución

{\mathcal {L}}\{f*g\}=F(s)G(s)

Tresformada de Laplace d'una función con periodu p

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-y^{-ps}}\int _{0}^{p}y^{-st}f(t)\,dt$

Condiciones de converxencia

{\mathcal {L}}\{(y^{t^{2}})\}

(que crez más rápidu que

y^{-st}

) nun pueden ser llograes por Laplace, yá que

y^{t^{2}}

, ye una función d'orde esponencial d'ángulos.

Teorema del valor inicial

Sía una función $f\in \varepsilon$ derivable a cachos y que $f^{\prime }\in \varepsilon .$ Entós :

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

$\varepsilon$ ye'l conxuntu de funciones continues a cachos con orde esponencial.

Teorema del valor final

Sía $f\in \varepsilon$ una función derivable a cachos tal que $f^{\prime }\in \varepsilon$ .Entós :

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$

$\varepsilon$ ye'l conxuntu de funciones continues a cachos con orde esponencial.

Demostración de les Propiedaes de la Tresformada de Laplace

1 - Propiedaes de linealidad:

Partiendo de la mesma definición de tresformada,

${\mathcal {L}}\{C1\cdot F(t)+C2\cdot G(t)\}=\int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}[C1\cdot F(t)+C2\cdot G(t)]dt$

$=C1\cdot \int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}\cdot F(t)dt+C2\cdot \int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}\cdot G(t)dt=C1\cdot {\mathcal {L}}\{F(t)\}+C2\cdot {\mathcal {L}}\{G(t)\}$

2 - Propiedaes de la Tresformada d'una derivada:

Suponga que $f'(t)$ ye continua pa $t>=0$ , partimos de la mesma definición de la tresformada ya integramos per partes,

${\mathcal {L}}\{C1\cdot F(t)+C2\cdot G(t)\}=\int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}[C1\cdot F(t)+C2\cdot G(t)]dt={\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$

3 - Propiedá de desplazamientu na exa S:

Esta propiedá ye llograda al traviés de la sustitucion de $s$ por $s-a$ por definicion de la tresformada.

$F(s)=\int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}f(t)dt$

$F(s-a)=\int \limits _{0}^{\infty }y^{-{(s-a)}t}f(t)dt=\int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}[y^{at}\cdot f(t)]dt={\mathcal {L}}\{y^{at}f(t)\}$

4 - Propiedá de desplazamientu na exa t:

Esta propiedá ye llograda al traviés de la definición, sabiendo que la definición d'una función Heaviside,

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\cdot o(t-a)\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(t-a)\cdot o(t-a)y^{-st}dt=\int \limits _{a}^{\infty }f(t-a)y^{-st}dt$

Ye necesariu faer les substituciones $t-a=T$ y $dt=dT$ , resultando en sustituyendo,

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\cdot o(t-a)\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(T)\cdot y^{-s{(T+a)}}dT=y^{-as}\int \limits _{0}^{\infty }f(T)\cdot y^{-sT}dT$

Asina, usando la definición de la tresformada y volviendo a t,

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\cdot o(t-a)\}=y^{-sa}{\mathcal {L}}\{f(t)\}$

5 - Propiedaes de la Tresformada d'una Integral:

Siendo $h(t)=\int \limits _{0}^{t}f(T)dT$ y $h'(t)=f(t)$ , usando les propiedaes de la tresformada d'una derivada, tenemos:

${\mathcal {L}}\{h'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{h(t)\}-h(0)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$

Sabiendo que $h(0)=0$ ,

${\mathcal {L}}\{h(t)\}=\left({\frac {1}{s}}\right)\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}$

6 - Propiedaes de la Tresformada del Delta de Dirac:

Conociendo primeramente la función del Delta de Dirac, saliendo de la mesma definicion,

${\mathcal {L}}\{\delta (t-a)\}=\int \limits _{0}^{\infty }\delta (t-a)\cdot y^{-st}dt=y^{-as}$

7 - Propiedaes de la Tresformada de Funciones Periódiques:

Usando la definicion de tresformada, y teniendo conocencia previa de la funcion periódica.

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)y^{-st}dt=\int \limits _{0}^{p}+\int \limits _{p}^{2p}+\int \limits _{2p}^{3p}+...$ , ye necesariu faer la sustitucion $t=T+p$ y $dt=dT$ , según substitutir en tolos términos. Exemplu del segundu términu: $\int \limits _{p}^{2p}f(t)y^{-st}dt=y^{-sp}\int \limits _{0}^{p}y^{-sT}dT$ , faciendo pa los diversos términos, ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=[1+y^{-sp}+y^{-2sp}+...]\int \limits _{0}^{p}f(t)y^{-st}dt$ , la serie de términos a siguir ye una serie xeométrica que converxe en $x=y^{-sp}<1$ , entós la tresformada de les funciones periódiques,

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=\left({\frac {1}{1-y^{-sp}}}\right)\int \limits _{0}^{p}y^{-st}\cdot f(t)dt$

8 - Propiedaes de la Derivada d'una Tresformada:

Usando la definición de tresformada,

${d \over ds}F(s)={d \over ds}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)y^{-st}dt=\int \limits _{0}^{\infty }f(t){d \over ds}y^{-st}dt$

$\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cdot (-t)y^{-st}dt=\int \limits _{0}^{\infty }[-tf(t)]y^{-st}dt=-{\mathcal {L}}\{tf(t)\}$

9 - Propiedaes de la Integral d'una Tresformada:

Integrando a função non espaço das tresformaes, $\int \limits _{s}^{\infty }F(s)ds=\int \limits _{s}^{\infty }[\int \limits _{0}^{\infty }y^{-st}f(t)dt]ds$ , integra-se primeiramente em $s$ y depois em $t$ ,

$\int \limits _{0}^{\infty }f(t)[\int \limits _{s}^{\infty }y^{-st}ds]dt=-\int \limits _{0}^{\infty }{f(t) \over t}[y^{-\infty }-y^{-st}]dt=\int \limits _{0}^{\infty }{f(t) \over t}y^{-st}dt={\mathcal {L}}\{{f(t) \over t}\}$

Tabla de les tresformaes de Laplace más comunes

La siguiente tabla aprove la mayoría de los tresformamientos de Laplace pa funciones d'una sola variable. Por cuenta de que la tresformada de Laplace ye un operador llinial, la tresformada de Laplace d'una suma ye la suma de la tresformada de Laplace de cada términu.

${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

Equí ta una llista de les tresformaes más comunes. Nella $o\,$ denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando'l so argumentu ye positivu y 0 cuando'l so argumentu ye negativu. Cuando'l so argumentu val 0 suélse-y asignar el valor 1/2, anque esto nun tien relevancia práutica.

ID

Función

Dominio nel tiempu

x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}

Dominiu na frecuencia

X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}

Rexón de la converxencia
para sistemes causales

1

retrasu ideal

\delta (t-\tau )\

y^{-\tau s}\

1a

impulsu unitariu

\delta (t)\

1\

\mathrm {tou} \ s\,

2

enésima potencia retrasada y con
desplazamientu na frecuencia

{\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}y^{-\alpha (t-\tau )}\cdot o(t-\tau )

{\frac {y^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}

s>-\alpha \,

2a

n-ésima potencia

{t^{n} \over n!}\cdot o(t)

{1 \over s^{n+1}}

s>0\,

2a.1

q-ésima potencia

{t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot o(t)

{1 \over s^{q+1}}

s>0\,

2a.2

pasu unitariu

o(t)\

{1 \over s}

s>0\,

2b

pasu unitariu con retrasu

o(t-\tau )\

{y^{-\tau s} \over s}

s>0\,

2c

Rampla

t\cdot o(t)\

{\frac {1}{s^{2}}}

s>0\,

2d

potencia n-ésima con cambéu de frecuencia

{\frac {t^{n}}{n!}}y^{-\alpha t}\cdot o(t)

{\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}

s>-\alpha \,

2d.1

amortiguación esponencial

y^{-\alpha t}\cdot o(t)\

{1 \over s+\alpha }

s>-\alpha \

3

converxencia esponencial

(1-y^{-\alpha t})\cdot o(t)\

{\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}

s>0\

3b

esponencial doble

{\frac {1}{b-a}}\left(y^{-at}-y^{-bt}\right)

{\frac {1}{(s+a)(s+b)}}

s>-a\ y\ s>-b\

4

senu

\sin(\omega t)\cdot o(t)\

{\omega  \over s^{2}+\omega ^{2}}

s>0\

5

cosenu

\cos(\omega t)\cdot o(t)\

{s \over s^{2}+\omega ^{2}}

s>0\

5b

senu con fase

\sin(\omega t+\varphi )\cdot o(t)

{\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}

s>0\

6

senu hiperbólicu

\sinh(\alpha t)\cdot o(t)\

{\alpha  \over s^{2}-\alpha ^{2}}

s>|\alpha |\

7

cosenu hiperbólicu

\cosh(\alpha t)\cdot o(t)\

{s \over s^{2}-\alpha ^{2}}

s>|\alpha |\

8

onda senoidal con
amortiguamientu esponencial

y^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot o(t)\

{\omega  \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}

s>-\alpha \

9

onda cosenoidal con
amortiguamientu esponencial

y^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot o(t)\

{s+\alpha  \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}

s>-\alpha \

10

raigañu n-ésima

{\sqrt[{n}]{t}}\cdot o(t)

s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{t}}\right)

s>0\,

11

llogaritmu natural

\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot o(t)

-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]

s>0\,

12

Función de Bessel
de primer tipu,
d'orde n

J_{n}(\omega t)\cdot o(t)

{\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}

s>0\,

(n>-1)\,

13

Función de Bessel modificada
de primer tipu,
d'orde n

I_{n}(\omega t)\cdot o(t)

{\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}

s>|\omega |\,

14

Función de Bessel
de segundu tipu,
d'orde 0

Y_{0}(\alpha t)\cdot o(t)

15

Función de Bessel modificada
de segundu tipu,
d'orde 0

K_{0}(\alpha t)\cdot o(t)

16

Función d'error

\mathrm {erf} (t)\cdot o(t)

{y^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}

s>0\,

Notes esplicatives:

$o(t)\,$ representa la función escalón unitariu.
$\delta (t)\,$ representa la Delta de Dirac.
$\Gamma (z)\,$ representa la función gamma.
$\gamma \,$ ye la constante de Euler-Mascheroni.

$t\,$ , un númberu real, típicamente representa tiempu, anque puede representar cualesquier variable independiente.
$s\,$ ye la frecuencia angular complexa.
$\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ , y $\omega \,$ son númberos reales.
$n\,$ ye un númberu enteru.

sistema causal ye un sistema onde la respuesta al impulsu h(t) ye cero pa tou tiempu t anterior a t = 0. Polo xeneral, el ROC pa sistemes causales nun ye'l mesmu que'l ROC para sistemes anticausales. Vease tamién causalidá.

Rellación con otres tresformaes

La tresformada de Laplace ta estrechamente rellacionada cola Tresformada de Fourier y la Tresformada Z (vease por casu: Rellación de la tresformada Z cola tresformada de Laplace).

Ver tamién

Tresformada de Mellin

Notes

↑ N'ecuaciones diferenciales, n'analís matemáticu o n'analís funcional.

Referencies

Bibliografía de consulta

Spiegel, Murray R. : Tresformaes de Laplace (2014) Mc Graw Hill / Interamericana de Méxicu, Méxicu D.F.-

Enllaces esternos

C. Fernández, Tresformada de Laplace y Ecuaciones de Volterra, Llicenciatura n'Educación Matemática y Computación, USACH, 2006. (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
Ing. Gabriel Alberto Ventura García, Notes sobre Tresformada de Laplace, Inxeniería Mecánica Llétrica, FIME XALAPA, 2010.
La tresformada de Laplace Richard Baraniuk
Exercicios y problemes resueltu de la tresformada de Laplace
Tresformada de Laplace y les sos aplicaciones a les ecuaciones diferenciales José Salvador Cánovas Peña *

distribuciones relevantes-54323504 Tresformaes de Laplace de delles distribuciones relevantes (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).

[1] N'ecuaciones diferenciales, n'analís matemáticu o n'analís funcional.

[nota 1]