Vector propiu y valor propiu

En álxebra llinial, los vectores propios o autovectores d'un operador llinial son los vectores non nulos que, cuando son tresformaos pol operador, dan llugar a un múltiplu angular de sigo mesmos, colo que nun camuden la so direición. Esti angular $\lambda$ recibe'l nome valor propiu, autovalor o valor carauterísticu. De cutiu, un tresformamientu quedu dafechu determinada polos sos vectores propios y valores propios. Un espaciu propiu, autoespacio o subespacio fundamental acomuñáu al valor propiu $\lambda$ ye'l conxuntu de vectores propios con un valor propiu común.

Fig. 1. Nesti tresformamientu de la Mona Lisa, la imaxe haise deformado de tala forma que la so exa vertical nun camudó. (nota: retayáronse les esquines na imaxe de la derecha). El vector azul, representáu pola flecha azul que va dende'l pechu hasta'l costazu, camudó de direición, ente que'l colloráu, representáu pola flecha colorada, nun camudó. El vector coloráu ye entós un vector propiu del tresformamientu, ente que l'azul nun lo ye. Yá que el vector coloráu nun camudó de llargor, el so valor propiu ye 1. Tolos vectores d'esta mesma direición son vectores propios, col mesmu valor propiu. Formen un subespacio del espaciu propiu d'esti valor propiu.

La pallabra alemana eigen (/'aj γen /), que se traduz n'español como mesmu, usar por primer vegada nesti contestu por David Hilbert en 1904 (anque Helmholtz usar primeramente con un significáu asemeyáu). Eigen traducióse tamién como inherente, carauterísticu o'l prefixu autu-, onde s'aprecia la énfasis na importancia de los valores propios pa definir la naturaleza única d'un determináu tresformamientu llinial. Les denominaciones vector y valor carauterísticos tamién s'utilicen davezu. L'usu del prefixu autu- ye un casu propiu y singular que se da solamente n'español, portugués ya italianu. N'otres llingües con más tradición en Matemátiques (alemán, holandés, inglés, francés, rusu, etc.) naide paez traducir eigen- (propiu, perteneciente a, etc.) por autu- (que nada tien que ver cola etimoloxía o'l significáu del prefixu eigen).

Introducción

Les tresformamientos lliniales del espaciu —como la rotación, la reflexón, l'enanche, o cualquier combinación de les anteriores; nesta llista podríen incluyise otros tresformamientos— pueden interpretase por aciu l'efeutu que producen nos vectores. Los vectores pueden visualizase como fleches d'una cierta llargor apuntando nuna direición y Sentíu de circulación sentíu determinaos.

• Los vectores propios de los tresformamientos lliniales son vectores que, o nun son afeutaos pol tresformamientu o namái resulten multiplicaos por un angular; y, por tanto, nun varien la so direición.
• El valor propiu d'un vector propiu ye'l factor d'escala pol que foi multiplicáu.
• Un espaciu propiu ye un espaciu formáu por tolos vectores propios del mesmu valor propiu, amás del vector nulu, que nun ye un vector propiu.
• La multiplicidá xeométrica d'un valor propiu ye la dimensión del espaciu propiu asociáu.
• El espectru d'un tresformamientu n'espacios vectoriales finitos ye'l conxuntu de tolos sos valores propios.

Por casu, un vector propiu d'una rotación en tres dimensiones ye un vector asitiáu nel eje de rotación sobre'l cual realízase la rotación. El valor propiu correspondiente ye 1 y el espaciu propiu ye la exa de xiru. Como ye un espaciu d'una dimensión, la so multiplicidá xeométrica ye unu. Ye l'únicu valor propiu del espectru (d'esta rotación) que ye un númberu real.

Definición

Formalmente, defínense los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Sía A: V → V un operador llinial nun ciertu $\scriptstyle \mathbb {K}$-espaciu vectorial V y v un vector non nulu en V. Si esiste un angular c tal que

$\mathbf {A} \mathbf {v} =c\mathbf {v} ,\qquad \mathbf {v} \neq \mathbf {0} ,c\in \mathbb {K} ,$

entós dicimos que v ye un vector propiu del operador A, y el so valor propiu asociáu ye c. Repare que si v ye un vector propiu col valor propiu c entós cualquier múltiplu distintu de cero de v ye tamién un vector propiu col valor propiu c. Ello ye que tolos vectores propios col valor propiu asociáu c xunto con 0, formen un subespacio de V, el espaciu propiu pal valor propiu c. Repare amás qu'un espaciu propiu Z ye un subespacio invariante de A, ye dicir dau w un vector en Z, el vector Aw tamién pertenez a Z.

Exemplos

A midida que la Tierra rota, los vectores na exa de rotación permanecen invariantes. Si considérase la tresformamientu llinial que sufre la Tierra tres una hora de rotación, una flecha que partiera del centru de la Tierra al polu Sur xeográficu sería un vector propiu d'esti tresformamientu, pero una flecha que partiera del centru a un puntu del ecuador nun sería un vector propiu. Yá que la flecha qu'apunta al polu nun camuda de llargor pola rotación, el so valor propiu ye 1.

Otru exemplu sería una llámina de metal que s'espandiera uniformemente a partir d'un puntu de tal manera que les distancies dende cualesquier puntu al puntu fixu doblárense. Esta espansión ye un tresformamientu con valor propiu 2. Cada vector dende'l puntu fixu a cualesquier otru ye un vector propiu, y l'espaciu propiu ye'l conxuntu de toos esos vectores.

Una onda estacionaria nuna cuerda fixa nos sos cabos o, más concretamente, una función propia del tresformamientu correspondiente al intre del tiempu. A midida que varia'l tiempu, la onda estacionaria varia n'amplitú, pero'l so periodu nun se modificar. Nesti casu'l valor propiu ye dependiente del tiempu.

Sicasí, l'espaciu xeométricu tridimensional nun ye l'únicu espaciu vectorial. Por casu, considérese una cuerda suxeta pelos sos estremos, como la d'un instrumentu de cuerda (amosada a la derecha). La distancia de los átomos de la cuerda vibrante dende les sos posiciones cuando ésta ta en reposu pueden interpretase como componentes d'un vector nel espaciu con tantes dimensiones como átomos tenga felicidá cuerda.

Si supónse que la cuerda ye un mediu continuu y considérase el tresformamientu de la cuerda nel intre del tiempu, los sos vectores propios o funciones mesmes son los sos ondes estacionaries—lo que, por aciu la intervención del aire circundante, puede interpretase como la resultancia de tañer una guitarra. Les ondes estacionaries correspuenden a oscilaciones particulares de la cuerda tales que la forma de la cuerda angular por un factor (el valor propiu) col pasu del tiempu. Cada componente del vector acomuñáu cola cuerda multiplicar por esti factor dependiente del tiempu. Les amplitúes (valores propios) de les ondes estacionaries escayen col tiempu si considérase la atenuación. Nesti casu puede acomuñar un tiempu de vida al vector propiu, y rellacionar el conceutu de vector propiu col conceutu de resonancia.

Casos d'interés especial

Intuitivamente, pa les tresformamientos lliniales del espaciu de dos dimensiones $\mathbb {R} ^{2}$, los vectores propios son:

• rotación: nengún vector propiu de valores reales (esisten sicasí pares valor propiu, vector propiu complexos).

• reflexón: los vectores propios son perpendiculares y paralelos a la exa de simetría, los valores propios son -1 y 1, respeutivamente.

• esguiláu uniforme: tolos vectores son vectores propios, y el valor propiu ye'l factor d'escala.

• proyeición sobre una recta: los vectores propios col valor propiu 1 son paralelos a la llinia, vectores propios col valor propiu 0 son perpendiculares a la direición de la proyeición

Ecuación del valor propiu

Matemáticamente, v_λ ye un vector propiu y λ el valor mesmu correspondiente d'un tresformamientu T si verifica la ecuación:

$T(\mathbf {v} _{\lambda })=\lambda \,\mathbf {v} _{\lambda }$

onde T(v_λ) ye'l vector llográu al aplicar el tresformamientu T a v_λ.

Supóngase que T ye una tresformamientu llinial (lo que significa que $T(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aT(\mathbf {v} )+bT(\mathbf {w} )$ pa tolos angulares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base nesi espaciu vectorial. Entós, T y v_λ pueden representase en rellación a esa base por aciu una matriz A_T y un vector columna v_λ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propiu nesta representación matricial representar de la siguiente forma:

$\mathbf {A} _{T}\,\mathbf {v} _{\lambda }=\lambda \,\mathbf {v} _{\lambda }$

onde la yuxtaposición ye un productu de matrices. Yá que nesta circunstancia'l tresformamientu T y la so representación matricial A_T son equivalentes, de cutiu podemos emplegar namái T pa la representación matricial y el tresformamientu. Esto ye equivalente a un conxuntu de n combinaciones lliniales, onde n ye'l númberu de vectores de la base. Nesta ecuación, tanto'l valor propiu λ y les n componentes de v_λ son desconocíos. Sicasí, dacuando ye pocu natural o inclusive imposible escribir la ecuación de valor propiu en forma matricial. Esto asocede, por casu, cuando l'espaciu vectorial ye de dimensión infinita, como por casu nel casu de la cuerda amosada enantes. Dependiendo de la naturaleza del tresformamientu T y l'espaciu al que s'aplica, pue ser ventaxosu representar la ecuación de valor propiu como un conxuntu d'ecuaciones diferenciales, onde los vectores propios reciben de cutiu el nome de autofunciones del operador diferencial que representa a T. Por casu, la derivación mesma ye un tresformamientu llinial, yá que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)

$\displaystyle {\frac {d}{dt}}(af+bg)=a{\frac {df}{dt}}+b{\frac {dg}{dt}}$

Considérese la diferenciación con al respective de $t$. Los sos autofunciones h(t) obedecen a la ecuación de valor propiu:

$\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\lambda h$, onde λ

ye'l autovalor acomuñáu cola función. Una función nel tiempu ye constante si $\lambda =0$, crez proporcionalmente a sigo mesmu si $\lambda$ ye positiva, y escai proporcionalmente a sigo mesmu si $\lambda$ ye negativa. Por casu, una población ideal de coneyos nicia con más frecuencia a midida que hai más coneyos, y por tanto satisfai la ecuación pa lambda positivu.

La solución a la ecuación de valor propiu ye $g(t)=\exp(\lambda t)$, la función esponencial; pos esa función ye una función propia del operador diferencial d/dt col valor propiu λ. Si λ ye negativa, la evolución de g denominar escayencia esponencial; si ye positiva denominar crecedera esponencial. El valor de λ puede ser cualesquier númberu complexu. L'espectru de d/dt ye entós el planu complexu na so totalidá. Nesti exemplu l'espaciu vectorial nel qu'actúa d/dt ye l'espaciu de les funciones derivables d'una variable. Esti espaciu tien una dimensión infinita (pos nun ye posible espresar cada función diferenciable como combinación llinial d'un númberu finito de funciones base). Sicasí, l'espaciu propiu asociáu a un valor propiu determináu λ ye unidimensional. Ye'l conxuntu de toles funciones $g(t)=A\exp(\lambda t)$, onde A ye una constante arbitraria, la población inicial en t=0.

Teorema espectral

Artículu principal: teorema espectral

El teorema espectral amuesa la importancia de los valores propios y vectores propios pa carauterizar un tresformamientu llinial de forma única. Na so versión más simple, el teorema espectral establez que, so unes condiciones determinaes, un tresformamientu llinial puede espresase como la combinación llinial de los vectores propios con coeficientes de valor igual a los valores propios pol productu angular de los vectores propios pol vector al que s'aplica'l tresformamientu, lo que puede escribise como:

${\mathcal {T}}(\mathbf {v} )=\lambda _{1}(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{2}+\dots$

onde $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots$ y $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ representen a los vectores propios y valores propios de ${\mathcal {T}}$. El casu más simple nel que tien validez el teorema ye cuando'l tresformamientu llinial vien dada por una matriz simétrica real o una matriz hermítica complexa.

Si define la enésima potencia d'un tresformamientu como la resultancia d'aplicala n vegaes socesives, puede definise tamién el polinomiu de los tresformamientos. Una versión más xeneral del teorema ye que cualquier polinomiu P de ${\mathcal {T}}$ ye igual a:

$P({\mathcal {T}})(\mathbf {v} )=P(\lambda _{1})(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{1}+P(\lambda _{2})(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{2}+\dots$

El teorema puede estendese a otres funciones o tresformamientos tales como funciones analítiques, siendo'l casu más xeneral les funciones de Borel.

Vectores propios y valores propios de matrices

Cálculu de valores propios y vectores propios de matrices

Si quier calculase los valores propios d'una matriz dada y ésta ye pequeña, puede calculase simbólicamente usando'l polinomiu carauterísticu. Sicasí, de cutiu resulta imposible pa matrices estenses, casu nel que se debe usar un métodu numbéricu.

Cálculu simbólicu

Cálculu de los valores propios

Una ferramienta importante p'atopar valores propios de matrices cuadraes ye'l polinomiu carauterísticu: dicir que λ ye un valor propiu de A ye equivalente a dicir que'l sistema d'ecuaciones lliniales A v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (onde I ye la matriz identidá) tien una solución non nula v (un vector propiu), y de esta forma ye equivalente al determinante:

$\det(A-\lambda I)=0\!\$

La función p(λ) = det(A - λI) ye un polinomiu de λ pos los determinantes defínense como sumas de productos. Ésti ye'l polinomiu carauterísticu de A: los valores propios d'una matriz son los ceros del so polinomiu carauterísticu.

Tolos valores propios d'una matriz A pueden calculase resolviendo la ecuación $p_{A}(\lambda )=0$.

Si A ye una matriz n×n, entós $p_{A}$ tien grau n y A tien a lo más n valores propios.

El teorema fundamental de la álxebra diz qu'esta ecuación tien esautamente n raigaños (ceros), teniendo en cuenta la so multiplicidá. Tolos polinomios reales de grau impar tienen un númberu real como raigañu, asina que para n impar toa matriz real tien siquier valor propiu real. Nel casu de les matrices reales, pa n par ya impar, los valores propios non reales son pares conxugaos.

Cálculu de los vectores propios

Una vegada que se conocen los valores propios λ, los vectores propios pueden topase resolviendo'l sistema d'ecuaciones homoxéneu:

$(A-\lambda I)v=0\!\$

Una forma más senciella de llograr vectores propios ensin resolver un sistema d'ecuaciones lliniales basar nel teorema de Cayley-Hamilton qu'establez que cada matriz cuadrada satisfai'l so propiu polinomiu carauterísticu. Asina, si $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ son los valores propios de A cumplir que :$(A-\lambda _{1}I)(A-\lambda _{2}I)...(A-\lambda _{n}I)=0\!\$ polo que los vectores columna de $(A-\lambda _{2}I)...(A-\lambda _{n}I)$ son vectores propios de $\lambda _{1}$.

Exemplu de matriz ensin valores propios reales

Un exemplu de matriz ensin valores propios reales ye la rotación de 90 graos nel sentíu de les manecillas del reló:

${\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

que'l so polinomiu carauterísticu ye $\lambda ^{2}+1$ y los sos valores propios son el par de conxugaos complexos i, -i. Los vectores propios acomuñaos tampoco son reales.

Exemplu

Considérese la matriz

$A={\begin{bmatrix}\;0&1&-1\\\;1&1&\;0\\-1&0&\;1\end{bmatrix}}$

que representa un operador llinial R³ → R³. Si deseyar computar tolos valores propios de A, podría empezar determinando'l polinomiu carauterísticu:

$p(x)=\det(A-xI)=\det {\begin{vmatrix}-x&1&-1\;\;\\\;\;1&1\!-\!x&0\\-1&0&1\!-\!x\end{vmatrix}}$

$=-x^{3}+2x^{2}+x-2\$

y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) vese que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establez que cada matriz cuadrada satisfai'l so propiu polinomiu carauterísticu. Ye dicir

$(A-2I)(A-I)(A+I)=0\!\$

Efeutivamente, pal casu del valor propiu 2, puede comprobase que :$(A-I)(A+I)={\begin{bmatrix}\;-1&1&-1\\\;1&0&\;0\\-1&0&\;0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;1&1&-1\\\;1&2&\;0\\-1&0&\;2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;1&1&-1\\\;1&1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}}$

d'onde (1, 1, -1) ye un vector propiu asociáu a 2.

$A{\begin{bmatrix}\;1\\\;1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;2\\\;2\\-2\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}\;1\\\;1\\-1\end{bmatrix}}$

Cálculu numbéricu

Na práutica, los valores propios de les matrices estenses nun se calculen usando'l polinomiu carauterísticu. Calcular el polinomiu resulta bien costosu, y estrayer los raigaños exactos d'un polinomiu de grau alto puede ser malo de calcular y espresar: el teorema d'Abel-Ruffini implica que los raigaños de los polinomios de grau altu (5 o cimeru) nun pueden espresase usándose a cencielles raigaños enésimos. Esisten algoritmos eficientes p'averar raigaños de polinomios, pero pequeños errores na estimación de los valores propios pueden dar llugar a errores grandes nos vectores propios. Arriendes d'ello, los algoritmos xenerales p'atopar vectores propios y valores propios son iterativos. La manera más fácil ye'l métodu de les potencies: escuéyese un vector aleatoriu $v$ y calcúlase una secuencia de vectores unitarios:

${\frac {Av}{\|Av\|}}$, ${\frac {A^{2}v}{\|A^{2}v\|}}$, ${\frac {A^{3}v}{\|A^{3}v\|}}$,...

Esta socesión casi siempres va converxer a un vector mesmu correspondiente al mayor valor propiu. Esti algoritmu ye senciellu, pero non demasiáu instrumentu aislladamente. Sicasí, hai métodos más populares, como la descomposición QR, que se basen nél.

Propiedaes

Multiplicidá alxebraica

La multiplicidá alxebraica d'un valor propiu λ de A ye'l orde de λ como cero del polinomiu carauterísticu de A; n'otres pallabres, si λ ye una de les raigaños del polinomiu, ye'l númberu de factores (t − λ) nel polinomiu carauterísticu tres la factorización. Una matriz n×n, con entraes complexes, tien n valores propios, cuntaos acordies cola so multiplicidá alxebraica, yá que el so polinomiu carauterísticu tien grau n.

Un valor propiu de multiplicidá alxebraica 1 recibe'l nome de "valor propiu simple".

Por casu, pueden atopase esposiciones como la siguiente n'artículos de teoría de matrices:

"los valores propios d'una matriz A son 4,4,3,3,3,2,2,1,"

lo que significa que la multiplicidá alxebraica de 4 ye dos, la de 3 ye trés, la de 2 ye dos y la de 1 ye unu. Emplégase esti estilu porque la multiplicidá alxebraica ye la clave de munches demostraciones matemátiques en teoría de matrices.

Enantes definióse la multiplicidá xeométrica d'un valor propiu como la dimensión del espaciu propiu asociáu, o'l nucleu (espaciu propiu de los vectores propios del valor propiu nulu) de λI - A. La multiplicidá alxebraica tamién puede entendese como una dimensión: ye la dimensión del espaciu propiu xeneralizáu (1ᵉʳ sentíu) acomuñáu, que ye'l nucleu de la matriz (λI - A)^k pa k abondo grande. Esto ye, ye l'espaciu de los vectores propios xeneralizaos (1ᵉʳ sentíu), onde un vector propiu xeneralizáu ye cualquier vector que toma valor 0 sí λI - A aplícase abondes vegaes en socesión. Cualquier vector propiu ye un vector propiu xeneralizáu, asina que cualquier espaciu propiu ta conteníu nel espaciu propiu xeneralizáu acomuñáu. Esto apurre una demostración simple de que la multiplicidá xeométrica ye siempres menor o igual a l'alxebraica. El primer sentíu nun debe de confundise col problema de valores propios xeneralizaos tal que s'amuesa más palantre.

Por casu:

$A={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

Namái tien un valor propiu λ = 1. El polinomiu carauterísticu ye $(\lambda -1)^{2}$, asina que esti valor propiu tien multiplicidá alxebraica 2. Sicasí, l'espaciu propiu asociáu ye la exa, que de normal recibe'l nome d'exa x, xeneráu pol vector unitariu ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$, asina que la multiplicidá xeométrica ye 1.

Los vectores propios xeneralizaos pueden usase pa calcular la forma normal de Jordan d'una matriz (comentáu más palantre). El fechu de que los bloques de Jordan polo xeneral nun son diagonales sinón nilpotentes ta direutamente rellacionáu cola distinción ente vectores propios y vectores propios xeneralizaos.

Teoremas de descomposición pa matrices xenerales

El teorema de descomposición ye una versión del teorema espectral nuna clase concreta de matrices. Esti teorema esplícase de normal en términos de tresformamientu coordináu. Si O ye una matriz invertible, puede trate como un tresformamientu ente un sistema de coordenaes a otru, onde les columnes de O son les componentes de la nueva base de vectores espresaos en términos de la base anterior. Nesti nuevu sistema les coordenaes del vector $v$ representar por $v'$, que puede llograse por aciu la rellación $v'=Uv$ y, per otra parte, tiense $v=O^{-1}v'$. Aplicando socesivamente $v'=Uv$, $w'=Uw$ y $O^{-1}O=I$, a la rellación $Av=w$ apurre $A'v'=w'$ con $A'=UAU^{-1}$, la representación de A na nueva base. Nesta situación, dizse que les matrices A y $A'$ son asemeyaos.

El teorema de descomposición declara que, si escuéyense como columnes de $O^{-1}$ n vectores propios linealmente independientes de A, la nueva matriz $A'=UAU^{-1}$ ye diagonal y los sos elementos na diagonal son los valores propios de A. Si esto ye posible, entós A ye una matriz diagonalizable. Un exemplu d'una matriz non diagonalizable ye la matriz A yá amosada:

$A={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

Hai munches xeneralizaciones d'esta descomposición que pueden tratar col casu non diagonalizable, diseñaes con distintos propósitos:

• la descomposición de Schur declara que toa matriz ye equivalente a una matriz triangular.
• la descomposición en valores singulares, $A=O\Sigma V^{*}$ onde $\Sigma$ ye diagonal con O y V matrices unitaries, los elementos de la diagonal de $A=O\Sigma V^{*}$ nun son negativos y reciben el nome de valores singulares de A. Esta descomposición tamién puede faese en matrices non cuadraes.
• la forma normal de Jordan, onde $A=X\Lambda X^{-1}$ y $\Lambda$ nun ye diagonal sinón diagonal por bloques. El númberu y tamañu de los bloques de Jordan tán determinaos poles multiplicidaes xeométrica y alxebraica de los valores propios. La descomposición de Jordan ye un resultáu fundamental. A partir d'ella puédese deducir darréu qu'una matriz cuadrada ta descrita dafechu polos sos valor propios, incluyendo la multiplicidá. Esto amuesa matemáticamente l'importante papel que desempeñen los valores propios nel estudiu de matrices.
• de resultes inmediata de la descomposición de Jordan, cualesquier matriz A puede escribise de forma única como A=S + N onde S ye diagonalizable, N ye nilpotente (por casu, tal que N^q=0 pa un ciertu q), y S cumple la propiedá conmutativa del productu (SN=NS).

Otres propiedaes de los valores propios

L'espectru ye invariante so tresformamientos asemeyaos: les matrices A y P^-1AP tienen los mesmos valores propios pa cualesquier matriz A y cualesquier matriz invertible P. L'espectru ye tamién invariante a la tresposición de les matrices: A y A ^T tienen los mesmos valores propios.

Yá que un tresformamientu llinial n'espacios de dimensiones finitas ye biyectiva si y namái si ye inyectiva, una matriz ye invertible si y namái si cero nun ye un valor propiu de la matriz.

Otres consecuencies de la descomposición de Jordan son:

• una matriz ye matriz diagonalizable si y namái si les multiplicidaes xeométrico y alxebraico coinciden pa tolos sos valores propios. En particular una matriz n×n que tien n valores propios distintos ye siempres diagonalizable;
• Yá que la traza, o la suma d'elementos de la diagonal principal d'una matriz caltener na equivalencia unitaria, la forma normal de Jordan constata que ye igual a la suma de los sos valores propios.
• De forma similar, yá que los valores propios d'una matriz triangular son les entraes de la diagonal principal el so determinante ye igual al productu de los valores propios (cuntaos acordies cola so multiplicidá alxebraica).

Dellos exemplos de la llocalización del espectru de ciertes subclases de matrices normales son:

• Tolos valores propios d'una matriz hermítica (A = A^*) son reales. Amás, tolos valores propios d'una matriz definida positiva son positivos;
• Tolos valores propios d'una matriz antihermítica (A = −A^*) son imaxinarios puros;
• Tolos valores propios d'una matriz unitaria (A^-1 = A^*) tienen valor absolutu unu;

Si A ye una matriz m×n con m ≤ n, y B ye una matriz n×m, entós BA tien los mesmos valores propios de AB más n − m valores propios nulos.

A cada matriz puede acomuñáse-y una norma vectorial, que depende de la norma del so dominiu, l'operador norma d'una matriz cuadrada ye una cota cimera del módulu de los sos valores propios, y por tanto del so radio espectral. Esta norma ta direutamente rellacionada col métodu de les potencies pa calcular el valor propiu de mayor módulu. Pa matrices normales, l'operador norma (la norma euclídea) ye'l mayor módulu ente de los sos valores propios.

Vector propiu conxugáu

Un vector propiu conxugáu ye un vector que tres el tresformamientu pasa a ser un múltiple angular del so conxugáu, onde l'angular recibe'l nome de valor propiu conxugáu del tresformamientu llinial. Los vectores propios y valores propios conxugaos representen esencialmente la mesma información y significáu que los vectores propios y valores propios, pero apaecen cuando s'utiliza un sistema de coordenaes alternativu. La ecuación correspondiente ye:

$Av=\lambda v^{*}.\,$

Por casu, en teoría d'electromagnetismu esvalixáu, el tresformamientu llinial A representa l'acción efeutuada pol oxetu dispersor, y los vectores propios representen los estaos de polarización de la onda electromagnética. En óptica, el sistema coordenáu definir a partir del puntu de vista de la onda, y lleva a una ecuación de valor propiu regular, ente qu'en radar, el sistema coordenáu definir dende'l puntu de vista del radar, y da llugar a una ecuación de valor propiu conxugáu.

Problema de valor propiu xeneralizáu

Un problema de valor propiu xeneralizáu (2º sentíu) ye de la forma : $Av=\lambda Bv\quad \quad$ onde A y B son matrices. Los valores propios xeneralizaos (2º sentíu) λ pueden llograse resolviendo la ecuación

$\det(A-\lambda B)=0.\,$

El conxuntu de matrices de la forma $A-\lambda B$, onde $\lambda$ ye un númberu complexu, recibe'l nome de llapiceru si B ye invertible, entós el problema orixinal puede escribise na forma : $B^{-1}Av=\lambda v\quad \quad$ que ye un problema de valores propios estándar. Sicasí, na mayoría de situaciones ye preferible nun realizar la inversión, y resolver el problema de valor propiu xeneralizáu cola configuración orixinal.

Si A y B son matrices simétriques con entraes reales, entós los valores propios son reales. Esto apréciase tan fácilmente a partir de la segunda formulación equivalente, pos la matriz $B^{-1}A$ nun ye necesariamente simétrica si A y B ser.

L'aplicación de moleculares orbitales espuesta más palantre apurre un exemplu d'esti casu.

Entraes d'un aniellu

Nuna matriz cuadrada A con entraes d'un aniellu, λ recibe'l nome de valor propiu pela derecha si esiste un vector columna x tal que Ax=λx, o un valor propiu pela esquierda si esiste un vector fila non nulu y tal que yá=yλ.

Si l'aniellu ye conmutativu, los valores propios pela esquierda son iguales a los valores propios pela derecha y llámase-yos a cencielles valores propios.

Espacios de dimensión infinita

Fig. 3. Espectro d'absorción d'un átomu de calciu. Los picos correspuenden, en teoría, al espectru discretu (series de Rydberg) del hamiltoniano; l'amplia estructura de la derecha acomuñar al espectru continuu (ionización). Les resultancies esperimentales acomuñaos llográronse midiendo la intensidá de los rayos X absorbíos por un gas d'átomos como función de la enerxía d'incidencia de los fotones n'eV.

Si l'espaciu vectorial ye de dimensión infinita, la noción de valores propios puede xeneralizase al conceutu d'espectru. L'espectru ye'l conxuntu d'angulares λ pal que $\left(T-\lambda Id\right)^{-1}$, nun ta definíu, esto ye, tal que $T-\lambda Id$ nun tien inversa acutada.

Si λ ye un valor propiu de T, λ ta nel espectru de T. Polo xeneral, el recíprocu nun ye verdaderu. Hai operadores nos espacios d'Hilbert o Banach que nun tienen vectores propios. Por casu, tómese un desplazamientu billateral nel espaciu de Hilbert $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$; nengún vector propiu potencial puede ser cuadráu-sumable, asina que nun esiste nengunu. Sicasí, cualquier operador llinial acutáu nun espaciu de Banach V tien espectru non vacíu. L'espectru $\sigma (T)$ del operador T V → V defínese como

$\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb {C} :(\lambda Id-T)\;$ nun ye invertible$\}.\;$

Entós σ(T) ye un conxuntu compactu de númberos complexos, y ye non vacíu. Cuando T ye un operador compactu (y en particular cuando T ye un operador ente espacios finito-dimensionales como enriba), l'espectru de T ye igual que'l conxuntu de los sos valores propios.

N'espacios de dimensión infinita, l'espectru d'un operador acutáu ye siempres non vacíu, lo que tamién se cumple pa operadores axuntos propios ensin acutar. Al traviés del so midida espectral, l'espectru de cualquier operador axuntu propiu, acutáu o non, puede descomponese nos sos partes absolutamente continua, discreta, y singular. La crecedera esponencial apurre un exemplu d'un espectru continuu, como nel casu anterior de la cuerda vibrante. L'átomu d'hidróxenu ye un exemplu nel qu'apaecen dambos tipos d'espectru. El estáu amestáu del átomu d'hidróxenu correspuende a la parte discreta del espectru, ente que'l procesu d'ionización queda descritu pela parte continua.

Aplicaciones

Ecuación de Schrödinger

La función d'onda acomuñada a los estaos amestaos d'un electrón nun átomu d'hidróxenu puede trate como los vectores propios del átomu d'hidróxenu hamiltoniano según al operador momentu angular. Ta acomuñada a los valores propios interpretaos como les sos enerxíes (amontándose según n=1,2,3,...) y al momentu angular (amontándose según s,p,d,...). Equí amuésase'l cuadráu del valor absolutu de les funciones d'onda. Les árees más allumaes correspuenden a densidaes de probabilidá más altes pa una posición. El centru de cada figura ye'l nucleu atómicu, un protón.

Un exemplu d'una ecuación de valor propiu onde'l tresformamientu ${\mathcal {T}}$ representar en términos d'un operador diferencial ye la ecuación de Schrödinger independiente del tiempu de la mecánica cuántica:

$H\Psi _{Y}=Y\Psi _{Y}\,$

Onde H, l'Hamiltoniano, ye un operador diferencial de segundu orde y $\Psi _{Y}$ la función d'onda, ye una de les funciones mesmes correspondientes al valor propiu Y, interpretáu como la enerxía.

Sicasí, en casu de que namái se busquen soluciones pa los estaos amestaos de la ecuación de Schrödinger, como suel ser el casu en química cuántica, va buscase $\Psi _{Y}$ nel espaciu de les funciones de cuadráu integrable. Yá que esti espaciu ye un espaciu de Hilbert, con un productu angular bien definíu, podemos introducir una base na que puede representase $\Psi _{Y}$ y H como un vector unidimensional y una matriz respeutivamente. Esto dexa representar la ecuación de Schrödinger en forma matricial.

La notación bra-ket, utilizada de cutiu nesti contestu, pon énfasis na diferencia ente'l vector o estáu $|\Psi _{Y}\rangle$ y la so representación, la función $\Psi _{Y}$. Nesti contestu escribe la ecuación de Schrödinger

$H|\Psi _{Y}\rangle =Y|\Psi _{Y}\rangle$

y llámase a $|\Psi _{Y}\rangle$ un tao mesmu de H (que dacuando se representa como ${\hat {H}}$ en dellos llibros de testu) que puede interpretase como un tresformamientu en llugar d'una representación particular en términos d'operadores diferenciales. Na ecuación espuesta, $H|\Psi _{Y}\rangle$ interprétase como'l vector llográu por aplicación del tresformamientu H a $|\Psi _{Y}\rangle$.

Orbitales moleculares

En mecánica cuántica, y en particular en física atómica y molecular, y nel contestu de la teoría de Hartree-Fock, los orbitales atómicos y moleculares pueden definise polos vectores propios del operador de Fock. Los valores mesmos correspondientes son interpretaos como potenciales d'ionización al traviés del teorema de Koopmans. Nesti casu, el términu vector propiu usar con un significáu más xeneral, pos l'operador de Fock ye explícitamente dependiente de los orbitales y los sos valores propios. Si quier sorrayase esti aspeutu falar de ecuación de valores propios implícitos. Tales ecuaciones resuélvense de normal por aciu un procesu iterativu, llamáu métodu de campu consistente propiu. En química cuántica de cutiu represéntase la ecuación de Hartree-Fock nuna base non ortogonal. Esta representación particular ye un problema de valor propiu xeneralizáu que tien el nome d'ecuaciones de Roothaan.

Analís factorial

En analís factorial, los valores propios de la matriz de covarianza correspuenden a los factores, y los valores propios a les cargues. L'analís factorial ye una téunica estadística usada en ciencies sociales y mercadotecnia, xestión de productu, investigación operativa y otres ciencies aplicaes que traten con grandes cantidaes de datos. L'oxetivu ye esplicar la mayor parte de la variabilidá ente delles variables aleatories observables en términos d'un númberu menor de variables aleatories non observables llamaes factores. Les variables aleatories non observables modélense como combinaciones lliniales de los factores más términos d'errores.

Cares propies, un exemplu del usu de vectores propios.

Cares propies

En procesáu d'imaxe, les imáxenes procesaes de cares pueden trate como vectores que les sos componentes son la luminancia de cada píxel. La dimensión d'esti espaciu vectorial ye'l númberu de píxeles. Los vectores propios de la matriz de covarianza acomuñada a un conxuntu ampliu d'imáxenes normalizaes de cares llámense cara mesma cares propies. Son bien útiles pa espresar una imaxe d'una cara como la combinación llinial d'otres. Les cares propies apurren un mediu d'aplicar compresión de datos a les cares, pa propósitos de biometría.

Tensor d'inercia

En mecánica, los vectores propios del momentu d'inercia definen los eje principales d'un cuerpu ríxidu. El tensor d'inercia ye necesariu pa determinar la rotación d'un cuerpu ríxidu alredor del so centru de masa. Los valores propios definen los momentos máximos y mínimos llograos por aciu el círculu de Mohr.

Tensor de tensión

En mecánica de sólidos deformables, el tensor de tensión ye simétricu, asina que puede descomponese nun tensor diagonal que los sos valores propios na diagonal y los vectores propios formen una base.

Valores propios d'un grafo

En teoría espectral de grafos, un valor propiu d'un grafo defínese como un valor propiu de la matriz d'axacencia del grafo A, o de la matriz Laplaciana del grafo $I-T^{-1/2}AT^{-1/2}$, onde T ye una matriz diagonal que contién el grau de cada vértiz, y en $T^{-1/2}$, 0 se substituye por $0^{-1/2}$. El vector propiu principal d'un grafo usar pa midir la centralidad de los sos vértices. Un exemplu ye l'algoritmu PageRank de Google. El vector propiu principal d'una matriz d'axacencia modificada del grafo de la web da'l page rank nos sos componentes.

Ver tamién

• Álxebra llinial
• Aplicación llinial
• Matriz (matemática)
• Operador llinial
• Teorema espectral
• Vector

Bibliografía

• Cohen-Tannoudji, Claude. Quantum Mechanics, Wiley (1977). ISBN 0-471-16432-1. Capítulu II: “The mathematical tools of quantum mechanics”.
• De Burgos, Juan. Álxebra llinial, Edit. MacGraW-Hill (1993).
• Fraleigh, John B. y Beauregard, Raymond A. Linear Algebra (3ª edición), Addison-Wesley Publishing Company (1995). ISBN 0-201-83999-7 (edición internacional).
• Horn, Roger A. y Johnson, Charles R. Matrix Analysis, Cambridge University Press (1985). ISBN 0-521-30586-1.

Enllaces esternos

• Calculador online de autovalores by www.mathstools.com
• Autovectores nun "problema" d'Internet: Markov y Google, un artículu divulgativu: "el secretu de Google y l'álxebra llinial"
• Un artículu de divulgación sobre la Descomposición en Valores Singulares (SVD), en La Gaceta de la RSME

N'inglés

• Weisstein, Eric W. «Eigenvector» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Y - ver eigenvector y términos rellacionaos
• Online Matrix Calculator: Calculadora en llinia de valores propios, vectores propios y otres descomposiciones de matrices

• Datos: Q190524