Sistema d'ecuaciones lliniales

Sistema d'ecuaciones lliniales
	sistema de ecuaciones algebraicas (es) y sistema lineal (es)

En matemátiques y álxebra llinial, un sistema d'ecuaciones lliniales, tamién conocíu como sistema llinial d'ecuaciones o a cencielles sistema llinial, ye un conxuntu d'ecuaciones lliniales (esto ye, un sistema d'ecuaciones onde cada ecuación ye de primer grau), definíes sobre un cuerpu o un aniellu conmutativu. Un exemplu de sistema llinial d'ecuaciones sería'l siguiente:

$\left\{{\begin{array}{rcrcrcr}3\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&\,x_{3}&=&1\\2\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&4\,x_{3}&=&-2\\-\,x_{1}&+&{\frac {1}{2}}\,x_{2}&-&\,x_{3}&=&0\end{array}}\right.$

El problema consiste n'atopar los valores desconocíos de les variables x₁, x₂ y x₃ que satisfaen los trés ecuaciones.

El problema de los sistemes lliniales d'ecuaciones ye unu de los más antiguos de la matemática y tien una infinidá d'aplicaciones, como en procesamientu dixital de señales, analís estructural, estimación, predicción y más xeneralmente en programación llinial según na aproximamientu de problemes non lliniales d'analís numbéricu.

Introducción

Polo xeneral, un sistema con m ecuaciones lliniales y n incógnites pue ser escritu en forma normal como:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

Onde $x_{1},\dots ,x_{n}$ son les incógnites y los númberos $a_{ij}\in \mathbb {K}$ son los coeficientes del sistema sobre'l cuerpu $\mathbb {K} \ [=\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\dots ]$ . Ye posible reescribir el sistema dixebrando con coeficientes con notación matricial:

(1) ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

Si representamos cada matriz con una única lletra llogramos:

$\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$

Onde A ye una matriz m por n, x ye un vector columna de llargor n y b ye otru vector columna de llargor m. El sistema d'eliminación de Gauss-Jordan aplicar a esti tipu de sistemes, sía como quier el cuerpu del que provengan los coeficientes. La matriz A llámase matriz de coeficientes d'esti sistema llinial. A b llámase-y vector de términos independientes del sistema y a x llámase-y vector d'incógnites.

Sistemes lliniales reales

Nesta seición analicen les propiedaes de los sistemes d'ecuaciones lliniales sobre'l cuerpu $\mathbb {R}$ , esto ye, los sistemes lliniales nos cualos los coeficientes de les ecuaciones son númberos reales.

Representación gráfica

La interseición de dos planos que nun son paralelos coincidentes ye una recta.

Un sistema con $n$ incógnites puede representase nel n-espaciu correspondiente.

Nos sistemes con 2 incógnites, l'universu del nuesu sistema va ser el planu bidimensional, ente que caúna de les ecuaciones va ser representada por una recta. La solución va ser el puntu (o llinia) onde se intersequen toles rectes representen a les ecuaciones. Si nun esiste nengún puntu nel que se intersequen coles mesmes toles llinies, el sistema ye incompatible, o lo que ye lo mesmo, nun tien solución.

Nel casu d'un sistema con 3 incógnites, l'universu va ser l'espaciu tridimensional, siendo cada ecuación un planu dientro del mesmu. Si tolos planos intersecan nun únicu puntu, les coordenaes d'este van ser la solución al sistema. Si, otra manera, la interseición de toos ellos ye una recta o inclusive un planu, el sistema va tener infinites soluciones, que van ser les coordenaes de los puntos que formen dicha llinia o superficie.

Pa sistemes de 4 o más incógnites, la representación gráfica nun esiste, polo que dichos problemes nun s'enfoquen dende esta óptica.

Tipos de sistemes lliniales

Los sistemes d'ecuaciones pueden clasificase según el númberu de soluciones que pueden presentar. Acordies con esi casu pueden presentase los siguientes casos:

Sistema compatible si tien solución, nesti casu amás puede estremase ente:
- Sistema compatible determináu cuando tien una única solución.
- Sistema compatible indetermináu cuando almite un conxuntu infinitu de soluciones.
Sistema incompatible si nun tien solución.

Quedando asina la clasificación:

Los sistemes incompatibles geométricamente carauterizar por (hiper)planos o rectes que se crucien ensin cortase. Los sistemes compatibles determinaos carauterizar por un conxuntu de (hiper)planos o rectes que se corten nun únicu puntu. Los sistemes compatibles indeterminaos carauterizar por (hiper)planos que se corten a lo llargo d'una recta [o más xeneralmente un hiperplano de dimensión menor]. Dende un puntu de vista alxebraicu los sistemes compatibles determinaos caracterícense porque'l determinante de la matriz ye distinta de cero:

$\mathrm {Sistema\;compatible\;determin{\acute {a}}u} \Longleftrightarrow \det(\mathbf {A} )\neq 0$

Algoritmu pa determinar si un sistema ye compatible

Podemos pescudar si un sistema ye o non compatible por aciu el Teorema de Rouché-Frobenius qu'establez qu'un sistema d'ecuaciones lliniales ye compatible namái si'l rangu del so matriz ampliada coincide col del so matriz de coeficientes. Supongamos que'l sistema ye compatible. Si'l valor común de los rangos de les matrices coincide col númberu de variables, el sistema ye compatible determináu; en casu contrariu, ye compatible indetermináu.

Sistemes compatibles indeterminaos

Un sistema sobre un cuerpu K ye compatible indetermináu cuando tien un númberu infinitu de soluciones. Por casu, el siguiente sistema:

$\left\{{\begin{matrix}x&+2y&=1\\2x&+4y&=2\end{matrix}}\right.$

Tanto la primera como la segunda ecuación corresponder cola recta que la so pendiente ye $-0,5$ y que pasa pol puntu $(-1,1)$ , polo que dambes coinciden en tolos puntos de felicidá recta. El sistema ye compatible por tener solución o puntos comunes ente les rectes, pero ye indetermináu al asoceder esto n'infinitos puntos.

Nesti tipu de sistemes, la solución xenérica consiste n'espresar una o más variables como función matemática del restu. Nos sistemes lliniales compatibles indeterminaos, siquier una de les sos ecuaciones puede topase como combinación llinial del restu, esto ye, ye linealmente dependiente.

La condición necesaria por que un sistema sía compatible indetermináu ye que'l determinante de la matriz del sistema sía cero al igual que'l rangu de la matriz ampliada y menor al númberu d'incógnites(y por tanto unu de los sos autovalores va ser 0):

$\mathrm {sistema\;compatible\;indetermin{\acute {a}}u} \Rightarrow \det \mathbf {A} =0$

Ello ye que de les dos condiciones anteriores esprender, que'l conxuntu de soluciones d'un sistema compatible indetermináu ye un subespacio vectorial. Y la dimensión d'esi espaciu vectorial va coincidir cola multiplicidá xeométrica del autovalor cero.

Sistemes incompatibles

D'un sistema dizse que ye incompatible cuando nun presenta nenguna solución. Por casu, supongamos el siguiente sistema:

$\left\{{\begin{matrix}x&+2y&=4\\2x&+4y&=7\end{matrix}}\right.$

Les ecuaciones correspuéndense gráficamente con dos rectes, dambes cola mesma pendiente, Al ser paraleles, nun se corten en nengún puntu, esto ye, nun esiste nengún valor que satisfaiga al empar dambes ecuaciones.

Matemáticamente un sistema d'estos ye incompatible cuando'l rangu de la matriz del sistema ye inferior al rangu de la matriz ampliada. Una condición necesaria por que esto asoceda ye que'l determinante de la matriz del sistema sía cero:

$\mathrm {sistema\;incompatible} \Rightarrow \det \mathbf {A} =0$

Resolvimientu de sistemes d'ecuaciones lliniales

Sustitución

El métodu de sustitución consiste n'estenar nuna de les ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y de siguío sustituyila n'otra ecuación pol so valor.

En casu de sistemes con más de dos incógnites, la escoyida ten de ser sustituyida pol so valor equivalente en toles ecuaciones sacante na que la estenemos. Nesi intre, vamos tener un sistema con una ecuación y una incógnita menos que l'inicial, nel que podemos siguir aplicando esti métodu reiteradamente. Por casu, supongamos que queremos resolver por sustitución esti sistema:

$\left\{{\begin{matrix}3x&+y&=&22\\4x&-3y&=&-1\end{matrix}}\right.$

Na primer ecuación, escoyemos la incógnita $y$ por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más les operaciones, y estenar, llogrando la siguiente ecuación.

$y=22-3x$

El siguiente pasu va ser sustituyir cada escurrimientu de la incógnita $y$ na otra ecuación, p'asina llograr una ecuación onde la única incógnita sía la $x$ .

$4x-3(22-3x)=-1\qquad \Rightarrow 4x-66+9x=-1\qquad \Rightarrow 13x-66=-1,\qquad \Rightarrow 13x=65$

Al resolver la ecuación llogramos el resultáu $x=5$ , y si agora sustituyimos esta incógnita pol so valor en dalguna de les ecuaciones orixinales vamos llograr $y=7$ , colo que'l sistema queda yá resueltu.

Igualación

El métodu d'igualación puede entendese como un casu particular del métodu de sustitución nel que s'estena la mesma incógnita en dos ecuaciones y de siguío iguálense ente sigo la parte derecha de dambes ecuaciones.

Tomando'l mesmu sistema utilizáu como exemplu pal métodu de sustitución, si estenamos la incógnita $y$ en dambes ecuaciones quédanos de la siguiente manera:

$\left\{{\begin{matrix}y=&22-3x\\y=&{\cfrac {4x+1}{3}}\end{matrix}}\right.$

Como puede reparase, dambes ecuaciones comparten la mesma parte esquierda, polo que podemos afirmar que les partes dereches tamién son iguales ente sigo.

$22-3x={\frac {4x+1}{3}}\Rightarrow \quad \ 3(22-3x)=4x+1\Rightarrow \quad \ 65=13x\Rightarrow \quad \ x=5$

Una vegada llográu'l valor de la incógnita $x$ , sustitúyese'l so valor nuna de les ecuaciones orixinales, y llógrase el valor de la $y$ .

La forma más fácil de tener el métodu de sustitución ye realizando un cambéu pa estenar x dempués de pescudar el valor de la y.

Amenorgamientu

Esti métodu suel emplegase mayoritariamente nos sistemes lliniales, siendo pocos los casos en que s'utiliza pa resolver sistemes non lliniales. El procedimientu, diseñáu pa sistemes con dos ecuaciones ya incógnites, consiste en tresformar una de les ecuaciones (xeneralmente, por aciu producto), de manera que llogremos dos ecuaciones na qu'una mesma incógnita apaeza col mesmu coeficiente y distintu signu. De siguío, sumir dambes ecuaciones produciéndose asina l'amenorgamientu o cancelación de dicha incógnita, llogrando asina una ecuación con una sola incógnita, onde'l métodu de resolución ye simple.

Por casu, nel sistema:

$\left\{{\begin{matrix}2x&+3y&=5\\5x&+6y&=4\end{matrix}}\right.$

Nun tenemos más que multiplicar la primer ecuación por $-2$ pa poder atayar la incógnita $y$ . Al multiplicar, dicha ecuación quédanos asina:

$-2(2x+3y=5)\quad \longrightarrow \quad -4x-6y=-10$

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema orixinal, llogramos una nueva ecuación onde la incógnita $y$ foi amenorgada y que, nesti casu, danos direutamente'l valor de la incógnita $x$ :

${\begin{array}{rrcr}-4x&-6y&=&-10\\5x&+6y&=&4\\\hline x&&=&-6\end{array}}$

$x=-6$

El siguiente pasu consiste namái en sustituyir el valor de la incógnita $x$ en cualesquier de les ecuaciones onde apaecíen dambes incógnites, y llograr asina que'l valor de $y$ si sustituyimos na primer ecuación ye igual a:

$\left.{\begin{array}{rrcr}2x&+3y&=&5\\x&&=&-6\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 2(-6)+3y=5\quad \longrightarrow \quad y={\frac {17}{3}}$

Métodu gráficu

Rectes que pasen pol puntu: (2,4)

Consiste en construyir la gráfica de caúna de les ecuaciones del sistema. El métodu (manualmente aplicáu) solo resulta eficiente nel planu cartesianu, ye dicir pa un espaciu de dimensión.

El procesu de resolución d'un sistema d'ecuaciones por aciu el métodu gráficu resolver nos siguientes pasos:

Esténase la incógnita en dambes ecuaciones.
Construyir pa caúna de les dos ecuaciones de primer grau llogrando la tabla de valores correspondientes.
Represéntense gráficamente dambes rectes nes exes coordenaes.
Nesti últimu pasu hai tres posibilidad:
1. Si dambes rectes córtense, les coordenaes del puntu de corte son los únicos valores de les incógnites (x,y). "Sistema compatible determináu".
2. Si dambes rectes son coincidentes, el sistema tien infinites soluciones que son les respeutives coordenaes de tolos puntos d'esa recta na que coinciden dambes. «Sistema compatible indetermináu».
3. Si dambes rectes son paraleles, el sistema nun tien solución nos reales pero sí nos complexos.

Métodu de Gauss

El métodu d'eliminación de Gauss o a cencielles métodu de Gauss consiste en convertir un sistema llinial de n ecuaciones con n incógnites, n'unu gradiáu, nel que la primer ecuación tien n incógnites, la segunda ecuación tien n - 1 incógnites, ..., hasta la última ecuación, que tien 1 incógnita. D'esta forma, va ser fácil partir de la última ecuación y dir xubiendo pa calcular el valor de les demás incógnites.

Exemplu de eliminación de Gauss
Axúntense 30 persones ente homes, muyeres y neños. Sábese qu'ente los homes y el triple de muyeres entepasen en 20 el doble de los neños. Tamién se sabe qu'ente homes y muyeres doblar al númberu de neños. Plantegar y resolver el sistema d'ecuaciones. $x=$ númberu d'homes $y=$ númberu de muyeres $z=$ númberu de neños Axúntense 30 persones ente homes, muyeres y neños: $x+y+z=30\;$ Sábese qu'ente los homes y el triple de muyeres entepasen en 20 el doble de los neños: $x+3y=2z+20\;$ Tamién se sabe qu'ente homes y muyeres doblar al númberu de neños: $x+y=2z\;$ Arrexuntando los trés ecuaciones tenemos el sistema, qu'ordenáu resulta: $\left\{{\begin{array}{l}x+y+z=30\\x+3y=2z+20\\x+y=2z\end{array}}\right.\quad \longrightarrow \left\{{\begin{array}{rrrcr}x&+y&+z&=&30\\x&+3y&-2z&=&20\\x&+y&-2z&=&0\end{array}}\right.$ Aplicamos Gauss, restando la primer ecuación a les dos siguientes: $\left\{{\begin{array}{rrrcr}x&+y&+z&=&30\\&2y&-3z&=&-10\\&&-3z&=&-30\end{array}}\right.$ Nesti casu na tercer ecuación esanicióse la y, polo que nun ye necesariu faer más operaciones. Polo tanto llogramos que z = 10 de la tercer ecuación: $-3z=-30\longrightarrow \quad z={\cfrac {-30}{-3}}\longrightarrow \quad z=10$ Sustituyendo z na segunda ecuación llogramos que y = 10: $\left.{\begin{array}{rrcr}2y&-3z&=&-10\\&z&=&10\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad 2y-30=-10\longrightarrow \quad 2y=20\longrightarrow \quad y=10$ Sustituyendo z é y na primer ecuación llogramos x = 10. $\left.{\begin{array}{rrrcr}x&+y&+z&=&30\\&y&&=&10\\&&z&=&10\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad x+10+10=30\longrightarrow \quad x=30-10-10\longrightarrow \quad x=10$ Colo que llogremos el resultáu del sistema: $\left\{{\begin{array}{l}x+y+z=30\\x+3y=2z+20\\x+y=2z\end{array}}\right.\quad \longrightarrow \left\{{\begin{array}{l}x=10\\y=10\\z=10\end{array}}\right.$

Eliminación de Gauss-Jordan

Una variante d'esti métodu, denominada eliminación de Gauss-Jordan, ye un métodu aplicable namái a los sistemes lliniales d'ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema por aciu tresformamientos elementales, hasta llograr ecuaciones d'una sola incógnita, que'l so valor va ser igual al coeficiente asitiáu na mesma fila de la matriz. Esti procedimientu ye similar al anterior d'amenorgamientu, pero executáu de manera repitida y siguiendo un ciertu orde algorítmico.

Exemplu de eliminación de Gauss-Jordan
Supóngase que ye necesariu atopar los númberos x, y, z, que satisfaen simultáneamente al siguiente sistema d'ecuaciones lliniales: $\left\{{\begin{array}{rrrcr}2x&+y&-z&=&8\\-3x&-y&+2z&=&-11\\-2x&+y&+2z&=&-3\end{array}}\right.$ Primeramente, escríbense los coeficientes del sistema como una matriz aumentada. Lo qu'en notación matricial se denota por: $\left({\begin{array}{rrrr}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right)$ Darréu, amenórgase la incógnita $x$ , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por ${\frac {3}{2}}$ , y a la tercera, la primer fila. La matriz queda asina: $\left({\begin{array}{rrrr}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&2&1&5\end{array}}\right)$ El siguiente pasu consiste n'esaniciar la incógnita $y$ na primera y tercer fila, pa lo cual sumir la segunda multiplicada por $-2$ y por $-4$ , respeutivamente. $\left({\begin{array}{rrrr}2&0&-2&6\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right)$ A lo último, esaníciase $z$ , tantu de la primera como de la segunda fila, sumándo-yos la tercera multiplicada por $-2$ y por ${\frac {1}{2}}$ , respeutivamente: $\left({\begin{array}{rrrr}2&0&0&4\\0&{\frac {1}{2}}&0&{\frac {3}{2}}\\0&0&-1&1\end{array}}\right)$ Llegaos a esti puntu puede resolvese direutamente les ecuaciones que se nos planteguen: $\left\{{\begin{matrix}2x=4\\{\cfrac {y}{2}}={\cfrac {3}{2}}\\-z=1\end{matrix}}\right.$ O, si prefierse, puede multiplicase los trés files de la matriz por: ${\frac {1}{2}}$ , $2$ y $-1$ respeutivamente, y llograr asina automáticamente los valores de les incógnites na última columna. $\left\{{\begin{matrix}x=&2\\y=&3\\z=&-1\end{matrix}}\right.$

Regla de Cramer

La regla de Cramer da una solución pa sistemes compatibles determinaos en términos de determinantes y adxuntos dada por:

$x_{j}={\cfrac {\det(A_{j})}{\det(\mathbf {A} )}}$

Onde A_j ye la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna d'A pol vector columna b. Pa un sistema de dos ecuaciones y dos incógnites:

$\left\{{\begin{matrix}a\,x&+&b\,y&=y\\c\,x&+&d\,y&=f\end{matrix}}\right.$

La regla de Cramer da la siguiente solución:

$x={\frac {\begin{vmatrix}y&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={ed-bf \over ad-bc}\;,\qquad y={\frac {\begin{vmatrix}a&y\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={af-ec \over ad-bc}$

Nota: Cuando na determinante orixinal det(A) el resultáu ye 0, el sistema indica múltiples o ensin coincidencia.

Algoritmos numbéricos

La eliminación de Gauss-Jordan ye un algoritmu numbéricu usáu pa una gran cantidá de casos específicos, anque darréu desenvolviéronse algoritmos alternativos muncho más eficientes. La mayoría d'estos algoritmos ameyoraos tienen una complexidá computacional d'O(n²) (onde n ye'l númberu d'ecuaciones del sistema). Dalgunos de los métodos más usaos son:

Pa los problemes de la forma Ax = b, onde A ye una matriz de Toeplitz simétrica, puede utilizase la recursión de Levinson o dalgunu de los métodos derivaos d'este. Un métodu deriváu de la recursión de Levinson ye la recursión de Schur, que ye llargamente usáu nel campu del procesamientu dixital de señales.
Pa los problemes de la forma Ax = b, onde A ye una matriz singular o casi singular, la matriz A descomponse nel productu de trés matrices nun procesu llamáu descomposición en valores singulares.

Cuando consideramos ecuaciones lliniales que les sos soluciones son númberos racionales, reales o complexos o más xeneralmente un cuerpu $\mathbb {K}$ , la solución puede atopase por aciu Regla de Cramer. Pa sistemes de munches ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente más costosa y suelen usase otros métodos más "económicos" en númberu d'operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky. Esisten tamién métodos indireutos (basaos en iteraciones) como'l métodu de Gauss-Seidel.

Si'l cuerpu ye infinitu (como ye'l casu de los númberos reales o complexos), entós solo puede dase una de los trés siguientes situaciones:

el sistema nun tien solución (en dichu casu dizse que'l sistema ta sobredeterminado o que ye incompatible)
el sistema tien una única solución (el sistema ye compatible determináu)
el sistema tien un númberu infinitu de soluciones (el sistema ye compatible indetermináu).

Solución de sistemes lliniales nun aniellu

Los métodos pa resolver el sistema (1) sobre un aniellu son bien distintos a los consideraos enantes. De fechu la mayoría de métodos usaos en cuerpos, como la regla de Cramer, son inaplicables n'aniellos por cuenta de que nun esisten inversos multiplicativos.

La esistencia de solución del sistema (1) sobre los enteros rique delles condiciones:

Pa cada i ${\mbox{mcd}}(a_{i1},a_{i2},...,a_{in})\;$ ye divisor de $b_{i}\;$ .
Si la condición anterior cumplir pa un determináu i esiste un conxuntu d'enteros ${\mathcal {S}}_{i}\;$ formáu pol conxuntu d'enteros que satisfai la i-ésima ecuación, y va esistir solución si la interseición ${\mathcal {S}}_{1}\cap ...\cap {\mathcal {S}}_{n}\neq \varnothing$ .

Ver tamién

Sistema d'ecuaciones

Referencies

Enllaces esternos

Solucionador de Sistemes d'Ecuaciones Lliniales (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
Wikiversidá contién proyeutos d'aprendizaxe sobre Sistema d'ecuaciones lliniales.
Solucionador descriptivu d'ecuaciones lliniales (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
Resolver o Amenorgar Matrices Online
Solucionador de sistemes lliniales
Ecuaciones Lliniales en Matlab Central, compilación d'algoritmos pa resolver ecuaciones lliniales en MATLAB
Calculadora Sistema d'ecuaciones lliniales
Ferramienta xenérico con cálculu d'inversa y determinantes Archiváu 2013-12-08 en Wayback Machine
Exemplos de resolución de sistemes d'ecuaciones lliniales (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).

Sistema d'ecuaciones lliniales
sistema de ecuaciones algebraicas ^(es) y sistema lineal ^(es)